Bazele matricelor de densitate

Vom începe prin a descrie ce sunt matricele de densitate în termeni matematici, după care vom analiza câteva exemple. Apoi vom discuta câteva aspecte de bază despre cum funcționează matricele de densitate și cum se raportează la vectorii de stare cuantică din formularea simplificată a informației cuantice.

Definiție

Să presupunem că avem un sistem cuantic numit $\mathsf{X},$ și fie $\Sigma$ mulțimea de stări clasice (finită și nevidă) a acestui sistem. Urmăm astfel convențiile de denumire folosite în cursul „Basics of quantum information", pe care le vom continua ori de câte ori avem ocazia.

În formularea generală a informației cuantice, o stare cuantică a sistemului $\mathsf{X}$ este descrisă de o matrice de densitate $\rho$ ale cărei elemente sunt numere complexe și ale cărei indici (atât pentru linii, cât și pentru coloane) sunt puși în corespondență cu mulțimea de stări clasice $\Sigma.$ Litera grecească mică $\rho$ este prima alegere convențională pentru numele unei matrice de densitate, deși $\sigma$ și $\xi$ sunt de asemenea alegeri comune.

Iată câteva exemple de matrice de densitate ce descriu stări ale qubiților:

$$\begin{pmatrix} 1 & 0\\ 0 & 0 \end{pmatrix}, \quad \begin{pmatrix} \frac{1}{2} & \frac{1}{2}\\[2mm] \frac{1}{2} & \frac{1}{2} \end{pmatrix}, \quad \begin{pmatrix} \frac{3}{4} & \frac{i}{8}\\[2mm] -\frac{i}{8} & \frac{1}{4} \end{pmatrix}, \quad\text{and}\quad \begin{pmatrix} \frac{1}{2} & 0\\[2mm] 0 & \frac{1}{2} \end{pmatrix}.$$

A spune că $\rho$ este o matrice de densitate înseamnă că aceste două condiții, care vor fi explicate imediat, sunt ambele îndeplinite:

1. Urmă unitară: $\operatorname{Tr}(\rho) = 1.$
2. Semidefinit pozitivă: $\rho \geq 0.$

Urma unei matrice

Prima condiție privind matricele de densitate se referă la urma unei matrice. Aceasta este o funcție definită, pentru orice matrice pătratică, ca suma elementelor de pe diagonală:

$$\operatorname{Tr} \begin{pmatrix} \alpha_{0,0} & \alpha_{0,1} & \cdots & \alpha_{0,n-1}\\[1.5mm] \alpha_{1,0} & \alpha_{1,1} & \cdots & \alpha_{1,n-1}\\[1.5mm] \vdots & \vdots & \ddots & \vdots\\[1.5mm] \alpha_{n-1,0} & \alpha_{n-1,1} & \cdots & \alpha_{n-1,n-1} \end{pmatrix} = \alpha_{0,0} + \alpha_{1,1} + \cdots + \alpha_{n-1,n-1}.$$

Urma este o funcție liniară: pentru orice două matrice pătratice $A$ și $B$ de aceeași dimensiune și orice două numere complexe $\alpha$ și $\beta,$ următoarea ecuație este întotdeauna adevărată.

$$\operatorname{Tr}(\alpha A + \beta B) = \alpha \operatorname{Tr}(A) + \beta\operatorname{Tr}(B)$$

Urma este o funcție extrem de importantă și se poate spune mult mai mult despre ea, dar vom aștepta momentul potrivit pentru a adăuga detalii.

Matrice semidefinite pozitive

A doua condiție se referă la proprietatea unei matrice de a fi semidefinită pozitivă, care este un concept fundamental în teoria informației cuantice și în multe alte domenii. O matrice $P$ este semidefinită pozitivă dacă există o matrice $M$ astfel încât

$$P = M^{\dagger} M.$$

Putem cere fie că $M$ este o matrice pătratică de aceeași dimensiune cu $P$, fie că $M$ poate fi neunitară — obținem aceeași clasă de matrice în ambele cazuri.

Există mai multe modalități alternative (dar echivalente) de a defini această condiție, inclusiv:

• O matrice $P$ este semidefinită pozitivă dacă și numai dacă $P$ este Hermitian (adică egală cu transpusa sa conjugată) și toți valorii proprii sunt numere reale nenegative. A verifica că o matrice este Hermitian și că toți valorile proprii sunt nenegative reprezintă o modalitate computațională simplă de a confirma că este semidefinită pozitivă.

• O matrice $P$ este semidefinită pozitivă dacă și numai dacă $\langle \psi \vert P \vert \psi \rangle \geq 0$ pentru orice vector complex $\vert\psi\rangle$ cu aceiași indici ca liniile și coloanele lui $P.$

Un mod intuitiv de a gândi matricele semidefinite pozitive este că acestea sunt analogii matriceale ale numerelor reale nenegative. Adică, matricele semidefinite pozitive sunt față de matricele complexe pătratice ceea ce sunt numerele reale nenegative față de numerele complexe. De exemplu, un număr complex $\alpha$ este un număr real nenegativ dacă și numai dacă

$$\alpha = \overline{\beta} \beta$$

pentru un anumit număr complex $\beta,$ ceea ce corespunde definiției semidefinitei pozitivității atunci când înlocuim matricele cu scalari. Deși matricele sunt obiecte mai complicate decât scalarii în general, aceasta rămâne totuși o modalitate utilă de a gândi matricele semidefinite pozitive.

Aceasta explică și notația uzuală $P\geq 0,$ care indică faptul că $P$ este semidefinită pozitivă. Remarcă în special că $P\geq 0$ nu înseamnă că fiecare element al lui $P$ este nenegativ în acest context; există matrice semidefinite pozitive cu elemente negative, dar și matrice cu toate elementele pozitive care nu sunt semidefinite pozitive.

Interpretarea matricelor de densitate

În acest moment, definiția matricelor de densitate poate părea oarecum arbitrară și abstractă, deoarece nu am asociat încă niciun sens acestor matrice sau elementelor lor. Modul în care funcționează și pot fi interpretate matricele de densitate va fi clarificat pe parcursul lecției, dar deocamdată poate fi util să gândim elementele matricelor de densitate în felul următor (oarecum informal).

• Elementele de pe diagonală ale unei matrice de densitate ne dau probabilitățile ca fiecare stare clasică să apară dacă efectuăm o măsurătoare în baza standard — deci putem gândi aceste elemente ca descriind „greutatea" sau „probabilitatea" asociată fiecărei stări clasice.

• Elementele în afara diagonalei ale unei matrice de densitate descriu gradul în care cele două stări clasice corespunzătoare acelui element (adică cea corespunzătoare liniei și cea corespunzătoare coloanei) se află în suprapunere cuantică, precum și faza relativă dintre ele.

Nu este deloc evident a priori că stările cuantice ar trebui reprezentate de matrice de densitate. Într-adevăr, există un sens în care alegerea de a reprezenta stările cuantice prin matrice de densitate conduce în mod natural la întreaga descriere matematică a informației cuantice. Tot ceea ce privește informația cuantică decurge destul de logic din această singură alegere!

Conexiunea cu vectorii de stare cuantică

Reamintim că un vector de stare cuantică $\vert\psi\rangle$ care descrie o stare cuantică a lui $\mathsf{X}$ este un vector coloană cu norma euclidiană egală cu $1$ ale cărui elemente sunt puse în corespondență cu mulțimea de stări clasice $\Sigma.$ Reprezentarea prin matrice de densitate $\rho$ a aceleiași stări este definită astfel.

$$\rho = \vert\psi\rangle\langle\psi\vert$$

Ca să fie clar, înmulțim un vector coloană cu un vector linie, deci rezultatul este o matrice pătratică ale cărei linii și coloane corespund lui $\Sigma.$ Matricele de această formă, pe lângă faptul că sunt matrice de densitate, sunt întotdeauna proiecții și au rangul egal cu $1.$

De exemplu, să definim doi vectori de stare pentru qubit.

$$\begin{aligned} \vert {+i} \rangle & = \frac{1}{\sqrt{2}} \vert 0 \rangle + \frac{i}{\sqrt{2}} \vert 1 \rangle = \begin{pmatrix} \frac{1}{\sqrt{2}} \\[2mm] \frac{i}{\sqrt{2}} \end{pmatrix} \\[5mm] \vert {-i} \rangle & = \frac{1}{\sqrt{2}} \vert 0 \rangle - \frac{i}{\sqrt{2}} \vert 1 \rangle = \begin{pmatrix} \frac{1}{\sqrt{2}} \\[2mm] -\frac{i}{\sqrt{2}} \end{pmatrix} \end{aligned}$$

Matricele de densitate corespunzătoare acestor doi vectori sunt următoarele.

$$\begin{aligned} \vert {+i} \rangle\langle{+i}\vert & = \begin{pmatrix} \frac{1}{\sqrt{2}} \\[2mm] \frac{i}{\sqrt{2}}\end{pmatrix} \begin{pmatrix} \frac{1}{\sqrt{2}} & - \frac{i}{\sqrt{2}}\end{pmatrix} = \begin{pmatrix} \frac{1}{2} & -\frac{i}{2}\\[2mm] \frac{i}{2} & \frac{1}{2} \end{pmatrix}\\[5mm] \vert {-i} \rangle\langle{-i}\vert & = \begin{pmatrix} \frac{1}{\sqrt{2}} \\[2mm] -\frac{i}{\sqrt{2}}\end{pmatrix} \begin{pmatrix} \frac{1}{\sqrt{2}} & \frac{i}{\sqrt{2}}\end{pmatrix} = \begin{pmatrix} \frac{1}{2} & \frac{i}{2}\\[2mm] -\frac{i}{2} & \frac{1}{2} \end{pmatrix} \end{aligned}$$

Iată un tabel cu aceste stări împreună cu câteva alte exemple de bază: $\vert 0\rangle,$ $\vert 1\rangle,$ $\vert {+}\rangle,$ și $\vert {-}\rangle.$ Vom reîntâlni aceste șase stări mai târziu în lecție.

Vector de stare	Matrice de densitate
$\vert 0\rangle = \begin{pmatrix} 1 \\[1mm] 0 \end{pmatrix}$	$\vert 0\rangle\langle 0\vert = \begin{pmatrix} 1 & 0\\[1mm] 0 & 0 \end{pmatrix}$
$\vert 1\rangle = \begin{pmatrix} 0 \\[1mm] 1 \end{pmatrix}$	$\vert 1\rangle\langle 1\vert = \begin{pmatrix} 0 & 0\\[1mm] 0 & 1 \end{pmatrix}$
$\vert {+}\rangle = \begin{pmatrix} \frac{1}{\sqrt{2}} \\[2mm] \frac{1}{\sqrt{2}} \end{pmatrix}$	$\vert {+}\rangle\langle {+}\vert = \begin{pmatrix} \frac{1}{2} & \frac{1}{2}\\[2mm] \frac{1}{2} & \frac{1}{2} \end{pmatrix}$
$\vert {-} \rangle = \begin{pmatrix} \frac{1}{\sqrt{2}} \\[2mm] -\frac{1}{\sqrt{2}}\end{pmatrix}$	$\vert {-}\rangle\langle {-}\vert = \begin{pmatrix} \frac{1}{2} & -\frac{1}{2}\\[2mm] -\frac{1}{2} & \frac{1}{2} \end{pmatrix}$
$\vert {+i} \rangle = \begin{pmatrix} \frac{1}{\sqrt{2}} \\[2mm] \frac{i}{\sqrt{2}} \end{pmatrix}$	$\vert {+i} \rangle\langle {+i} \vert = \begin{pmatrix} \frac{1}{2} & -\frac{i}{2}\\[2mm] \frac{i}{2} & \frac{1}{2} \end{pmatrix}$
$\vert {-i} \rangle = \begin{pmatrix} \frac{1}{\sqrt{2}} \\[2mm] -\frac{i}{\sqrt{2}}\end{pmatrix}$	$\vert {-i} \rangle\langle {-i} \vert = \begin{pmatrix} \frac{1}{2} & \frac{i}{2}\\[2mm] -\frac{i}{2} & \frac{1}{2} \end{pmatrix}$

Pentru un alt exemplu, iată o stare din lecția Single systems a cursului „Basics of quantum information", incluzând atât reprezentarea prin vector de stare, cât și prin matrice de densitate.

$$\vert v\rangle = \frac{1 + 2 i}{3}\,\vert 0\rangle - \frac{2}{3}\,\vert 1\rangle \qquad \vert v\rangle\langle v\vert = \begin{pmatrix} \frac{5}{9} & \frac{-2 - 4 i}{9}\\[2mm] \frac{-2 + 4 i}{9} & \frac{4}{9} \end{pmatrix}$$

Matricele de densitate de forma $\rho = \vert \psi \rangle \langle \psi \vert$ pentru un vector de stare cuantică $\vert \psi \rangle$ sunt cunoscute drept stări pure. Nu orice matrice de densitate poate fi scrisă în această formă; unele stări nu sunt pure.

Ca matrice de densitate, stările pure au întotdeauna o valoare proprie egală cu $1$ și toate celelalte valori proprii egale cu $0.$ Aceasta este consistent cu interpretarea că valorile proprii ale unei matrice de densitate descriu hazardul sau incertitudinea inerente acelei stări. În esență, nu există nicio incertitudine pentru o stare pură $\rho = \vert \psi \rangle \langle \psi \vert$ — starea este cu certitudine $\vert \psi \rangle.$

În general, pentru un vector de stare cuantică

$$\vert\psi\rangle = \begin{pmatrix} \alpha_0\\ \alpha_1\\ \vdots\\ \alpha_{n-1} \end{pmatrix}$$

pentru un sistem cu $n$ stări clasice, reprezentarea prin matrice de densitate a aceleiași stări este următoarea.

$$\begin{aligned} \vert\psi\rangle\langle\psi\vert & = \begin{pmatrix} \alpha_0 \overline{\alpha_0} & \alpha_0 \overline{\alpha_1} & \cdots & \alpha_0 \overline{\alpha_{n-1}}\\[1mm] \alpha_1 \overline{\alpha_0} & \alpha_1 \overline{\alpha_1} & \cdots & \alpha_1 \overline{\alpha_{n-1}}\\[1mm] \vdots & \vdots & \ddots & \vdots\\[1mm] \alpha_{n-1} \overline{\alpha_0} & \alpha_{n-1} \overline{\alpha_1} & \cdots & \alpha_{n-1} \overline{\alpha_{n-1}} \end{pmatrix}\\[10mm] & = \begin{pmatrix} \vert\alpha_0\vert^2 & \alpha_0 \overline{\alpha_1} & \cdots & \alpha_0 \overline{\alpha_{n-1}}\\[1mm] \alpha_1 \overline{\alpha_0} & \vert\alpha_1\vert^2 & \cdots & \alpha_1 \overline{\alpha_{n-1}}\\[1mm] \vdots & \vdots & \ddots & \vdots\\[1mm] \alpha_{n-1} \overline{\alpha_0} & \alpha_{n-1} \overline{\alpha_1} & \cdots & \vert\alpha_{n-1}\vert^2 \end{pmatrix} \end{aligned}$$

Astfel, pentru cazul special al stărilor pure, putem verifica că elementele de pe diagonală ale unei matrice de densitate descriu probabilitățile că o măsurătoare în baza standard ar produce fiecare stare clasică posibilă.

O ultimă remarcă despre stările pure este că matricele de densitate elimină degenerarea privind fazele globale întâlnită la vectorii de stare cuantică. Să presupunem că avem doi vectori de stare cuantică ce diferă printr-o fază globală: $\vert \psi \rangle$ și $\vert \phi \rangle = e^{i \theta} \vert \psi \rangle,$ pentru un anumit număr real $\theta.$ Deoarece diferă printr-o fază globală, acești vectori reprezintă exact aceeași stare cuantică, în ciuda faptului că vectorii pot fi diferiți. Matricele de densitate obținute din acești doi vectori de stare, pe de altă parte, sunt identice.

$$\vert \phi \rangle \langle \phi \vert = \bigl( e^{i\theta} \vert \psi \rangle \bigr) \bigl( e^{i\theta} \vert \psi \rangle \bigr)^{\dagger} = e^{i(\theta - \theta)} \vert \psi \rangle \langle \psi \vert = \vert \psi \rangle \langle \psi \vert$$

În general, matricele de densitate oferă o reprezentare unică a stărilor cuantice: două stări cuantice sunt identice, generând exact aceleași statistici de rezultat pentru orice măsurătoare posibilă ce poate fi efectuată asupra lor, dacă și numai dacă reprezentările lor prin matrice de densitate sunt egale. Folosind limbajul matematic, putem exprima aceasta spunând că matricele de densitate oferă o reprezentare fidelă a stărilor cuantice.