Formulări matematice ale măsurătorilor

Lecția începe cu două descrieri matematice echivalente ale măsurătorilor:

1. Măsurătorile generale pot fi descrise prin colecții de matrice, câte una pentru fiecare rezultat posibil, într-un mod care generalizează descrierea măsurătorilor proiective.
2. Măsurătorile generale pot fi descrise ca canale ale căror ieșiri sunt întotdeauna stări clasice (reprezentate prin matrice de densitate diagonale).

Ne vom limita atenția la măsurători cu un număr finit de rezultate posibile. Deși este posibil să definim măsurători cu infinit de rezultate posibile, acestea sunt mult mai rar întâlnite în contextul calculului și al prelucrării informației și necesită, de asemenea, matematică suplimentară (și anume teoria măsurii) pentru a fi formalizate corect.

Atenția noastră inițială se va îndrepta spre așa-numitele măsurători distructive, în care ieșirea măsurătorii este doar un rezultat clasic — fără nicio specificație a stării cuantice post-măsurătoare a sistemului măsurat. Intuitiv, ne putem imagina că o astfel de măsurătoare distruge sistemul cuantic în sine sau că sistemul este imediat eliminat odată ce măsurătoarea este efectuată. Mai târziu în lecție ne vom lărgi perspectiva și vom considera măsurătorile nedistructive, în care există atât un rezultat clasic, cât și o stare cuantică post-măsurătoare a sistemului măsurat.

Măsurători ca colecții de matrice

Fie $\mathsf{X}$ un sistem ce urmează a fi măsurat și presupunem, pentru simplitate, că mulțimea stărilor clasice ale lui $\mathsf{X}$ este $\{0,\ldots, n-1\}$ pentru un număr întreg pozitiv $n,$ astfel încât matricele de densitate care reprezintă stările cuantice ale lui $\mathsf{X}$ sunt matrice de dimensiune $n\times n$. Nu vom avea de fapt prea mare nevoie să ne referim la stările clasice ale lui $\mathsf{X},$ dar va fi convenabil să ne referim la $n,$ numărul de stări clasice ale lui $\mathsf{X}.$ Vom presupune, de asemenea, că rezultatele posibile ale măsurătorii sunt numerele întregi $0,\ldots,m-1$ pentru un număr întreg pozitiv $m.$

Rețineți că folosim aceste denumiri doar pentru a simplifica lucrurile; este simplu să generalizăm tot ceea ce urmează la alte mulțimi finite de stări clasice și rezultate ale măsurătorilor, redenumindu-le după cum dorim.

Măsurători proiective

Reamintim că o măsurătoare proiectivă este descrisă de o colecție de matrice de proiecție care sumează la matricea identitate. În simboluri,

$$\{\Pi_0,\ldots,\Pi_{m-1}\}$$

descrie o măsurătoare proiectivă a lui $\mathsf{X}$ dacă fiecare $\Pi_a$ este o matrice de proiecție de dimensiune $n\times n$ și este îndeplinită următoarea condiție.

$$\Pi_0 + \cdots + \Pi_{m-1} = \mathbb{I}_{\mathsf{X}}$$

Când o astfel de măsurătoare este efectuată pe un sistem $\mathsf{X}$ aflat într-o stare descrisă de un vector de stare cuantică $\vert\psi\rangle,$ fiecare rezultat $a$ este obținut cu probabilitate egală cu $\|\Pi_a\vert\psi\rangle\|^2.$ De asemenea, starea post-măsurătoare a lui $\mathsf{X}$ se obține prin normalizarea vectorului $\Pi_a\vert\psi\rangle,$ dar deocamdată ignorăm starea post-măsurătoare.

Dacă starea lui $\mathsf{X}$ este descrisă de o matrice de densitate $\rho$ în loc de un vector de stare cuantică $\vert\psi\rangle,$ atunci putem exprima alternativ probabilitatea de a obține rezultatul $a$ ca $\operatorname{Tr}(\Pi_a \rho).$

Dacă $\rho = \vert \psi\rangle\langle\psi\vert$ este o stare pură, atunci cele două expresii sunt egale:

$$\operatorname{Tr}(\Pi_a \rho) = \operatorname{Tr}(\Pi_a \vert \psi\rangle\langle\psi \vert) = \langle \psi \vert \Pi_a \vert \psi \rangle = \langle \psi \vert \Pi_a \Pi_a \vert \psi \rangle = \|\Pi_a\vert\psi\rangle\|^2.$$

Aici folosim proprietatea ciclică a urmei pentru a doua egalitate, iar pentru a treia egalitate folosim faptul că fiecare $\Pi_a$ este o matrice de proiecție și, prin urmare, satisface $\Pi_a^2 = \Pi_a.$

În general, dacă $\rho$ este o combinație convexă

$$\rho = \sum_{k = 0}^{N-1} p_k \vert \psi_k\rangle\langle \psi_k \vert$$

de stări pure, atunci expresia $\operatorname{Tr}(\Pi_a \rho)$ coincide cu probabilitatea medie pentru rezultatul $a,$ datorită faptului că această expresie este liniară în $\rho.$

$$\operatorname{Tr}(\Pi_a \rho) = \sum_{k = 0}^{N-1} p_k \operatorname{Tr}(\Pi_a \vert \psi_k\rangle\langle\psi_k\vert) = \sum_{k = 0}^{N-1} p_k \|\Pi_a\vert\psi_k\rangle\|^2$$

Măsurători generale

O descriere matematică a măsurătorilor generale se obține prin relaxarea definiției măsurătorilor proiective. Mai precis, permitem matricelor din colecția ce descrie măsurătoarea să fie matrice pozitiv semidefinite arbitrare, nu neapărat proiecții. (Proiecțiile sunt întotdeauna pozitiv semidefinite; ele pot fi definite alternativ ca matrice pozitiv semidefinite ale căror valori proprii sunt toate fie 0, fie 1.)

În particular, o măsurătoare generală a unui sistem $\mathsf{X}$ cu rezultatele $0,\ldots,m-1$ este specificată de o colecție de matrice pozitiv semidefinite $\{P_0,\ldots,P_{m-1}\}$ ale căror linii și coloane corespund stărilor clasice ale lui $\mathsf{X}$ și care satisfac condiția

$$P_0 + \cdots + P_{m-1} = \mathbb{I}_{\mathsf{X}}.$$

Dacă sistemul $\mathsf{X}$ este măsurat în timp ce se află într-o stare descrisă de matricea de densitate $\rho,$ atunci fiecare rezultat $a\in\{0,\ldots,m-1\}$ apare cu probabilitate $\operatorname{Tr}(P_a \rho).$

Așa cum este firesc să cerem, vectorul probabilităților rezultatelor

$$\bigl(\operatorname{Tr}(P_0 \rho),\ldots,\operatorname{Tr}(P_{m-1} \rho)\bigr)$$

al unei măsurători generale formează întotdeauna un vector de probabilitate, indiferent de alegerea matricei de densitate $\rho.$ Următoarele două observații demonstrează că acesta este cazul.

1. Fiecare valoare $\operatorname{Tr}(P_a \rho)$ trebuie să fie nenegativă, datorită faptului că urma produsului oricăror două matrice pozitiv semidefinite este întotdeauna nenegativă:

   $$Q, R \geq 0 \; \Rightarrow \: \operatorname{Tr}(QR) \geq 0.$$

   Un mod de a argumenta acest fapt este să folosim descompunerile spectrale ale lui $Q$ și $R$ împreună cu proprietatea ciclică a urmei pentru a exprima urma produsului $QR$ ca o sumă de numere reale nenegative, care trebuie, prin urmare, să fie nenegativă.

2. Condiția $P_0 + \cdots + P_{m-1} = \mathbb{I}_{\mathsf{X}}$ împreună cu liniaritatea urmei asigură că probabilitățile sumează la $1.$

   $$\sum_{a = 0}^{m-1} \operatorname{Tr}(P_a \rho) = \operatorname{Tr}\Biggl(\sum_{a = 0}^{m-1} P_a \rho\Biggr) = \operatorname{Tr}(\mathbb{I}\rho) = \operatorname{Tr}(\rho) = 1$$

Exemplul 1: orice măsurătoare proiectivă

Proiecțiile sunt întotdeauna pozitiv semidefinite, deci orice măsurătoare proiectivă este un exemplu de măsurătoare generală.

De exemplu, o măsurătoare în baza standard a unui Qubit poate fi reprezentată prin $\{P_0,P_1\}$ unde

$$P_0 = \vert 0\rangle\langle 0\vert = \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 0 \end{pmatrix} \quad\text{și}\quad P_1 = \vert 1\rangle\langle 1\vert = \begin{pmatrix} 0 & 0 \\ 0 & 1 \end{pmatrix}.$$

Măsurarea unui Qubit în starea $\rho$ produce probabilitățile rezultatelor după cum urmează.

$$\begin{aligned} \operatorname{Prob}(\text{outcome} = 0) & = \operatorname{Tr}(P_0 \rho) = \operatorname{Tr}\bigl(\vert 0\rangle\langle 0\vert \rho\bigr) = \langle 0\vert \rho \vert 0 \rangle \\[1mm] \operatorname{Prob}(\text{outcome} = 1) & = \operatorname{Tr}(P_1 \rho) = \operatorname{Tr}\bigl(\vert 1\rangle\langle 1\vert\rho\bigr) = \langle 1 \vert \rho \vert 1 \rangle \end{aligned}$$

Exemplul 2: o măsurătoare ne-proiectivă a unui Qubit

Fie $\mathsf{X}$ un Qubit și definim două matrice după cum urmează.

$$P_0 = \begin{pmatrix} \frac{2}{3} & \frac{1}{3}\\[2mm] \frac{1}{3} & \frac{1}{3} \end{pmatrix} \qquad P_1 = \begin{pmatrix} \frac{1}{3} & -\frac{1}{3}\\[2mm] -\frac{1}{3} & \frac{2}{3} \end{pmatrix}$$

Ambele sunt matrice pozitiv semidefinite: sunt Hermitian și, în ambele cazuri, valorile proprii sunt $1/2 \pm \sqrt{5}/6,$ care sunt ambele pozitive. De asemenea, avem că $P_0 + P_1 = \mathbb{I},$ și prin urmare $\{P_0,P_1\}$ descrie o măsurătoare.

Dacă starea lui $\mathsf{X}$ este descrisă de o matrice de densitate $\rho$ și efectuăm această măsurătoare, atunci probabilitatea de a obține rezultatul $0$ este $\operatorname{Tr}(P_0 \rho)$ și probabilitatea de a obține rezultatul $1$ este $\operatorname{Tr}(P_1 \rho).$ De exemplu, dacă $\rho = \vert + \rangle \langle + \vert,$ probabilitățile pentru cele două rezultate $0$ și $1$ sunt următoarele.

$$\begin{aligned} \operatorname{Tr}(P_0 \rho) & = \operatorname{Tr}\left( \begin{pmatrix} \frac{2}{3} & \frac{1}{3}\\[2mm] \frac{1}{3} & \frac{1}{3} \end{pmatrix} \begin{pmatrix} \frac{1}{2} & \frac{1}{2}\\[2mm] \frac{1}{2} & \frac{1}{2} \end{pmatrix} \right)\\[4mm] & = \biggl(\frac{2}{3} \cdot \frac{1}{2} + \frac{1}{3} \cdot \frac{1}{2}\biggr) + \biggl(\frac{1}{3}\cdot\frac{1}{2} + \frac{1}{3}\cdot\frac{1}{2}\biggr)\\ & = \frac{1}{2} + \frac{1}{3} = \frac{5}{6}\\[4mm] \operatorname{Tr}(P_1 \rho) & = \operatorname{Tr}\left( \begin{pmatrix} \frac{1}{3} & -\frac{1}{3}\\[2mm] -\frac{1}{3} & \frac{2}{3} \end{pmatrix} \begin{pmatrix} \frac{1}{2} & \frac{1}{2}\\[2mm] \frac{1}{2} & \frac{1}{2} \end{pmatrix} \right)\\[4mm] & = \biggl(\frac{1}{3} \cdot \frac{1}{2} - \frac{1}{3} \cdot \frac{1}{2}\biggr) + \biggl(-\frac{1}{3}\cdot\frac{1}{2} + \frac{2}{3}\cdot\frac{1}{2}\biggr)\\ & = 0 + \frac{1}{6} = \frac{1}{6} \end{aligned}$$

Exemplul 3: măsurătoarea tetraedrică

Definim patru vectori de stare cuantică monoQubit după cum urmează.

$$\begin{aligned} \vert\phi_0\rangle & = \vert 0 \rangle\\ \vert\phi_1\rangle & = \frac{1}{\sqrt{3}}\vert 0 \rangle + \sqrt{\frac{2}{3}} \vert 1\rangle \\ \vert\phi_2\rangle & = \frac{1}{\sqrt{3}}\vert 0 \rangle + \sqrt{\frac{2}{3}} e^{2\pi i/3} \vert 1\rangle \\ \vert\phi_3\rangle & = \frac{1}{\sqrt{3}}\vert 0 \rangle + \sqrt{\frac{2}{3}} e^{-2\pi i/3} \vert 1\rangle \end{aligned}$$

Aceste patru stări sunt uneori cunoscute sub denumirea de stări tetraedrice deoarece sunt vârfurile unui tetraedru regulat înscris în sfera Bloch.

Coordonatele carteziene ale acestor patru stări pe sfera Bloch sunt

$$(0,0,1),\\[2mm] \left( \frac{2\sqrt{2}}{3} , 0 , -\frac{1}{3} \right),\\[1mm] \left( -\frac{\sqrt{2}}{3} , \sqrt{\frac{2}{3}} , -\frac{1}{3} \right),\\[1mm] \left( -\frac{\sqrt{2}}{3} , -\sqrt{\frac{2}{3}} , -\frac{1}{3} \right),$$

ceea ce poate fi verificat exprimând reprezentările matricelor de densitate ale acestor stări ca combinații liniare de matrice Pauli.

$$\vert \phi_0 \rangle\langle \phi_0 \vert = \begin{pmatrix} 1 & 0\\[1mm] 0 & 0 \end{pmatrix} = \frac{\mathbb{I} + \sigma_z}{2}$$ $$\vert \phi_1 \rangle\langle \phi_1 \vert = \begin{pmatrix} \frac{1}{3} & \frac{\sqrt{2}}{3} \\[2mm] \frac{\sqrt{2}}{3} & \frac{2}{3} \end{pmatrix} = \frac{\mathbb{I} + \frac{2\sqrt{2}}{3} \sigma_x - \frac{1}{3}\sigma_z}{2}$$ $$\vert \phi_2 \rangle\langle \phi_2 \vert = \begin{pmatrix} \frac{1}{3} & -\frac{1}{3\sqrt{2}} - \frac{i}{\sqrt{6}} \\[2mm] -\frac{1}{3\sqrt{2}} + \frac{i}{\sqrt{6}} & \frac{2}{3} \end{pmatrix} = \frac{\mathbb{I} - \frac{\sqrt{2}}{3} \sigma_x + \sqrt{\frac{2}{3}} \sigma_y - \frac{1}{3}\sigma_z}{2}$$ $$\vert \phi_3 \rangle\langle \phi_3 \vert = \begin{pmatrix} \frac{1}{3} & -\frac{1}{3\sqrt{2}} + \frac{i}{\sqrt{6}} \\[2mm] -\frac{1}{3\sqrt{2}} - \frac{i}{\sqrt{6}} & \frac{2}{3} \end{pmatrix} = \frac{\mathbb{I} - \frac{\sqrt{2}}{3} \sigma_x - \sqrt{\frac{2}{3}} \sigma_y - \frac{1}{3}\sigma_z}{2}$$

Aceste patru stări sunt perfect distribuite pe sfera Bloch, fiecare aflată la aceeași distanță față de celelalte trei, unghiurile dintre oricare două dintre ele fiind întotdeauna egale.

Acum să definim o măsurătoare $\{P_0,P_1,P_2,P_3\}$ a unui Qubit setând $P_a$ după cum urmează pentru fiecare $a=0,\ldots,3.$

$$P_a = \frac{\vert\phi_a\rangle\langle\phi_a\vert}{2}$$

Putem verifica că aceasta este o măsurătoare validă după cum urmează.

1. Fiecare $P_a$ este evident pozitiv semidefinit, fiind o stare pură împărțită la o jumătate. Adică, fiecare este o matrice Hermitian și are o valoare proprie egală cu $1/2$ și toate celelalte valori proprii zero.
2. Suma acestor matrice este matricea identitate: $P_0 + P_1 + P_2 + P_3 = \mathbb{I}.$ Exprimarea acestor matrice ca combinații liniare de matrice Pauli face această verificare simplă.

Măsurători ca și canale

O a doua modalitate de a descrie măsurătorile în termeni matematici este ca și canale.

Informația clasică poate fi privită ca un caz special al informației cuantice, în măsura în care putem identifica stările probabilistice cu matricele de densitate diagonale. Deci, în termeni operaționali, putem privi măsurătorile ca și canale ale căror intrări sunt matrice ce descriu stările oricărui sistem măsurat și ale căror ieșiri sunt matrice de densitate diagonale ce descriu distribuția rezultatelor măsurătorii.

Vom vedea în curând că orice canal cu această proprietate poate fi întotdeauna scris într-o formă simplă, canonică, care se leagă direct de descrierea măsurătorilor ca și colecții de matrice pozitiv semidefinite. Invers, dată o măsurătoare arbitrară ca o colecție de matrice, există întotdeauna un canal valid cu proprietatea ieșirii diagonale care descrie măsurătoarea dată, conform sugestiei din paragraful anterior. Punând aceste observații împreună, concluzionăm că cele două descrieri ale măsurătorilor generale sunt echivalente.

Înainte de a merge mai departe, să fim mai preciși cu privire la măsurătoare, la modul în care o privim ca pe un canal și la ipotezele pe care le facem despre ea.

Ca și înainte, vom presupune că $\mathsf{X}$ este sistemul ce urmează a fi măsurat și că rezultatele posibile ale măsurătorii sunt numerele întregi $0,\ldots,m-1$ pentru un număr întreg pozitiv $m.$ Fie $\mathsf{Y}$ sistemul care stochează rezultatele măsurătorii, deci mulțimea sa de stări clasice este $\{0,\ldots,m-1\},$ și reprezentăm măsurătoarea ca pe un canal denumit $\Phi$ de la $\mathsf{X}$ la $\mathsf{Y}.$ Presupunerea noastră este că $\mathsf{Y}$ este clasic — adică, indiferent de starea cu care pornim pentru $\mathsf{X},$ starea lui $\mathsf{Y}$ pe care o obținem este reprezentată de o matrice de densitate diagonală.

Putem exprima în termeni matematici că ieșirea lui $\Phi$ este întotdeauna diagonală în felul următor. Mai întâi definim canalul complet de dephasing $\Delta_m$ pe $\mathsf{Y}.$

$$\Delta_m(\sigma) = \sum_{a = 0}^{m-1} \langle a \vert \sigma \vert a\rangle \,\vert a\rangle\langle a\vert$$

Acest canal este analog canalului complet de dephasing al unui Qubit $\Delta$ din lecția anterioară. Ca aplicație liniară, anulează toate intrările ne-diagonale ale unei matrice de intrare și lasă diagonala neschimbată.

Iar acum, un mod simplu de a exprima că o matrice de densitate dată $\sigma$ este diagonală este prin ecuația $\sigma = \Delta_m(\sigma).$ Cu alte cuvinte, anularea tuturor intrărilor ne-diagonale ale unei matrice de densitate nu are niciun efect dacă și numai dacă intrările ne-diagonale erau deja zero. Canalul $\Phi$ satisface, prin urmare, presupunerea noastră — că $\mathsf{Y}$ este clasic — dacă și numai dacă

$$\Phi(\rho) = \Delta_m(\Phi(\rho))$$

pentru orice matrice de densitate $\rho$ ce reprezintă o stare a lui $\mathsf{X}.$

Echivalența formulărilor

De la canale la matrice

Fie un canal de la $\mathsf{X}$ la $\mathsf{Y}$ cu proprietatea că

$$\Phi(\rho) = \Delta_m(\Phi(\rho))$$

pentru orice matrice de densitate $\rho.$ Aceasta poate fi exprimată alternativ după cum urmează.

$$\Phi(\rho) = \sum_{a = 0}^{m-1} \langle a \vert \Phi(\rho) \vert a\rangle\, \vert a\rangle\langle a \vert \tag{1}$$

Ca orice canal, putem exprima $\Phi$ în formă Kraus pentru un anumit mod de alegere a matricelor Kraus $A_0,\ldots,A_{N-1}.$

$$\Phi(\rho) = \sum_{k = 0}^{N-1} A_k \rho A_k^{\dagger}$$

Aceasta ne oferă o expresie alternativă pentru intrările diagonale ale lui $\Phi(\rho)\!:$

$$\begin{aligned} \langle a \vert \Phi(\rho) \vert a\rangle & = \sum_{k = 0}^{N-1} \langle a \vert A_k \rho A_k^{\dagger} \vert a\rangle \\ & = \sum_{k = 0}^{N-1} \operatorname{Tr}\bigl( A_k^{\dagger} \vert a\rangle\langle a \vert A_k \rho\bigr)\\ & = \operatorname{Tr}\bigl(P_a\rho\bigr) \end{aligned}$$

pentru

$$P_a = \sum_{k = 0}^{N-1} A_k^{\dagger} \vert a\rangle\langle a \vert A_k.$$

Astfel, pentru aceleași matrice $P_0,\ldots,P_{m-1}$ putem exprima canalul $\Phi$ după cum urmează.

$$\Phi(\rho) = \sum_{a = 0}^{m-1} \operatorname{Tr}(P_a \rho) \vert a\rangle\langle a\vert$$

Această expresie este consistentă cu descrierea noastră a măsurătorilor generale în termeni de matrice, deoarece vedem că fiecare rezultat al măsurătorii apare cu probabilitatea $\operatorname{Tr}(P_a \rho).$

Acum să observăm că cele două proprietăți cerute colecției de matrice $\{P_0,\ldots,P_{m-1}\}$ pentru a descrie o măsurătoare generală sunt într-adevăr satisfăcute. Prima proprietate este că toate sunt matrice pozitiv semidefinite. Un mod de a vedea acest lucru este să observăm că, pentru orice vector $\vert \psi\rangle$ cu intrări în corespondență cu starea clasică a lui $\mathsf{X},$ avem

$$\langle \psi \vert P_a \vert \psi\rangle = \sum_{k = 0}^{N-1} \langle \psi \vert A_k^{\dagger} \vert a\rangle\langle a \vert A_k\vert \psi\rangle = \sum_{k = 0}^{N-1} \bigl\vert\langle a \vert A_k\vert \psi\rangle\bigr\vert^2 \geq 0.$$

A doua proprietate este că dacă sumăm aceste matrice obținem matricea identitate.

$$\begin{aligned} \sum_{a = 0}^{m-1} P_a & = \sum_{a = 0}^{m-1} \sum_{k = 0}^{N-1} A_k^{\dagger} \vert a\rangle\langle a \vert A_k \\ & = \sum_{k = 0}^{N-1} A_k^{\dagger} \Biggl(\sum_{a = 0}^{m-1} \vert a\rangle\langle a \vert\Biggr) A_k \\ & = \sum_{k = 0}^{N-1} A_k^{\dagger} A_k \\ & = \mathbb{I}_{\mathsf{X}} \end{aligned}$$

Ultima egalitate urmează din faptul că $\Phi$ este un canal, deci matricele sale Kraus trebuie să satisfacă această condiție.

De la matrice la canale

Acum să verificăm că pentru orice colecție $\{P_0,\ldots,P_{m-1}\}$ de matrice pozitiv semidefinite care satisfac $P_0 + \cdots + P_{m-1} = \mathbb{I}_{\mathsf{X}},$ aplicația definită prin

$$\Phi(\rho) = \sum_{a = 0}^{m-1} \operatorname{Tr}(P_a \rho) \vert a \rangle\langle a\vert$$

este într-adevăr un canal valid de la $\mathsf{X}$ la $\mathsf{Y}.$

Un mod de a face acest lucru este să calculăm reprezentarea Choi a acestei aplicații.

$$\begin{aligned} J(\Phi) & = \sum_{b,c = 0}^{n-1} \vert b \rangle \langle c \vert \otimes \Phi(\vert b \rangle \langle c \vert)\\[1mm] & = \sum_{b,c = 0}^{n-1} \sum_{a = 0}^{m-1} \vert b \rangle \langle c \vert \otimes \operatorname{Tr}(P_a \vert b \rangle \langle c \vert) \vert a \rangle\langle a\vert\\[1mm] & = \sum_{b,c = 0}^{n-1} \sum_{a = 0}^{m-1} \vert b \rangle \langle b \vert P_a^T \vert c \rangle \langle c \vert \otimes \vert a \rangle\langle a\vert\\[1mm] & = \sum_{a = 0}^{m-1} P_a^T \otimes \vert a \rangle\langle a\vert \end{aligned}$$

Transpusa fiecărui $P_a$ este introdusă pentru a treia egalitate deoarece

$$\langle c \vert P_a \vert b\rangle = \langle b \vert P_a^T \vert c\rangle.$$

Aceasta permite apariția expresiilor $\vert b \rangle \langle b \vert$ și $\vert c \rangle \langle c \vert,$ care se simplifică la matricea identitate prin sumarea peste $b,$ respectiv $c.$

Prin presupunerea că $P_0,\ldots,P_{m-1}$ sunt pozitiv semidefinite, la fel sunt și $P_0^{T},\ldots,P_{m-1}^{T}.$ În particular, transpusa unei matrice Hermitian rezultă în altă matrice Hermitian, iar valorile proprii ale oricărei matrice pătrate și ale transpusei sale coincid întotdeauna. Rezultă că $J(\Phi)$ este pozitiv semidefinit. Calculând urma parțială a sistemului de ieșire $\mathsf{Y}$ (care este sistemul din dreapta) obținem

$$\operatorname{Tr}_{\mathsf{Y}} (J(\Phi)) = \sum_{a = 0}^{m-1} P_a^T = \mathbb{I}_{\mathsf{X}}^T = \mathbb{I}_{\mathsf{X}},$$

și astfel concluzionăm că $\Phi$ este un canal.

Măsurători parțiale

Fie mai multe sisteme care sunt colectiv într-o stare cuantică și o măsurătoare generală se efectuează pe unul dintre sisteme. Aceasta produce unul dintre rezultatele măsurătorii, selectat aleatoriu în conformitate cu probabilitățile determinate de măsurătoare și de starea sistemului înainte de măsurătoare. Starea rezultantă a sistemelor rămase va depinde, în general, de rezultatul măsurătorii obținut.

Să examinăm cum funcționează acest lucru pentru o pereche de sisteme $(\mathsf{X},\mathsf{Z})$ când sistemul $\mathsf{X}$ este măsurat. (Numim sistemul din dreapta $\mathsf{Z}$ deoarece vom lua $\mathsf{Y}$ ca sistem ce reprezintă ieșirea clasică a măsurătorii când o privim ca pe un canal.) Putem apoi generaliza cu ușurință la situația în care ordinea sistemelor este inversată, precum și la trei sau mai multe sisteme.

Fie starea lui $(\mathsf{X},\mathsf{Z})$ înainte de măsurătoare descrisă de o matrice de densitate $\rho,$ pe care o putem scrie după cum urmează.

$$\rho = \sum_{b,c = 0}^{n-1} \vert b\rangle\langle c\vert \otimes \rho_{b,c}$$

În această expresie presupunem că stările clasice ale lui $\mathsf{X}$ sunt $0,\ldots,n-1.$

Vom presupune că măsurătoarea în sine este descrisă de colecția de matrice $\{P_0,\ldots,P_{m-1}\}.$ Această măsurătoare poate fi descrisă alternativ ca un canal $\Phi$ de la $\mathsf{X}$ la $\mathsf{Y},$ unde $\mathsf{Y}$ este un sistem nou cu mulțimea de stări clasice $\{0,\ldots,m-1\}.$ Mai precis, acțiunea acestui canal poate fi exprimată după cum urmează.

$$\Phi(\xi) = \sum_{a = 0}^{m-1} \operatorname{Tr}(P_a \xi)\, \vert a \rangle \langle a \vert$$

Probabilitățile rezultatelor

Avem în vedere o măsurătoare a sistemului $\mathsf{X},$ deci probabilitățile cu care se obțin diferitele rezultate ale măsurătorii pot depinde numai de $\rho_{\mathsf{X}},$ starea redusă a lui $\mathsf{X}.$ În particular, probabilitatea pentru fiecare rezultat $a\in\{0,\ldots,m-1\}$ de a apărea poate fi exprimată în trei moduri echivalente.

$$\operatorname{Tr}\bigl( P_a \rho_{\mathsf{X}}\bigr) = \operatorname{Tr}\bigl( P_a \operatorname{Tr}_{\mathsf{Z}}(\rho)\bigr) = \operatorname{Tr}\bigl( (P_a \otimes \mathbb{I}_{\mathsf{Z}}) \rho \bigr)$$

Prima expresie reprezintă în mod natural probabilitatea de a obține rezultatul $a$ pe baza a ceea ce știm deja despre măsurătorile unui singur sistem. Pentru a obține a doua expresie folosim pur și simplu definiția $\rho_{\mathsf{X}} = \operatorname{Tr}_{\mathsf{Z}}(\rho).$

Pentru a obține a treia expresie este nevoie de mai multă gândire — și cei care studiază sunt încurajați să se convingă că este adevărată. Iată un indiciu: Echivalența dintre a doua și a treia expresie din ecuația anterioară nu depinde de faptul că $\rho$ este o matrice de densitate sau că fiecare $P_a$ este pozitiv semidefinit. Încearcă să o demonstrezi mai întâi pentru produse tensoriale de forma $\rho = M\otimes N$ și apoi concluzionează că trebuie să fie adevărat în general prin liniaritate.

Deși echivalența primei și a treia expresii din ecuația anterioară poate să nu fie imediată, ea are sens. Pornind de la o măsurătoare pe $\mathsf{X},$ definim efectiv o măsurătoare a lui $(\mathsf{X},\mathsf{Z}),$ în care pur și simplu eliminăm $\mathsf{Z}$ și măsurăm $\mathsf{X}.$ Ca orice măsurătoare, această nouă măsurătoare poate fi descrisă de o colecție de matrice și nu este surprinzător că această măsurătoare este descrisă de colecția

$$\{P_0\otimes\mathbb{I}_{\mathsf{Z}}, \ldots, P_{m-1}\otimes\mathbb{I}_{\mathsf{Z}}\}.$$

Stări condiționate de rezultatele măsurătorii

Dacă vrem să determinăm nu doar probabilitățile pentru diferitele rezultate, ci și starea rezultantă a lui $\mathsf{Z}$ condiționată de fiecare rezultat al măsurătorii, putem apela la descrierea prin canal a măsurătorii. În particular, să examinăm starea pe care o obținem când aplicăm $\Phi$ lui $\mathsf{X}$ și nu facem nimic lui $\mathsf{Z}.$

$$\begin{aligned} (\Phi\otimes\operatorname{Id}_{\mathsf{Z}})(\rho) & = \sum_{b,c = 0}^{n-1} \Phi(\vert b\rangle\langle c\vert) \otimes \rho_{b,c}\\ & = \sum_{a = 0}^{m-1} \sum_{b,c = 0}^{n-1} \operatorname{Tr}(P_a \vert b\rangle\langle c\vert) \,\vert a\rangle \langle a \vert \otimes \rho_{b,c}\\ & = \sum_{a = 0}^{m-1} \vert a\rangle \langle a \vert \otimes \sum_{b,c = 0}^{n-1} \operatorname{Tr}(P_a \vert b\rangle\langle c\vert) \rho_{b,c}\\ & = \sum_{a = 0}^{m-1} \vert a\rangle \langle a \vert \otimes \sum_{b,c = 0}^{n-1} \operatorname{Tr}_{\mathsf{X}}\bigl((P_a\otimes\mathbb{I}_{\mathsf{Z}}) (\vert b\rangle\langle c\vert\otimes\rho_{b,c})\bigr)\\ & = \sum_{a = 0}^{m-1} \vert a\rangle \langle a \vert \otimes \operatorname{Tr}_{\mathsf{X}}\bigl((P_a \otimes \mathbb{I}_{\mathsf{Z}}) \rho\bigr) \end{aligned}$$

Rețineți că aceasta este o matrice de densitate datorită faptului că $\Phi$ este un canal, deci fiecare matrice $\operatorname{Tr}_{\mathsf{X}}\bigl((P_a \otimes \mathbb{I}_{\mathsf{Z}}) \rho)$ este neapărat pozitiv semidefinită.

Un ultim pas transformă această expresie în una care relevă ce căutăm.

$$\sum_{a = 0}^{m-1} \operatorname{Tr}\bigl((P_a \otimes \mathbb{I}_{\mathsf{Z}}) \rho)\, \vert a\rangle \langle a \vert \otimes \frac{\operatorname{Tr}_{\mathsf{X}}\bigl((P_a \otimes \mathbb{I}_{\mathsf{Z}}) \rho)}{\operatorname{Tr}\bigl((P_a \otimes \mathbb{I}_{\mathsf{Z}}) \rho)}$$

Acesta este un exemplu de stare clasic-cuantică,

$$\sum_{a = 0}^{m-1} p(a)\, \vert a\rangle\langle a\vert \otimes \sigma_a,$$

cum am văzut în lecția despre Matrice de densitate. Pentru fiecare rezultat al măsurătorii $a\in\{0,\ldots,m-1\},$ avem cu probabilitatea

$$p(a) = \operatorname{Tr}\bigl((P_a \otimes \mathbb{I}_{\mathsf{Z}}) \rho)$$

că $\mathsf{Y}$ se află în starea clasică $\vert a \rangle \langle a \vert$ și $\mathsf{Z}$ se află în starea

$$\sigma_a = \frac{\operatorname{Tr}_{\mathsf{X}}\bigl((P_a \otimes \mathbb{I}_{\mathsf{Z}}) \rho)}{\operatorname{Tr}\bigl((P_a \otimes \mathbb{I}_{\mathsf{Z}}) \rho)}. \tag{2}$$

Adică, aceasta este matricea de densitate pe care o obținem normalizând

$$\operatorname{Tr}_{\mathsf{X}}\bigl((P_a \otimes \mathbb{I}_{\mathsf{Z}}) \rho)$$

prin împărțire la urma sa. (Formal vorbind, starea $\sigma_a$ este definită numai când probabilitatea $p(a)$ este nenulă; când $p(a) = 0$ această stare este irelevantă, deoarece se referă la un eveniment discret care apare cu probabilitate zero.)

Firesc, probabilitățile rezultatelor sunt consistente cu observațiile noastre anterioare.

Pe scurt, acesta este ceea ce se întâmplă când măsurătoarea $\{P_0,\ldots,P_{m-1}\}$ este efectuată pe $\mathsf{X}$ când $(\mathsf{X},\mathsf{Z})$ se află în starea $\rho.$

1. Fiecare rezultat $a$ apare cu probabilitatea $p(a) = \operatorname{Tr}\bigl((P_a \otimes \mathbb{I}_{\mathsf{Z}}) \rho).$
2. Condiționat de obținerea rezultatului $a,$ starea lui $\mathsf{Z}$ este reprezentată de matricea de densitate $\sigma_a$ arătată în ecuația $(2),$ care se obține normalizând $\operatorname{Tr}_{\mathsf{X}}\bigl((P_a \otimes \mathbb{I}_{\mathsf{Z}}) \rho).$

Generalizare

Putem adapta această descriere la alte situații, cum ar fi atunci când ordinea sistemelor este inversată sau când există trei sau mai multe sisteme. Conceptual este simplu, deși formulele pot deveni greoaie.

În general, dacă avem $r$ sisteme $\mathsf{X}_1,\ldots,\mathsf{X}_r,$ starea sistemului compus $(\mathsf{X}_1,\ldots,\mathsf{X}_r)$ este $\rho,$ și măsurătoarea $\{P_0,\ldots,P_{m-1}\}$ este efectuată pe $\mathsf{X}_k$, se întâmplă următoarele.

1. Fiecare rezultat $a$ apare cu probabilitatea

   $$p(a) = \operatorname{Tr}\bigl((\mathbb{I}_{\mathsf{X}_1}\otimes \cdots \otimes\mathbb{I}_{\mathsf{X}_{k-1}} \otimes P_a \otimes \mathbb{I}_{\mathsf{X}_{k+1}} \otimes \cdots \otimes\mathbb{I}_{\mathsf{X}_r}) \rho\bigr).$$

2. Condiționat de obținerea rezultatului $a,$ starea lui $(\mathsf{X}_1,\ldots,\mathsf{X}_{k-1},\mathsf{X}_{k+1},\ldots,\mathsf{X}_r)$ este reprezentată de următoarea matrice de densitate.

   $$\frac{\operatorname{Tr}_{\mathsf{X}_k}\bigl((\mathbb{I}_{\mathsf{X}_1}\otimes \cdots \otimes\mathbb{I}_{\mathsf{X}_{k-1}} \otimes P_a \otimes \mathbb{I}_{\mathsf{X}_{k+1}} \otimes \cdots \otimes\mathbb{I}_{\mathsf{X}_r}) \rho\bigr)}{\operatorname{Tr}\bigl((\mathbb{I}_{\mathsf{X}_1}\otimes \cdots \otimes\mathbb{I}_{\mathsf{X}_{k-1}} \otimes P_a \otimes \mathbb{I}_{\mathsf{X}_{k+1}} \otimes \cdots \otimes\mathbb{I}_{\mathsf{X}_r}) \rho\bigr)}$$