Discriminarea și tomografia stărilor cuantice

În ultima parte a lecției, vom analiza pe scurt două sarcini asociate cu măsurătorile: discriminarea stărilor cuantice și tomografia stărilor cuantice.

1. Discriminarea stărilor cuantice

   Pentru discriminarea stărilor cuantice, avem o colecție cunoscută de stări cuantice $\rho_0,\ldots,\rho_{m-1},$ împreună cu probabilitățile $p_0,\ldots,p_{m-1}$ asociate acestor stări. Un mod concis de a exprima aceasta este să spunem că avem un ansamblu

   $$\{(p_0,\rho_0),\ldots,(p_{m-1},\rho_{m-1})\}$$

   de stări cuantice.

   Un număr $a\in\{0,\ldots,m-1\}$ este ales aleatoriu conform probabilităților $(p_0,\ldots,p_{m-1})$ și sistemul $\mathsf{X}$ este pregătit în starea $\rho_a.$ Scopul este de a determina, prin intermediul unei măsurători asupra lui $\mathsf{X}$ singur, care valoare a lui $a$ a fost aleasă.

   Astfel, avem un număr finit de alternative, împreună cu o distribuție a priori — care reprezintă cunoașterea noastră despre probabilitatea ca fiecare $a$ să fie selectat — și scopul este de a determina care alternativă s-a produs efectiv. Acest lucru poate fi ușor pentru unele alegeri de stări și probabilități, iar pentru altele poate să nu fie posibil fără o oarecare șansă de a face o eroare.

2. Tomografia stărilor cuantice

   Pentru tomografia stărilor cuantice, avem o stare cuantică necunoscută a unui sistem — deci, spre deosebire de discriminarea stărilor cuantice, de regulă nu există o distribuție a priori sau vreo informație despre alternativele posibile.

   De această dată, însă, nu este vorba de o singură copie a stării care este pusă la dispoziție, ci de mai multe copii independente. Adică, $N$ sisteme identice $\mathsf{X}_1,\ldots,\mathsf{X}_N$ sunt fiecare pregătite independent în starea $\rho$ pentru un număr $N$ (posibil mare). Scopul este de a găsi o aproximare a stării necunoscute, ca matrice de densitate, prin măsurarea sistemelor.

Discriminarea între două stări

Cazul cel mai simplu pentru discriminarea stărilor cuantice este acela în care există două stări, $\rho_0$ și $\rho_1,$ care urmează să fie discriminate.

Imaginează-ți o situație în care un bit $a$ este ales aleatoriu: $a = 0$ cu probabilitatea $p$ și $a = 1$ cu probabilitatea $1 - p.$ Un sistem $\mathsf{X}$ este pregătit în starea $\rho_a,$ adică $\rho_0$ sau $\rho_1$ în funcție de valoarea lui $a,$ și ne este dat. Scopul nostru este de a ghici corect valoarea lui $a$ prin intermediul unei măsurători asupra lui $\mathsf{X}.$ Mai precis, vom urmări să maximizăm probabilitatea ca ghicitul nostru să fie corect.

O măsurătoare optimă

O modalitate optimă de a rezolva această problemă începe cu o descompunere spectrală a unei diferențe ponderate între $\rho_0$ și $\rho_1,$ unde ponderile sunt probabilitățile corespunzătoare.

$$p \rho_0 - (1-p) \rho_1 = \sum_{k = 0}^{n-1} \lambda_k \vert \psi_k \rangle \langle \psi_k \vert$$

Observă că avem un semn minus în loc de un semn plus în această expresie: aceasta este o diferență ponderată, nu o sumă ponderată.

Putem maximiza probabilitatea de a ghici corect alegând o măsurătoare proiectivă $\{\Pi_0,\Pi_1\}$ după cum urmează. Mai întâi, să împărțim elementele lui $\{0,\ldots,n-1\}$ în două mulțimi disjuncte $S_0$ și $S_1$ în funcție de dacă valoarea proprie corespunzătoare a diferenței ponderate este nenegativă sau negativă.

$$\begin{gathered} S_0 = \{k\in\{0,\ldots,n-1\} : \lambda_k \geq 0 \}\\[2mm] S_1 = \{k\in\{0,\ldots,n-1\} : \lambda_k < 0 \} \end{gathered}$$

Putem alege apoi o măsurătoare proiectivă după cum urmează.

$$\Pi_0 = \sum_{k \in S_0} \vert \psi_k \rangle \langle \psi_k \vert \quad\text{and}\quad \Pi_1 = \sum_{k \in S_1} \vert \psi_k \rangle \langle \psi_k \vert$$

(Nu contează de fapt în care dintre mulțimile $S_0$ sau $S_1$ includem valorile lui $k$ pentru care $\lambda_k = 0.$ Aici alegem arbitrar să includem aceste valori în $S_0.$)

Aceasta este o măsurătoare optimă în situația de față, care minimizează probabilitatea unei determinări incorecte a stării selectate.

Probabilitatea de corectitudine

Vom determina acum probabilitatea de corectitudine pentru măsurătoarea $\{\Pi_0,\Pi_1\}.$

Pentru început, nu trebuie să ne preocupăm cu adevărat de alegerea specifică pe care am făcut-o pentru $\Pi_0$ și $\Pi_1,$ deși poate fi util să o avem în minte. Pentru orice măsurătoare $\{P_0,P_1\}$ (nu neapărat proiectivă) putem scrie probabilitatea de corectitudine după cum urmează.

$$p \operatorname{Tr}(P_0 \rho_0) + (1 - p) \operatorname{Tr}(P_1 \rho_1)$$

Folosind faptul că $\{P_0,P_1\}$ este o măsurătoare, deci $P_1 = \mathbb{I} - P_0,$ putem rescrie această expresie după cum urmează.

$$p \operatorname{Tr}(P_0 \rho_0) + (1 - p) \operatorname{Tr}((\mathbb{I} - P_0) \rho_1)\hspace*{3cm}\\[1mm] \begin{aligned} & = p \operatorname{Tr}(P_0 \rho_0) - (1 - p) \operatorname{Tr}(P_0 \rho_1) + (1-p) \operatorname{Tr}(\rho_1)\\[1mm] & = \operatorname{Tr}\bigl( P_0 (p \rho_0 - (1-p)\rho_1) \bigr) + 1 - p \end{aligned}$$

Pe de altă parte, am fi putut face substituția $P_0 = \mathbb{I} - P_1$ în schimb. Aceasta nu ar schimba valoarea, dar ne oferă o expresie alternativă.

$$p \operatorname{Tr}((\mathbb{I} - P_1) \rho_0) + (1 - p) \operatorname{Tr}(P_1 \rho_1)\hspace*{3cm}\\[1mm] \begin{aligned} & = p \operatorname{Tr}(\rho_0) - p \operatorname{Tr}(P_1 \rho_0) + (1 - p) \operatorname{Tr}(P_1 \rho_1)\\[1mm] & = p - \operatorname{Tr}\bigl( P_1 (p \rho_0 - (1-p)\rho_1) \bigr) \end{aligned}$$

Cele două expresii au aceeași valoare, deci le putem face media pentru a obține încă o altă expresie pentru această valoare. (A face media celor două expresii este doar un truc pentru a simplifica expresia rezultată.)

$$\frac{1}{2} \bigl(\operatorname{Tr}\bigl( P_0 (p \rho_0 - (1-p)\rho_1) \bigr) + 1-p\bigr) + \frac{1}{2} \bigl(p - \operatorname{Tr}\bigl( P_1 (p \rho_0 - (1-p)\rho_1) \bigr)\bigr)\\ = \frac{1}{2} \operatorname{Tr}\bigl( (P_0-P_1) (p \rho_0 - (1-p)\rho_1)\bigr) + \frac{1}{2}$$

Acum putem vedea de ce are sens să alegem proiecțiile $\Pi_0$ și $\Pi_1$ (conform specificațiilor de mai sus) pentru $P_0$ și, respectiv, $P_1$ — deoarece astfel putem face urma din expresia finală cât mai mare posibil. În particular,

$$(\Pi_0-\Pi_1) (p \rho_0 - (1-p)\rho_1) = \sum_{k = 0}^{n-1} \vert\lambda_k\vert \cdot \vert \psi_k \rangle \langle \psi_k \vert.$$

Deci, atunci când calculăm urma, obținem suma valorilor absolute ale valorilor proprii — care este egală cu ceea ce este cunoscut drept norma de urmă a diferenței ponderate.

$$\operatorname{Tr}\bigl( (\Pi_0-\Pi_1) (p \rho_0 - (1-p)\rho_1)\bigr) = \sum_{k = 0}^{n-1} \vert\lambda_k\vert = \bigl\| p \rho_0 - (1-p)\rho_1 \bigr\|_1$$

Astfel, probabilitatea ca măsurătoarea $\{\Pi_0,\Pi_1\}$ să conducă la o discriminare corectă a lui $\rho_0$ și $\rho_1,$ date cu probabilitățile $p$ și, respectiv, $1-p,$ este următoarea.

$$\frac{1}{2} + \frac{1}{2} \bigl\| p \rho_0 - (1-p)\rho_1 \bigr\|_1$$

Faptul că aceasta este probabilitatea optimă pentru o discriminare corectă a lui $\rho_0$ și $\rho_1,$ date cu probabilitățile $p$ și $1-p,$ este denumit în mod obișnuit teorema Helstrom–Holevo (sau uneori doar teorema lui Helstrom).

Discriminarea dintre trei sau mai multe stări

Pentru discriminarea stărilor cuantice atunci când există trei sau mai multe stări, nu există nicio soluție în formă închisă cunoscută pentru o măsurătoare optimă, deși este posibil să formulezi problema ca un program semidefinit — ceea ce permite aproximări numerice eficiente ale măsurătorilor optime cu ajutorul unui calculator.

Este de asemenea posibil să verifici (sau să falsifici) optimalitatea unei măsurători date într-o sarcină de discriminare a stărilor prin intermediul unei condiții cunoscute drept condiția Holevo-Yuen-Kennedy-Lax. În particular, pentru sarcina de discriminare a stărilor definită de ansamblul

$$\{(p_0,\rho_0),\ldots,(p_{m-1},\rho_{m-1})\},$$

măsurătoarea $\{P_0,\ldots,P_{m-1}\}$ este optimă dacă și numai dacă matricea

$$Q_a = \sum_{b = 0}^{m-1} p_b \rho_b P_b - p_a \rho_a$$

este pozitiv semidefinită pentru orice $a\in\{0,\ldots,m-1\}.$

De exemplu, consideră sarcina de discriminare a stărilor cuantice în care una dintre cele patru stări tetraedrice $\vert\phi_0\rangle,\ldots,\vert\phi_3\rangle$ este selectată uniform la întâmplare. Măsurătoarea tetraedrică $\{P_0,P_1,P_2,P_3\}$ reușește cu probabilitatea

$$\frac{1}{4} \operatorname{Tr}(P_0 \vert\phi_0\rangle\langle \phi_0 \vert) + \frac{1}{4} \operatorname{Tr}(P_1 \vert\phi_1\rangle\langle \phi_1 \vert) + \frac{1}{4} \operatorname{Tr}(P_2 \vert\phi_2\rangle\langle \phi_2 \vert) + \frac{1}{4} \operatorname{Tr}(P_3 \vert\phi_3\rangle\langle \phi_3 \vert) = \frac{1}{2}.$$

Aceasta este optimă conform condiției Holevo-Yuen-Kennedy-Lax, deoarece un calcul arată că

$$Q_a = \frac{1}{4}(\mathbb{I} - \vert\phi_a\rangle\langle\phi_a\vert) \geq 0$$

pentru $a = 0,1,2,3.$

Tomografia stărilor cuantice

În cele din urmă, vom discuta pe scurt problema tomografiei stărilor cuantice. Pentru această problemă, ni se dă un număr mare $N$ de copii independente ale unei stări cuantice necunoscute $\rho,$ iar scopul este de a reconstrui o aproximare $\tilde{\rho}$ a lui $\rho.$ Pentru a fi clar, aceasta înseamnă că dorim să găsim o descriere clasică a unei matrice de densitate $\tilde{\rho}$ care să fie cât mai apropiată de $\rho.$

Putem descrie alternativ configurarea în felul următor. O matrice de densitate necunoscută $\rho$ este selectată, și ni se acordă acces la $N$ sisteme cuantice $\mathsf{X}_1,\ldots,\mathsf{X}_N,$ fiecare dintre acestea fiind pregătit independent în starea $\rho.$ Astfel, starea sistemului compus $(\mathsf{X}_1,\ldots,\mathsf{X}_N)$ este

$$\rho^{\otimes N} = \rho \otimes \rho \otimes \cdots \otimes \rho \quad \text{($N$ ori)}$$

Scopul este de a efectua măsurători asupra sistemelor $\mathsf{X}_1,\ldots,\mathsf{X}_N$ și, pe baza rezultatelor acelor măsurători, de a calcula o matrice de densitate $\tilde{\rho}$ care aproximează îndeaproape pe $\rho.$ Aceasta se dovedește a fi o problemă fascinantă și există cercetări în curs de desfășurare pe această temă.

Pot fi luate în considerare diferite tipuri de strategii pentru abordarea problemei. De exemplu, putem imagina o strategie în care fiecare dintre sistemele $\mathsf{X}_1,\ldots,\mathsf{X}_N$ este măsurat separat, pe rând, producând o secvență de rezultate ale măsurătorilor. Pot fi făcute alegeri specifice diferite pentru ce măsurători sunt efectuate, inclusiv selecții adaptive și non-adaptive. Cu alte cuvinte, alegerea de a efectua o măsurătoare pe un anumit sistem poate sau nu să depindă de rezultatele măsurătorilor anterioare. Pe baza secvenței de rezultate ale măsurătorilor, se derivă o estimare $\tilde{\rho}$ pentru starea $\rho$ — și din nou există diferite metodologii pentru aceasta.

O abordare alternativă este de a efectua o singură măsurătoare comună a întregii colecții, unde ne gândim la $(\mathsf{X}_1,\ldots,\mathsf{X}_N)$ ca la un sistem unic și selectăm o singură măsurătoare al cărei rezultat este o estimare $\tilde{\rho}$ pentru starea $\rho.$ Aceasta poate conduce la o estimare îmbunătățită față de ceea ce este posibil pentru măsurători separate ale sistemelor individuale, deși o măsurătoare comună pe toate sistemele împreună este probabil mult mai dificil de implementat.

Tomografia unui qubit folosind măsurători Pauli

Vom considera acum tomografia stărilor cuantice în cazul simplu în care $\rho$ este o matrice de densitate de qubit. Presupunem că ni se dau qubiții $\mathsf{X}_1,\ldots,\mathsf{X}_N$ care se află fiecare independent în starea $\rho,$ și scopul nostru este de a calcula o aproximare $\tilde{\rho}$ care să fie apropiată de $\rho.$

Strategia noastră va fi de a împărți cei $N$ qubiți $\mathsf{X}_1,\ldots,\mathsf{X}_N$ în trei colecții de dimensiuni aproximativ egale, câte una pentru fiecare dintre cele trei matrice Pauli $\sigma_x,$ $\sigma_y$ și $\sigma_z.$ Fiecare qubit este apoi măsurat independent după cum urmează.

1. Pentru fiecare dintre qubiții din colecția asociată cu $\sigma_x$ efectuăm o măsurătoare $\sigma_x$. Aceasta înseamnă că qubit-ul este măsurat în raport cu baza $\{\vert + \rangle, \vert -\rangle\},$ care este o bază ortonormată de vectori proprii ai lui $\sigma_x,$ iar rezultatele corespunzătoare ale măsurătorii sunt valorile proprii asociate celor doi vectori proprii: $+1$ pentru starea $\vert + \rangle$ și $-1$ pentru starea $\vert -\rangle.$ Prin calcularea mediei rezultatelor din toate stările din colecția asociată cu $\sigma_x,$ obținem o aproximare a valorii de așteptare

   $$\langle + \vert \rho \vert + \rangle - \langle - \vert \rho \vert - \rangle = \operatorname{Tr}(\sigma_x \rho).$$

2. Pentru fiecare dintre qubiții din colecția asociată cu $\sigma_y$ efectuăm o măsurătoare $\sigma_y$. O astfel de măsurătoare este similară cu o măsurătoare $\sigma_x,$ cu excepția că baza de măsurătoare este $\{\vert\! +\!i \rangle, \vert\! -\!i \rangle\},$ vectorii proprii ai lui $\sigma_y.$ Calculând media rezultatelor din toate stările din colecția asociată cu $\sigma_y,$ obținem o aproximare a valorii de așteptare

   $$\langle +i \vert \rho \vert \!+\!i \rangle - \langle -i \vert \rho \vert \!-\!i \rangle = \operatorname{Tr}(\sigma_y \rho).$$

3. Pentru fiecare dintre qubiții din colecția asociată cu $\sigma_z$ efectuăm o măsurătoare $\sigma_z$. De această dată baza de măsurătoare este baza standard $\{\vert 0\rangle, \vert 1 \rangle\},$ vectorii proprii ai lui $\sigma_z.$ Calculând media rezultatelor din toate stările din colecția asociată cu $\sigma_z,$ obținem o aproximare a valorii de așteptare

   $$\langle 0 \vert \rho \vert 0 \rangle - \langle 1 \vert \rho \vert 1 \rangle = \operatorname{Tr}(\sigma_z \rho).$$

Odată ce am obținut aproximările

$$\alpha_x \approx \operatorname{Tr}(\sigma_x \rho),\; \alpha_y \approx \operatorname{Tr}(\sigma_y \rho),\; \alpha_z \approx \operatorname{Tr}(\sigma_z \rho)$$

calculând media rezultatelor măsurătorilor pentru fiecare colecție, putem aproxima $\rho$ ca

$$\tilde{\rho} = \frac{\mathbb{I} + \alpha_x \sigma_x + \alpha_y \sigma_y + \alpha_z \sigma_z}{2} \approx \frac{\mathbb{I} + \operatorname{Tr}(\sigma_x \rho) \sigma_x + \operatorname{Tr}(\sigma_y \rho) \sigma_y + \operatorname{Tr}(\sigma_z \rho) \sigma_z}{2} = \rho.$$

Pe măsură ce $N$ tinde la infinit, această aproximare converge în probabilitate la matricea de densitate adevărată $\rho$ prin legea numerelor mari, iar margini statistice bine-cunoscute (cum ar fi inegalitatea lui Hoeffding) pot fi folosite pentru a limita probabilitatea că aproximarea $\tilde{\rho}$ deviază de la $\rho$ cu diferite valori.

Un lucru important de recunoscut, totuși, este că matricea $\tilde{\rho}$ obținută în acest mod poate să nu fie o matrice de densitate. În particular, deși va avea întotdeauna urma egală cu $1,$ este posibil să nu fie pozitiv semidefinită. Există diferite strategii cunoscute pentru a "rotunji" o astfel de aproximare $\tilde{\rho}$ la o matrice de densitate, una dintre ele constând în calcularea unei descompuneri spectrale, înlocuirea oricăror valori proprii negative cu $0,$ și renormalizarea ulterioară (prin împărțirea matricei obținute la urma sa).

Tomografia unui qubit folosind măsurătoarea tetraedrică

O altă opțiune pentru efectuarea tomografiei unui qubit este de a măsura fiecare qubit $\mathsf{X}_1,\ldots,\mathsf{X}_N$ folosind măsurătoarea tetraedrică $\{P_0,P_1,P_2,P_3\}$ descrisă anterior. Adică,

$$P_0 = \frac{\vert \phi_0 \rangle \langle \phi_0 \vert}{2}, \quad P_1 = \frac{\vert \phi_1 \rangle \langle \phi_1 \vert}{2}, \quad P_2 = \frac{\vert \phi_2 \rangle \langle \phi_2 \vert}{2}, \quad P_3 = \frac{\vert \phi_3 \rangle \langle \phi_3 \vert}{2}$$

pentru

$$\begin{aligned} \vert \phi_0 \rangle & = \vert 0 \rangle\\ \vert \phi_1 \rangle & = \frac{1}{\sqrt{3}} \vert 0 \rangle + \sqrt{\frac{2}{3}} \vert 1 \rangle\\ \vert \phi_2 \rangle & = \frac{1}{\sqrt{3}} \vert 0 \rangle + \sqrt{\frac{2}{3}} e^{2\pi i/3} \vert 1 \rangle\\ \vert \phi_3 \rangle & = \frac{1}{\sqrt{3}} \vert 0 \rangle + \sqrt{\frac{2}{3}} e^{-2\pi i/3} \vert 1 \rangle. \end{aligned}$$

Fiecare rezultat este obținut de un anumit număr de ori, pe care îl vom nota cu $n_a$ pentru fiecare $a\in\{0,1,2,3\},$ astfel că $n_0 + n_1 + n_2 + n_3 = N.$ Raportul acestor numere cu $N$ furnizează o estimare a probabilității asociate fiecărui rezultat posibil:

$$\frac{n_a}{N} \approx \operatorname{Tr}(P_a \rho).$$

În cele din urmă, vom folosi următoarea formulă remarcabilă:

$$\rho = \sum_{a=0}^3 \Bigl( 3 \operatorname{Tr}(P_a \rho) - \frac{1}{2}\Bigr) \vert \phi_a \rangle \langle \phi_a \vert.$$

Pentru a stabili această formulă, putem folosi următoarea ecuație pentru valorile absolute la pătrat ale produselor scalare ale stărilor tetraedrice, care poate fi verificată prin calcule directe.

$$\bigl\vert \langle \phi_a \vert \phi_b \rangle \bigr\vert^2 = \begin{cases} 1 & a=b\\ \frac{1}{3} & a\neq b. \end{cases}$$

Cele patru matrice

$$\begin{aligned} \vert\phi_0\rangle \langle \phi_0 \vert & = \begin{pmatrix} 1 & 0\\[2mm] 0 & 0\end{pmatrix}\\[3mm] \vert\phi_1\rangle \langle \phi_1 \vert & = \begin{pmatrix} \frac{1}{3} & \frac{\sqrt{2}}{3}\\[2mm] \frac{\sqrt{2}}{3} & \frac{2}{3}\end{pmatrix}\\[3mm] \vert\phi_2\rangle \langle \phi_2 \vert & = \begin{pmatrix} \frac{1}{3} & \frac{\sqrt{2}}{3}e^{-2\pi i/3}\\[2mm] \frac{\sqrt{2}}{3}e^{2\pi i/3} & \frac{2}{3}\end{pmatrix}\\[3mm] \vert\phi_3\rangle \langle \phi_3 \vert & = \begin{pmatrix} \frac{1}{3} & \frac{\sqrt{2}}{3}e^{2\pi i/3}\\[2mm] \frac{\sqrt{2}}{3}e^{-2\pi i/3} & \frac{2}{3}\end{pmatrix} \end{aligned}$$

sunt liniar independente, deci este suficient să demonstrăm că formula este adevărată când $\rho = \vert\phi_b\rangle\langle\phi_b\vert$ pentru $b = 0,1,2,3.$ În particular,

$$3 \operatorname{Tr}(P_a \vert\phi_b\rangle\langle\phi_b\vert) - \frac{1}{2} = \frac{3}{2} \vert \langle \phi_a \vert \phi_b \rangle \vert^2 - \frac{1}{2} = \begin{cases} 1 & a=b\\ 0 & a\neq b \end{cases}$$

și prin urmare

$$\sum_{a=0}^3 \biggl( 3 \operatorname{Tr}(P_a \vert\phi_b\rangle\langle\phi_b\vert) - \frac{\operatorname{Tr}(\vert\phi_b\rangle\langle\phi_b\vert)}{2}\biggr) \vert \phi_a \rangle \langle \phi_a \vert = \vert \phi_b\rangle\langle \phi_b \vert.$$

Ajungem la o aproximare a lui $\rho:$

$$\tilde{\rho} = \sum_{a=0}^3 \Bigl( \frac{3 n_a}{N} - \frac{1}{2}\Bigr) \vert \phi_a \rangle \langle \phi_a \vert.$$

Această aproximare va fi întotdeauna o matrice Hermitian cu urma egală cu unu, dar poate să nu fie pozitiv semidefinită. În acest caz, aproximarea trebuie "rotunjită" la o matrice de densitate, similar cu strategia care implică măsurători Pauli.