Sisteme multiple și stări reduse

Acum ne vom îndrepta atenția spre modul în care matricele de densitate funcționează pentru sisteme multiple, inclusiv exemple de diferite tipuri de corelații pe care le pot exprima și cum pot fi folosite pentru a descrie stările unor părți izolate din sisteme compuse.

Sisteme multiple

Matricele de densitate pot reprezenta stările unor sisteme multiple într-un mod analog vectorilor de stare din formularea simplificată a informației cuantice, urmând aceeași idee de bază că sistemele multiple pot fi privite ca și cum ar fi sisteme individuale compuse. Din punct de vedere matematic, liniile și coloanele matricelor de densitate care reprezintă stările unor sisteme multiple sunt puse în corespondență cu produsul cartezian al mulțimilor de stări clasice ale sistemelor individuale.

De exemplu, reamintește-ți reprezentările prin vectori de stare ale celor patru stări Bell.

$$\begin{aligned} \vert \phi^+ \rangle & = \frac{1}{\sqrt{2}} \vert 00 \rangle + \frac{1}{\sqrt{2}} \vert 11 \rangle \\[2mm] \vert \phi^- \rangle & = \frac{1}{\sqrt{2}} \vert 00 \rangle - \frac{1}{\sqrt{2}} \vert 11 \rangle \\[2mm] \vert \psi^+ \rangle & = \frac{1}{\sqrt{2}} \vert 01 \rangle + \frac{1}{\sqrt{2}} \vert 10 \rangle \\[2mm] \vert \psi^- \rangle & = \frac{1}{\sqrt{2}} \vert 01 \rangle - \frac{1}{\sqrt{2}} \vert 10 \rangle \end{aligned}$$

Reprezentările prin matrice de densitate ale acestor stări sunt următoarele.

$$\vert \phi^+ \rangle \langle \phi^+ \vert = \begin{pmatrix} \frac{1}{2} & 0 & 0 & \frac{1}{2}\\[2mm] 0 & 0 & 0 & 0\\[2mm] 0 & 0 & 0 & 0\\[2mm] \frac{1}{2} & 0 & 0 & \frac{1}{2} \end{pmatrix}$$ $$\vert \phi^- \rangle \langle \phi^- \vert = \begin{pmatrix} \frac{1}{2} & 0 & 0 & -\frac{1}{2}\\[2mm] 0 & 0 & 0 & 0\\[2mm] 0 & 0 & 0 & 0\\[2mm] -\frac{1}{2} & 0 & 0 & \frac{1}{2} \end{pmatrix}$$ $$\vert \psi^+ \rangle \langle \psi^+ \vert = \begin{pmatrix} 0 & 0 & 0 & 0\\[2mm] 0 & \frac{1}{2} & \frac{1}{2} & 0\\[2mm] 0 & \frac{1}{2} & \frac{1}{2} & 0\\[2mm] 0 & 0 & 0 & 0 \end{pmatrix}$$ $$\vert \psi^- \rangle \langle \psi^- \vert = \begin{pmatrix} 0 & 0 & 0 & 0\\[2mm] 0 & \frac{1}{2} & -\frac{1}{2} & 0\\[2mm] 0 & -\frac{1}{2} & \frac{1}{2} & 0\\[2mm] 0 & 0 & 0 & 0 \end{pmatrix}$$

Stări produs

Similar cu ceea ce am avut pentru vectorii de stare, produsele tensoriale ale matricelor de densitate reprezintă independența dintre stările mai multor sisteme. De exemplu, dacă $\mathsf{X}$ este pregătit în starea reprezentată de matricea de densitate $\rho$ și $\mathsf{Y}$ este pregătit independent în starea reprezentată de $\sigma,$ atunci matricea de densitate care descrie starea lui $(\mathsf{X},\mathsf{Y})$ este produsul tensorial $\rho\otimes\sigma.$

Aceeași terminologie este folosită aici ca în formularea simplificată a informației cuantice: stările de această formă sunt denumite stări produs.

Stări corelate și entanglate

Stările care nu pot fi exprimate ca stări produs reprezintă corelații între sisteme. Există, de fapt, diferite tipuri de corelații care pot fi reprezentate prin matrice de densitate. Iată câteva exemple.

1. Stări clasice corelate. De exemplu, putem exprima situația în care Alice și Bob împart un bit aleator astfel:

   $$\frac{1}{2} \vert 0 \rangle \langle 0 \vert \otimes \vert 0 \rangle \langle 0 \vert + \frac{1}{2} \vert 1 \rangle \langle 1 \vert \otimes \vert 1 \rangle \langle 1 \vert = \begin{pmatrix} \frac{1}{2} & 0 & 0 & 0\\[2mm] 0 & 0 & 0 & 0\\[2mm] 0 & 0 & 0 & 0\\[2mm] 0 & 0 & 0 & \frac{1}{2} \end{pmatrix}$$

2. Ansambluri de stări cuantice. Să presupunem că avem $m$ matrice de densitate $\rho_0,\ldots,\rho_{m-1},$ toate reprezentând stări ale unui sistem $\mathsf{X},$ și alegem aleator una dintre aceste stări conform unui vector de probabilitate $(p_0,\ldots,p_{m-1}).$ Un astfel de proces este reprezentat de un ansamblu de stări, care include specificarea matricelor de densitate $\rho_0,\ldots,\rho_{m-1},$ precum și probabilitățile $(p_0,\ldots,p_{m-1}).$ Putem asocia un ansamblu de stări cu o singură matrice de densitate, descriind atât alegerea aleatoare a lui $k$, cât și matricea de densitate corespunzătoare $\rho_k,$ astfel:

   $$\sum_{k = 0}^{m-1} p_k \vert k\rangle \langle k \vert \otimes \rho_k.$$

   Pentru a fi clar, aceasta este starea unei perechi $(\mathsf{Y},\mathsf{X})$ unde $\mathsf{Y}$ reprezintă selecția clasică a lui $k$ — deci presupunem că mulțimea sa de stări clasice este $\{0,\ldots,m-1\}.$ Stările de această formă sunt uneori numite stări clasic-cuantice.

3. Stări separabile. Ne putem imagina situații în care avem o corelație clasică între stările cuantice ale două sisteme, astfel:

   $$\sum_{k = 0}^{m-1} p_k \rho_k \otimes \sigma_k.$$

   Cu alte cuvinte, pentru fiecare $k$ de la $0$ la $m-1,$ avem că cu probabilitatea $p_k$ sistemul din stânga se află în starea $\rho_k$ și sistemul din dreapta se află în starea $\sigma_k.$ Stările de acest tip se numesc stări separabile. Acest concept poate fi extins și la mai mult de două sisteme.

4. Stări entanglate. Nu toate stările perechilor de sisteme sunt separabile. În formularea generală a informației cuantice, astfel este definit entanglementul: stările care nu sunt separabile sunt numite entanglate.

   Reține că această terminologie este consecventă cu terminologia folosită în cursul „Bazele informației cuantice". Acolo am spus că vectorii de stare cuantică care nu sunt stări produs reprezintă stări entanglate — și într-adevăr, pentru orice vector de stare cuantică $\vert\psi\rangle$ care nu este o stare produs, constatăm că starea reprezentată de matricea de densitate $\vert\psi\rangle\langle\psi\vert$ nu este separabilă. Entanglementul este mult mai complicat decât atât pentru stările care nu sunt pure.

Stări reduse și urma parțială

Există ceva simplu, dar important pe care îl putem face cu matricele de densitate în contextul sistemelor multiple, și anume să descriem stările pe care le obținem ignorând unele dintre sisteme. Când mai multe sisteme se află într-o stare cuantică și eliminăm sau alegem să ignorăm unul sau mai multe sisteme, starea sistemelor rămase se numește starea redusă a acelor sisteme. Descrierile prin matrice de densitate ale stărilor reduse se obțin cu ușurință printr-o aplicație, cunoscută sub numele de urmă parțială, din matricea de densitate care descrie starea întregului.

Exemplu: stări reduse pentru un e-bit

Să presupunem că avem o pereche de qubiți $(\mathsf{A},\mathsf{B})$ care se află împreună în starea

$$\vert\phi^+\rangle = \frac{1}{\sqrt{2}} \vert 00 \rangle + \frac{1}{\sqrt{2}} \vert 11 \rangle.$$

Ne putem imagina că Alice deține qubitul $\mathsf{A}$ și Bob deține $\mathsf{B},$ cu alte cuvinte, împreună ei împart un e-bit. Am dori să avem o descriere prin matrice de densitate a qubitului $\mathsf{A}$ al lui Alice în izolare, ca și cum Bob ar fi decis să-și ia qubitul și să viziteze stelele, fără să mai fie văzut vreodată.

Mai întâi, să ne gândim ce s-ar întâmpla dacă Bob ar decide, undeva pe parcursul călătoriei sale, să măsoare qubitul cu o măsurătoare în baza standard. Dacă ar face acest lucru, ar obține rezultatul $0$ cu probabilitatea

$$\bigl\| \bigl( \mathbb{I}_{\mathsf{A}} \otimes \langle 0\vert \bigr) \vert \phi^+ \rangle \bigr\|^2 = \Bigl\| \frac{1}{\sqrt{2}} \vert 0 \rangle \Bigr\|^2 = \frac{1}{2},$$

caz în care starea qubitului lui Alice devine $\vert 0\rangle;$ și ar obține rezultatul $1$ cu probabilitatea

$$\bigl\| \bigl( \mathbb{I}_{\mathsf{A}} \otimes \langle 1\vert \bigr) \vert \phi^+ \rangle \bigr\|^2 = \Bigl\| \frac{1}{\sqrt{2}} \vert 1 \rangle \Bigr\|^2 = \frac{1}{2},$$

caz în care starea qubitului lui Alice devine $\vert 1\rangle.$

Deci, dacă ignorăm rezultatul măsurătorii lui Bob și ne concentrăm pe qubitul lui Alice, concluzionăm că ea obține starea $\vert 0\rangle$ cu probabilitatea $1/2$ și starea $\vert 1\rangle$ cu probabilitatea $1/2.$ Aceasta ne conduce să descriem starea qubitului lui Alice în izolare prin matricea de densitate

$$\frac{1}{2} \vert 0\rangle\langle 0\vert + \frac{1}{2} \vert 1\rangle\langle 1\vert = \frac{1}{2} \mathbb{I}_{\mathsf{A}}.$$

Adică, qubitul lui Alice se află în starea complet mixtă. Pentru a fi clar, această descriere a stării qubitului lui Alice nu include rezultatul măsurătorii lui Bob; îl ignorăm complet pe Bob.

Acum, s-ar părea că descrierea prin matrice de densitate a qubitului lui Alice în izolare pe care tocmai am obținut-o depinde de presupunerea că Bob și-a măsurat qubitul, dar de fapt nu este așa. Ceea ce am făcut este să folosim posibilitatea că Bob își măsoară qubitul pentru a argumenta că starea complet mixtă apare ca stare a qubitului lui Alice, pe baza a ceea ce am învățat deja. Desigur, nimic nu spune că Bob trebuie să-și măsoare qubitul — dar nimic nu spune că nu o face. Și dacă se află la ani-lumină distanță, atunci nimic din ceea ce face sau nu face nu poate influența starea qubitului lui Alice văzut în izolare. Cu alte cuvinte, descrierea pe care am obținut-o pentru starea qubitului lui Alice este singura descriere compatibilă cu imposibilitatea comunicării mai rapide decât lumina.

Putem considera și starea qubitului $\mathsf{B}$ al lui Bob, care se întâmplă să fie de asemenea starea complet mixtă. Într-adevăr, pentru toate cele patru stări Bell constatăm că starea redusă atât a qubitului lui Alice, cât și a qubitului lui Bob este starea complet mixtă.

Stări reduse pentru un vector de stare cuantică general

Acum să generalizăm exemplul tocmai discutat la două sisteme arbitrare $\mathsf{A}$ și $\mathsf{B},$ nu neapărat qubiți în starea $\vert \phi^+\rangle.$ Vom presupune că mulțimile de stări clasice ale lui $\mathsf{A}$ și $\mathsf{B}$ sunt $\Sigma$ și, respectiv, $\Gamma.$ O matrice de densitate $\rho$ care reprezintă o stare a sistemului combinat $(\mathsf{A},\mathsf{B})$ are deci indici de linie și coloană corespunzători produsului cartezian $\Sigma\times\Gamma.$

Să presupunem că starea lui $(\mathsf{A},\mathsf{B})$ este descrisă de vectorul de stare cuantică $\vert\psi\rangle,$ astfel încât matricea de densitate care descrie această stare este $\rho = \vert\psi\rangle\langle\psi\vert.$ Vom obține o descriere prin matrice de densitate a stării lui $\mathsf{A}$ în izolare, care este notată în mod convențional $\rho_{\mathsf{A}}.$ (Uneori se folosește un superscript în loc de subscript.)

Vectorul de stare $\vert\psi\rangle$ poate fi exprimat în forma

$$\vert\psi\rangle = \sum_{b\in\Gamma} \vert\phi_b\rangle \otimes \vert b\rangle$$

pentru o colecție de vectori $\{\vert\phi_b\rangle : b\in\Gamma\}$ determinată în mod unic. În particular, acești vectori pot fi determinați printr-o formulă simplă.

$$\vert\phi_b\rangle = \bigl(\mathbb{I}_{\mathsf{A}} \otimes \langle b\vert\bigr)\vert\psi\rangle$$

Raționând similar cu exemplul anterior al unui e-bit, dacă am măsura sistemul $\mathsf{B}$ cu o măsurătoare în baza standard, am obține fiecare rezultat $b\in\Gamma$ cu probabilitatea $\|\vert\phi_b\rangle\|^2,$ caz în care starea lui $\mathsf{A}$ devine

$$\frac{\vert \phi_b \rangle}{\|\vert\phi_b\rangle\|}.$$

Ca matrice de densitate, această stare poate fi scrisă astfel.

$$\biggl(\frac{\vert \phi_b \rangle}{\|\vert\phi_b\rangle\|}\biggr) \biggl(\frac{\vert \phi_b \rangle}{\|\vert\phi_b\rangle\|}\biggr)^{\dagger} = \frac{\vert \phi_b \rangle\langle\phi_b\vert}{\|\vert\phi_b\rangle\|^2}$$

Făcând media diferitelor stări conform probabilităților rezultatelor respective, ajungem la matricea de densitate

$$\rho_{\mathsf{A}} = \sum_{b\in\Gamma} \|\vert\phi_b\rangle\|^2 \frac{\vert \phi_b \rangle\langle\phi_b\vert}{\|\vert\phi_b\rangle\|^2} = \sum_{b\in\Gamma} \vert \phi_b \rangle\langle\phi_b\vert = \sum_{b\in\Gamma} \bigl(\mathbb{I}_{\mathsf{A}} \otimes \langle b\vert\bigr) \vert\psi\rangle\langle\psi\vert \bigl(\mathbb{I}_{\mathsf{A}} \otimes \vert b\rangle\bigr)$$

Urma parțială

Formula

$$\rho_{\mathsf{A}} = \sum_{b\in\Gamma} \bigl(\mathbb{I}_{\mathsf{A}} \otimes \langle b\vert\bigr) \vert\psi\rangle\langle\psi\vert \bigl(\mathbb{I}_{\mathsf{A}} \otimes \vert b\rangle\bigr)$$

ne conduce la descrierea stării reduse a lui $\mathsf{A}$ pentru orice matrice de densitate $\rho$ a perechii $(\mathsf{A},\mathsf{B}),$ nu doar pentru o stare pură.

$$\rho_{\mathsf{A}} = \sum_{b\in\Gamma} \bigl( \mathbb{I}_{\mathsf{A}} \otimes \langle b \vert\bigr) \rho \bigl( \mathbb{I}_{\mathsf{A}} \otimes \vert b \rangle\bigr)$$

Această formulă trebuie să funcționeze, pur și simplu prin liniaritate împreună cu faptul că orice matrice de densitate poate fi scrisă ca o combinație convexă de stări pure.

Operația efectuată asupra lui $\rho$ pentru a obține $\rho_{\mathsf{A}}$ în această ecuație este cunoscută sub numele de urmă parțială, și mai precis spunem că urma parțială se efectuează pe $\mathsf{B},$ sau că $\mathsf{B}$ este eliminat prin urmă. Această operație este notată $\operatorname{Tr}_{\mathsf{B}},$ deci putem scrie

$$\operatorname{Tr}_{\mathsf{B}} (\rho) = \sum_{b\in\Gamma} \bigl( \mathbb{I}_{\mathsf{A}} \otimes \langle b \vert\bigr) \rho \bigl( \mathbb{I}_{\mathsf{A}} \otimes \vert b \rangle\bigr).$$

Putem defini de asemenea urma parțială pe $\mathsf{A},$ astfel încât sistemul $\mathsf{A}$ este cel eliminat prin urmă, nu $\mathsf{B},$ astfel.

$$\operatorname{Tr}_{\mathsf{A}} (\rho) = \sum_{a\in\Sigma} \bigl(\langle a \vert\otimes\mathbb{I}_{\mathsf{B}}\bigr) \rho \bigl(\vert a \rangle\otimes\mathbb{I}_{\mathsf{B}}\bigr)$$

Aceasta ne dă descrierea prin matrice de densitate $\rho_{\mathsf{B}}$ a stării lui $\mathsf{B}$ în izolare, în loc de $\mathsf{A}.$

Pentru a recapitula, dacă $(\mathsf{A},\mathsf{B})$ este orice pereche de sisteme și avem o matrice de densitate $\rho$ care descrie o stare a lui $(\mathsf{A},\mathsf{B}),$ stările reduse ale sistemelor $\mathsf{A}$ și $\mathsf{B}$ sunt următoarele.

$$\begin{aligned} \rho_{\mathsf{A}} & = \operatorname{Tr}_{\mathsf{B}}(\rho) = \sum_{b\in\Gamma} \bigl( \mathbb{I}_{\mathsf{A}} \otimes \langle b \vert\bigr) \rho \bigl( \mathbb{I}_{\mathsf{A}} \otimes \vert b \rangle\bigr)\\[2mm] \rho_{\mathsf{B}} & = \operatorname{Tr}_{\mathsf{A}}(\rho) = \sum_{a\in\Sigma} \bigl( \langle a \vert \otimes \mathbb{I}_{\mathsf{B}}\bigr) \rho \bigl( \vert a \rangle\otimes \mathbb{I}_{\mathsf{B}} \bigr) \end{aligned}$$

Dacă $\rho$ este o matrice de densitate, atunci $\rho_{\mathsf{A}}$ și $\rho_{\mathsf{B}}$ vor fi în mod necesar tot matrice de densitate.

Aceste noțiuni pot fi generalizate la orice număr de sisteme în loc de două, într-un mod natural. În general, putem pune numele oricăror sisteme la alegere în subscriptul unei matrice de densitate $\rho$ pentru a descrie starea redusă doar a acelor sisteme. De exemplu, dacă $\mathsf{A},$ $\mathsf{B}$ și $\mathsf{C}$ sunt sisteme și $\rho$ este o matrice de densitate care descrie o stare a lui $(\mathsf{A},\mathsf{B},\mathsf{C}),$ atunci putem defini

$$\begin{aligned} \rho_{\mathsf{AC}} & = \operatorname{Tr}_{\mathsf{B}}(\rho) = \sum_{b\in\Gamma} \bigl( \mathbb{I}_{\mathsf{A}} \otimes \langle b \vert \otimes \mathbb{I}_{\mathsf{C}} \bigr) \rho \bigl( \mathbb{I}_{\mathsf{A}} \otimes \vert b \rangle \otimes \mathbb{I}_{\mathsf{C}} \bigr) \\[2mm] \rho_{\mathsf{C}} & = \operatorname{Tr}_{\mathsf{AB}}(\rho) = \sum_{a\in\Sigma} \sum_{b\in\Gamma} \bigl( \langle a \vert \otimes \langle b \vert \otimes \mathbb{I}_{\mathsf{C}} \bigr) \rho \bigl( \vert a \rangle \otimes \vert b \rangle \otimes \mathbb{I}_{\mathsf{C}} \bigr) \end{aligned}$$

și similar pentru alte alegeri ale sistemelor.

Descriere alternativă a urmei parțiale

O modalitate alternativă de a descrie aplicațiile urmei parțiale $\operatorname{Tr}_{\mathsf{A}}$ și $\operatorname{Tr}_{\mathsf{B}}$ este că acestea sunt aplicațiile liniare unice care satisfac formulele

$$\begin{aligned} \operatorname{Tr}_{\mathsf{A}}(M \otimes N) & = \operatorname{Tr}(M) N \\[2mm] \operatorname{Tr}_{\mathsf{B}}(M \otimes N) & = \operatorname{Tr}(N) M. \end{aligned}$$

În aceste formule, $N$ și $M$ sunt matrice pătrate de dimensiunile corespunzătoare: liniile și coloanele lui $M$ corespund stărilor clasice ale lui $\mathsf{A}$, iar liniile și coloanele lui $N$ corespund stărilor clasice ale lui $\mathsf{B}.$

Această caracterizare a urmei parțiale nu este doar fundamentală din punct de vedere matematic, ci poate permite și calcule rapide în anumite situații. De exemplu, consideră această stare a unei perechi de qubiți $(\mathsf{A},\mathsf{B}).$

$$\rho = \frac{1}{2} \vert 0\rangle\langle 0\vert \otimes \vert 0\rangle\langle 0\vert + \frac{1}{2} \vert 1\rangle\langle 1\vert \otimes \vert +\rangle\langle +\vert$$

Pentru a calcula starea redusă $\rho_{\mathsf{A}}$, de exemplu, putem folosi liniaritatea împreună cu faptul că $\vert 0\rangle\langle 0\vert$ și $\vert +\rangle\langle +\vert$ au urmă unitară.

$$\rho_{\mathsf{A}} = \operatorname{Tr}_{\mathsf{B}}(\rho) = \frac{1}{2} \operatorname{Tr}\bigl(\vert 0\rangle\langle 0\vert\bigr)\, \vert 0\rangle\langle 0\vert + \frac{1}{2} \operatorname{Tr}\bigl(\vert +\rangle\langle +\vert\bigr) \vert 1\rangle\langle 1\vert = \frac{1}{2} \vert 0\rangle\langle 0\vert + \frac{1}{2} \vert 1\rangle\langle 1\vert$$

Starea redusă $\rho_{\mathsf{B}}$ poate fi calculată similar.

$$\rho_{\mathsf{B}} = \operatorname{Tr}_{\mathsf{A}}(\rho) = \frac{1}{2} \operatorname{Tr}\bigl(\vert 0\rangle\langle 0\vert\bigr)\, \vert 0\rangle\langle 0\vert + \frac{1}{2} \operatorname{Tr}\bigl(\vert 1\rangle\langle 1\vert\bigr) \vert +\rangle\langle +\vert = \frac{1}{2} \vert 0\rangle\langle 0\vert + \frac{1}{2} \vert +\rangle\langle +\vert$$

Urma parțială pentru doi qubiți

Urma parțială poate fi descrisă explicit și în termeni de matrice. Aici vom face acest lucru doar pentru doi qubiți, dar aceasta poate fi generalizată și pentru sisteme mai mari. Să presupunem că avem doi qubiți $(\mathsf{A},\mathsf{B}),$ astfel încât orice matrice de densitate care descrie o stare a acestor doi qubiți poate fi scrisă ca

$$\rho = \begin{pmatrix} \alpha_{00} & \alpha_{01} & \alpha_{02} & \alpha_{03}\\[2mm] \alpha_{10} & \alpha_{11} & \alpha_{12} & \alpha_{13}\\[2mm] \alpha_{20} & \alpha_{21} & \alpha_{22} & \alpha_{23}\\[2mm] \alpha_{30} & \alpha_{31} & \alpha_{32} & \alpha_{33} \end{pmatrix}$$

pentru o alegere oarecare de numere complexe $\{\alpha_{jk} : 0\leq j,k\leq 3\}.$

Urma parțială peste primul sistem are următoarea formulă.

$$\operatorname{Tr}_{\mathsf{A}} \begin{pmatrix} \alpha_{00} & \alpha_{01} & \alpha_{02} & \alpha_{03}\\[2mm] \alpha_{10} & \alpha_{11} & \alpha_{12} & \alpha_{13}\\[2mm] \alpha_{20} & \alpha_{21} & \alpha_{22} & \alpha_{23}\\[2mm] \alpha_{30} & \alpha_{31} & \alpha_{32} & \alpha_{33} \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} \alpha_{00} & \alpha_{01} \\[2mm] \alpha_{10} & \alpha_{11} \end{pmatrix} + \begin{pmatrix} \alpha_{22} & \alpha_{23}\\[2mm] \alpha_{32} & \alpha_{33} \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} \alpha_{00} + \alpha_{22} & \alpha_{01} + \alpha_{23}\\[2mm] \alpha_{10} + \alpha_{32} & \alpha_{11} + \alpha_{33} \end{pmatrix}$$

O modalitate de a înțelege această formulă pornește de la vizualizarea matricelor $4\times 4$ ca matrice bloc $2\times 2,$ unde fiecare bloc este $2\times 2.$ Adică,

$$\rho = \begin{pmatrix} M_{0,0} & M_{0,1} \\[1mm] M_{1,0} & M_{1,1} \end{pmatrix}$$

pentru

$$M_{0,0} = \begin{pmatrix} \alpha_{00} & \alpha_{01} \\[2mm] \alpha_{10} & \alpha_{11} \end{pmatrix}, \quad M_{0,1} = \begin{pmatrix} \alpha_{02} & \alpha_{03} \\[2mm] \alpha_{12} & \alpha_{13} \end{pmatrix}, \quad M_{1,0} = \begin{pmatrix} \alpha_{20} & \alpha_{21} \\[2mm] \alpha_{30} & \alpha_{31} \end{pmatrix}, \quad M_{1,1} = \begin{pmatrix} \alpha_{22} & \alpha_{23} \\[2mm] \alpha_{32} & \alpha_{33} \end{pmatrix}.$$

Avem atunci

$$\operatorname{Tr}_{\mathsf{A}}\begin{pmatrix} M_{0,0} & M_{0,1} \\[1mm] M_{1,0} & M_{1,1} \end{pmatrix} = M_{0,0} + M_{1,1}.$$

Iată formula când al doilea sistem este eliminat prin urmă în loc de primul.

$$\operatorname{Tr}_{\mathsf{B}} \begin{pmatrix} \alpha_{00} & \alpha_{01} & \alpha_{02} & \alpha_{03}\\[2mm] \alpha_{10} & \alpha_{11} & \alpha_{12} & \alpha_{13}\\[2mm] \alpha_{20} & \alpha_{21} & \alpha_{22} & \alpha_{23}\\[2mm] \alpha_{30} & \alpha_{31} & \alpha_{32} & \alpha_{33} \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} \operatorname{Tr} \begin{pmatrix} \alpha_{00} & \alpha_{01}\\[1mm] \alpha_{10} & \alpha_{11} \end{pmatrix} & \operatorname{Tr} \begin{pmatrix} \alpha_{02} & \alpha_{03}\\[1mm] \alpha_{12} & \alpha_{13} \end{pmatrix} \\[4mm] \operatorname{Tr} \begin{pmatrix} \alpha_{20} & \alpha_{21}\\[1mm] \alpha_{30} & \alpha_{31} \end{pmatrix} & \operatorname{Tr} \begin{pmatrix} \alpha_{22} & \alpha_{23}\\[1mm] \alpha_{32} & \alpha_{33} \end{pmatrix} \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} \alpha_{00} + \alpha_{11} & \alpha_{02} + \alpha_{13}\\[2mm] \alpha_{20} + \alpha_{31} & \alpha_{22} + \alpha_{33} \end{pmatrix}$$

În termeni de matrice bloc de o formă similară cu cea anterioară, avem această formulă.

$$\operatorname{Tr}_{\mathsf{B}} \begin{pmatrix} M_{0,0} & M_{0,1} \\[1mm] M_{1,0} & M_{1,1} \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} \operatorname{Tr}(M_{0,0}) & \operatorname{Tr}(M_{0,1}) \\[1mm] \operatorname{Tr}(M_{1,0}) & \operatorname{Tr}(M_{1,1}) \end{pmatrix}$$

Descrierile prin matrice bloc ale acestor funcții pot fi extinse la sisteme mai mari decât qubiții într-un mod natural și direct.

Pentru a încheia lecția, să aplicăm aceste formule la aceeași stare considerată mai sus.

$$\rho = \frac{1}{2} \vert 0\rangle \langle 0 \vert \otimes \vert 0\rangle \langle 0 \vert + \frac{1}{2} \vert 1\rangle \langle 1 \vert \otimes \vert +\rangle \langle + \vert = \begin{pmatrix} \frac{1}{2} & 0 & 0 & 0\\[2mm] 0 & 0 & 0 & 0 \\[2mm] 0 & 0 & \frac{1}{4} & \frac{1}{4}\\[2mm] 0 & 0 & \frac{1}{4} & \frac{1}{4} \end{pmatrix}.$$

Starea redusă a primului sistem $\mathsf{A}$ este

$$\operatorname{Tr}_{\mathsf{B}} \begin{pmatrix} \frac{1}{2} & 0 & 0 & 0\\[2mm] 0 & 0 & 0 & 0\\[2mm] 0 & 0 & \frac{1}{4} & \frac{1}{4}\\[2mm] 0 & 0 & \frac{1}{4} & \frac{1}{4} \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} \operatorname{Tr} \begin{pmatrix} \frac{1}{2} & 0\\[1mm] 0 & 0 \end{pmatrix} & \operatorname{Tr} \begin{pmatrix} 0 & 0\\[1mm] 0 & 0 \end{pmatrix} \\[4mm] \operatorname{Tr} \begin{pmatrix} 0 & 0\\[1mm] 0 & 0 \end{pmatrix} & \operatorname{Tr} \begin{pmatrix} \frac{1}{4} & \frac{1}{4}\\[2mm] \frac{1}{4} & \frac{1}{4} \end{pmatrix} \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} \frac{1}{2} & 0\\[2mm] 0 & \frac{1}{2} \end{pmatrix}$$

și starea redusă a celui de-al doilea sistem $\mathsf{B}$ este

$$\operatorname{Tr}_{\mathsf{A}} \begin{pmatrix} \frac{1}{2} & 0 & 0 & 0\\[2mm] 0 & 0 & 0 & 0\\[2mm] 0 & 0 & \frac{1}{4} & \frac{1}{4}\\[2mm] 0 & 0 & \frac{1}{4} & \frac{1}{4} \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} \frac{1}{2} & 0\\[1mm] 0 & 0 \end{pmatrix} + \begin{pmatrix} \frac{1}{4} & \frac{1}{4}\\[2mm] \frac{1}{4} & \frac{1}{4} \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} \frac{3}{4} & \frac{1}{4}\\[2mm] \frac{1}{4} & \frac{1}{4} \end{pmatrix}.$$