Teorema lui Naimark

Teorema lui Naimark este un fapt fundamental despre măsurători. Aceasta afirmă că orice măsurătoare generală poate fi implementată într-un mod simplu, care amintește de reprezentările Stinespring ale canalelor:

1. Sistemul ce urmează a fi măsurat este mai întâi combinat cu un sistem de spațiu de lucru inițializat, formând un sistem compus.
2. O operație unitară este apoi aplicată sistemului compus.
3. În final, sistemul de spațiu de lucru este măsurat în raport cu o măsurătoare în baza standard, obținând rezultatul măsurătorii generale originale.

Enunțul teoremei și demonstrație

Fie $\mathsf{X}$ un sistem și fie $\{P_0,\ldots,P_{m-1}\}$ o colecție de matrice pozitiv semidefinite care satisfac

$$P_0 + \cdots + P_{m-1} = \mathbb{I}_{\mathsf{X}},$$

adică ele descriu o măsurătoare a lui $\mathsf{X}.$ De asemenea, fie $\mathsf{Y}$ un sistem al cărui set de stări clasice este $\{0,\ldots,m-1\},$ adică mulțimea posibilelor rezultate ale acestei măsurători.

Teorema lui Naimark afirmă că există o operație unitară $U$ pe sistemul compus $(\mathsf{Y},\mathsf{X})$ astfel încât implementarea sugerată de figura de mai jos produce rezultate ale măsurătorii ce coincid cu măsurătoarea dată $\{P_0,\ldots,P_{m-1}\},$ în sensul că probabilitățile pentru diferitele rezultate posibile ale măsurătorii sunt în concordanță exactă.

Pentru claritate, sistemul $\mathsf{X}$ pornește dintr-o stare arbitrară $\rho,$ în timp ce $\mathsf{Y}$ este inițializat în starea $\vert 0\rangle$. Operația unitară $U$ este aplicată pe $(\mathsf{Y},\mathsf{X})$ și apoi sistemul $\mathsf{Y}$ este măsurat cu o măsurătoare în baza standard, obținând un rezultat $a\in\{0,\ldots,m-1\}.$

Sistemul $\mathsf{X}$ apare ca parte a ieșirii circuitului, dar deocamdată nu ne vom preocupa de starea lui $\mathsf{X}$ după aplicarea lui $U,$ și putem imagina că este eliminat prin urmă. Ne va interesa starea lui $\mathsf{X}$ după aplicarea lui $U$ mai târziu în lecție.

O astfel de implementare a unei măsurători amintește în mod clar de o reprezentare Stinespring a unui canal, iar fundamentele matematice sunt similare. Diferența constă în faptul că sistemul de spațiu de lucru este măsurat, în loc să fie eliminat prin urmă ca în cazul unei reprezentări Stinespring.

Faptul că orice măsurătoare poate fi implementată în acest mod este destul de simplu de demonstrat, dar mai întâi avem nevoie de un fapt despre matricele pozitiv semidefinite.

Fapt

Presupune că $P$ este o matrice pozitiv semidefinită de dimensiune $n \times n$. Există o unică matrice pozitiv semidefinită $Q$ de dimensiune $n\times n$ pentru care $Q^2 = P.$ Această unică matrice pozitiv semidefinită se numește rădăcina pătrată a lui $P$ și se notează $\sqrt{P}.$

O modalitate de a găsi rădăcina pătrată a unei matrice pozitiv semidefinite este să calculezi mai întâi o descompunere spectrală.

$$P = \sum_{k=0}^{n-1} \lambda_k \vert \psi_k \rangle \langle \psi_k \vert$$

Deoarece $P$ este pozitiv semidefinită, valorile sale proprii trebuie să fie numere reale nenegative, iar înlocuindu-le cu rădăcinile lor pătrate obținem o expresie pentru rădăcina pătrată a lui $P.$

$$\sqrt{P} = \sum_{k=0}^{n-1} \sqrt{\lambda_k} \vert \psi_k \rangle \langle \psi_k \vert$$

Cu acest concept la îndemână, suntem gata să demonstrăm teorema lui Naimark. Presupunând că $\mathsf{X}$ are $n$ stări clasice, o operație unitară $U$ pe perechea $(\mathsf{Y},\mathsf{X})$ poate fi reprezentată printr-o matrice $nm\times nm,$ pe care o putem privi ca o matrice bloc $m\times m$ ale cărei blocuri sunt de dimensiune $n\times n.$ Cheia demonstrației este să alegem $U$ ca orice matrice unitară care se potrivește cu următorul tipar.

$$U = \begin{pmatrix} \sqrt{P_0} & \fbox{?} & \cdots & \fbox{?} \\[1mm] \sqrt{P_1} & \fbox{?} & \cdots & \fbox{?} \\[1mm] \vdots & \vdots & \ddots & \vdots\\[1mm] \sqrt{P_{m-1}} & \fbox{?} & \cdots & \fbox{?} \end{pmatrix}$$

Pentru ca blocurile marcate cu semn de întrebare să poată fi completate astfel încât $U$ să fie unitară, este atât necesar cât și suficient ca primele $n$ coloane, formate din blocurile $\sqrt{P_0},\ldots,\sqrt{P_{m-1}},$ să fie ortonormate. Putem folosi apoi procesul de ortonormare Gram-Schmidt pentru a completa coloanele rămase, la fel ca în lecția anterioară.

Primele $n$ coloane ale lui $U$ pot fi exprimate ca vectori în felul următor, unde $c = 0,\ldots,n-1$ se referă la numărul coloanei începând de la $0.$

$$\vert\gamma_c\rangle = \sum_{a = 0}^{m-1} \vert a \rangle \otimes \sqrt{P_a} \vert c\rangle$$

Putem calcula produsul intern dintre oricare doi dintre ei astfel.

$$\langle \gamma_c \vert \gamma_d \rangle = \sum_{a,b = 0}^{m-1} \langle a \vert b \rangle \cdot \langle c \vert \sqrt{P_a}\sqrt{P_b}\, \vert d\rangle = \langle c \vert \Biggl(\sum_{a = 0}^{m-1} P_a \Biggr) \vert d\rangle = \langle c \vert d\rangle$$

Asta arată că aceste coloane sunt de fapt ortonormate, deci putem completa coloanele rămase ale lui $U$ în mod că întreaga matrice să fie unitară.

Rămâne să verificăm că probabilitățile rezultatelor măsurătorii pentru simulare sunt consistente cu măsurătoarea originală. Pentru o stare inițială dată $\rho$ a lui $\mathsf{X},$ măsurătoarea descrisă de colecția $\{P_0,\ldots,P_{m-1}\}$ produce fiecare rezultat $a\in\{0,\ldots,m-1\}$ cu probabilitatea $\operatorname{Tr}(P_a \rho).$

Pentru a obține probabilitățile rezultatelor simulării, să dăm mai întâi numele $\sigma$ stării lui $(\mathsf{Y},\mathsf{X})$ după ce $U$ a fost aplicat. Această stare poate fi exprimată astfel.

$$\sigma = U \bigl(\vert 0\rangle \langle 0 \vert \otimes \rho\bigr) U^{\dagger} = \sum_{a,b=0}^{m-1} \vert a\rangle \langle b \vert \otimes \sqrt{P_a} \rho \sqrt{P_b}$$

Echivalent, sub formă de matrice bloc, avem următoarea ecuație.

$$\begin{aligned} \sigma & = \begin{pmatrix} \sqrt{P_0} & \fbox{?} & \cdots & \fbox{?} \\[1mm] \sqrt{P_1} & \fbox{?} & \cdots & \fbox{?} \\[1mm] \vdots & \vdots & \ddots & \vdots\\[1mm] \sqrt{P_{m-1}} & \fbox{?} & \cdots & \fbox{?} \end{pmatrix} \begin{pmatrix} \rho & 0 & \cdots & 0 \\[1mm] 0 & 0 & \cdots & 0 \\[1mm] \vdots & \vdots & \ddots & \vdots\\[1mm] 0 & 0 & \cdots & 0 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} \sqrt{P_0} & \sqrt{P_1} & \cdots & \sqrt{P_{m-1}} \\[1mm] \fbox{?} & \fbox{?} & \cdots & \fbox{?} \\[1mm] \vdots & \vdots & \ddots & \vdots\\[1mm] \fbox{?} & \fbox{?} & \cdots & \fbox{?} \end{pmatrix}\\[5mm] & = \begin{pmatrix} \sqrt{P_0}\rho\sqrt{P_0} & \cdots & \sqrt{P_0}\rho\sqrt{P_{m-1}} \\[1mm] \vdots & \ddots & \vdots\\[1mm] \sqrt{P_{m-1}}\rho\sqrt{P_0} & \cdots & \sqrt{P_{m-1}}\rho\sqrt{P_{m-1}} \end{pmatrix} \end{aligned}$$

Observă că elementele lui $U$ din blocurile marcate cu semn de întrebare nu au nicio influență asupra rezultatului, în virtutea faptului că conjugăm o matrice de forma $\vert 0 \rangle \langle 0 \vert \otimes \rho$ — deci elementele cu semn de întrebare sunt întotdeauna înmulțite cu elemente nule ale lui $\vert 0 \rangle \langle 0 \vert \otimes \rho$ la calculul produsului matriceal.

Acum putem analiza ce se întâmplă când o măsurătoare în baza standard este efectuată pe $\mathsf{Y}.$ Probabilitățile posibilelor rezultate sunt date de elementele diagonale ale stării reduse $\sigma_{\mathsf{Y}}$ a lui $\mathsf{Y}.$

$$\sigma_{\mathsf{Y}} = \sum_{a,b=0}^{m-1} \operatorname{Tr}\Bigl(\sqrt{P_a} \rho \sqrt{P_b}\Bigr) \vert a\rangle \langle b \vert$$

În particular, folosind proprietatea ciclică a urmei, observăm că probabilitatea de a obține un rezultat dat $a\in\{0,\ldots,m-1\}$ este următoarea.

$$\langle a \vert \sigma_{\mathsf{Y}} \vert a \rangle = \operatorname{Tr}\Bigl(\sqrt{P_a} \rho \sqrt{P_a}\Bigr) = \operatorname{Tr}(P_a \rho)$$

Aceasta coincide cu măsurătoarea originală, stabilind corectitudinea simulării.

Măsurători nedistructive

Până acum în lecție ne-am preocupat de măsurătorile distructive, unde ieșirea constă doar în rezultatul clasic al măsurătorii și nu există nicio specificare a stării cuantice post-măsurătoare a sistemului măsurat.

Măsurătorile nedistructive, pe de altă parte, fac tocmai acest lucru. Mai precis, măsurătorile nedistructive descriu nu numai probabilitățile rezultatelor clasice ale măsurătorii, ci și starea sistemului măsurat condiționată de fiecare posibil rezultat al măsurătorii. Rețineți că termenul nedistructiv se referă la sistemul măsurat, dar nu neapărat la starea sa, care s-ar putea schimba semnificativ ca urmare a măsurătorii.

În general, pentru o măsurătoare distructivă dată, vor exista mai multe (de fapt infinit de multe) măsurători nedistructive care sunt compatibile cu acea măsurătoare distructivă, în sensul că probabilitățile rezultatelor clasice ale măsurătorii coincid exact cu cele ale măsurătorii distructive. Deci, nu există o modalitate unică de a defini starea cuantică post-măsurătoare a unui sistem pentru o măsurătoare dată.

Este, de fapt, posibil să generalizăm și mai mult măsurătorile nedistructive, astfel încât să producă un rezultat clasic al măsurătorii împreună cu o ieșire de stare cuantică a unui sistem care nu este neapărat același cu sistemul de intrare.

Noțiunea de măsurătoare nedistructivă este o abstractizare interesantă și utilă. Trebuie însă recunoscut că măsurătorile nedistructive pot fi întotdeauna descrise ca o compoziție de canale și măsurători distructive — deci există un sens în care noțiunea de măsurătoare distructivă este cea mai fundamentală.

Din teorema lui Naimark

Consideră simularea unei măsurători generale ca în teorema lui Naimark. O modalitate simplă de a obține o măsurătoare nedistructivă din această simulare este revelată de figura de mai devreme, unde sistemul $\mathsf{X}$ nu este eliminat prin urmă, ci face parte din ieșire. Aceasta produce atât un rezultat clasic al măsurătorii $a\in\{0,\ldots,m-1\}$ cât și o stare cuantică post-măsurătoare a lui $\mathsf{X}.$

Să descriem aceste stări în termeni matematici. Presupunem că starea inițială a lui $\mathsf{X}$ este $\rho,$ astfel că după introducerea sistemului inițializat $\mathsf{Y}$ și aplicarea lui $U,$ avem că $(\mathsf{Y},\mathsf{X})$ se află în starea

$$\sigma = U \bigl(\vert 0\rangle \langle 0 \vert \otimes \rho\bigr) U^{\dagger} = \sum_{a,b=0}^{m-1} \vert a\rangle \langle b \vert \otimes \sqrt{P_a} \rho \sqrt{P_b}.$$

Probabilitățile pentru apariția diferitelor rezultate clasice sunt aceleași ca înainte — nu se pot schimba ca urmare a deciziei noastre de a ignora sau nu ignora $\mathsf{X}.$ Adică, obținem fiecare $a\in\{0,\ldots,m-1\}$ cu probabilitatea $\operatorname{Tr}(P_a \rho).$

Condiționat de obținerea unui anumit rezultat al măsurătorii $a,$ starea rezultată a lui $\mathsf{X}$ este dată de această expresie.

$$\frac{\sqrt{P_a} \rho \sqrt{P_a}}{\operatorname{Tr}(P_a \rho)}$$

O modalitate de a vedea asta este să reprezentăm o măsurătoare în baza standard a lui $\mathsf{Y}$ prin canalul de defazare completă $\Delta_m,$ unde ieșirea canalului descrie rezultatele clasice ale măsurătorii ca matrice de densitate (diagonale). O expresie a stării obținute este următoarea.

$$\sum_{a,b=0}^{m-1} \Delta_m(\vert a\rangle \langle b \vert) \otimes \sqrt{P_a} \rho \sqrt{P_b} = \sum_{a=0}^{m-1} \vert a\rangle \langle a \vert \otimes \sqrt{P_a} \rho \sqrt{P_a}.$$

Putem scrie apoi această stare ca o combinație convexă de stări produs,

$$\sum_{a=0}^{m-1} \operatorname{Tr}(P_a \rho)\, \vert a\rangle \langle a \vert \otimes \frac{\sqrt{P_a} \rho \sqrt{P_a}}{\operatorname{Tr}(P_a \rho)},$$

ceea ce este consistent cu expresia obținută pentru starea lui $\mathsf{X}$ condiționată de fiecare posibil rezultat al măsurătorii.

Dintr-o reprezentare Kraus

Există selecții alternative pentru $U$ în contextul teoremei lui Naimark care produc aceleași probabilități ale rezultatelor măsurătorii, dar dau stări de ieșire complet diferite ale lui $\mathsf{X}.$

De exemplu, o opțiune este să înlocuim $(\mathbb{I}_{\mathsf{Y}} \otimes V) U$ cu $U,$ unde $V$ este orice operație unitară pe $\mathsf{X}.$ Aplicarea lui $V$ pe $\mathsf{X}$ comutează cu măsurătoarea lui $\mathsf{Y},$ deci probabilitățile rezultatelor clasice nu se schimbă, dar acum starea lui $\mathsf{X}$ condiționată de rezultatul $a$ devine

$$\frac{V \sqrt{P_a} \rho \sqrt{P_a}V^{\dagger}}{\operatorname{Tr}(P_a \rho)}.$$

Mai general, am putea înlocui $U$ cu matricea unitară

$$\Biggl(\sum_{a=0}^{m-1} \vert a\rangle\langle a \vert \otimes V_a\Biggr) U$$

pentru orice alegere a operațiilor unitare $V_0,\ldots,V_{m-1}$ pe $\mathsf{X}.$ Din nou, probabilitățile rezultatelor clasice sunt neschimbate, dar acum starea lui $\mathsf{X}$ condiționată de rezultatul $a$ devine

$$\frac{V_a \sqrt{P_a} \rho \sqrt{P_a}V_a^{\dagger}}{\operatorname{Tr}(P_a \rho)}.$$

O modalitate echivalentă de a exprima această libertate este legată de reprezentările Kraus. Adică, putem descrie o măsurătoare nedistructivă cu $m$ rezultate a unui sistem cu $n$ stări clasice printr-o selecție de matrice Kraus $A_0,\ldots,A_{m-1}$ de dimensiune $n\times n$ ce satisfac condiția tipică pentru matricele Kraus.

$$\sum_{a = 0}^{m-1} A_a^{\dagger} A_a = \mathbb{I}_{\mathsf{X}} \tag{1}$$

Presupunând că starea inițială a lui $\mathsf{X}$ este $\rho,$ rezultatul clasic al măsurătorii este $a$ cu probabilitatea

$$\operatorname{Tr}\bigl(A_a \rho A_a^{\dagger}\bigr) = \operatorname{Tr}\bigl(A_a^{\dagger} A_a \rho \bigr)$$

și condiționat de faptul că rezultatul este $a,$ starea lui $\mathsf{X}$ devine

$$\frac{A_a \rho A_a^{\dagger}}{\operatorname{Tr}(A_a^{\dagger}A_a \rho)}.$$

Rețineți că aceasta este echivalentă cu alegerea operației unitare $U$ în teorema lui Naimark astfel.

$$U = \begin{pmatrix} A_{0} & \fbox{?} & \cdots & \fbox{?} \\[1mm] A_{1} & \fbox{?} & \cdots & \fbox{?} \\[1mm] \vdots & \vdots & \ddots & \vdots\\[1mm] A_{m-1} & \fbox{?} & \cdots & \fbox{?} \end{pmatrix}$$

În lecția anterioară am observat că coloanele formate din blocurile $A_0,\ldots,A_{m-1}$ sunt în mod necesar ortogonale, în virtutea condiției $(1).$

Generalizări

Există modalități și mai generale de a formula măsurătorile nedistructive decât cele discutate. Noțiunea de instrument cuantic (care nu va fi descrisă aici) reprezintă o modalitate de a face asta.