Sfera Bloch

Există o modalitate geometrică utilă de a reprezenta stările unui qubit, cunoscută drept sfera Bloch. Este foarte convenabilă, dar din păcate funcționează doar pentru qubiți — reprezentarea analogă nu mai corespunde unui obiect sferic odată ce sistemul nostru are trei sau mai multe stări clasice.

Stările qubitului ca puncte pe o sferă

Să începem prin a gândi un vector de stare cuantică al unui qubit: $\alpha \vert 0\rangle + \beta \vert 1\rangle.$ Ne putem restrânge atenția la vectorii pentru care $\alpha$ este un număr real nenegativ, deoarece orice vector de stare al unui qubit este echivalent, până la o fază globală, cu unul pentru care $\alpha \geq 0.$ Aceasta ne permite să scriem

$$\vert\psi\rangle = \cos\bigl(\theta/2\bigr) \vert 0\rangle + e^{i\phi} \sin\bigl(\theta/2\bigr) \vert 1\rangle$$

pentru două numere reale $\theta \in [0,\pi]$ și $\phi\in[0,2\pi)$. Aici, îl lăsăm pe $\theta$ să varieze de la $0$ la $\pi$ și împărțim la $2$ în argumentul sinusului și cosinusului deoarece aceasta este o modalitate convențională de a parametriza vectori de acest fel și va simplifica lucrurile puțin mai târziu.

Acum, nu este chiar adevărat că numerele $\theta$ și $\phi$ sunt determinate în mod unic de un vector de stare cuantică dat $\alpha \vert 0\rangle + \beta \vert 1\rangle$, dar aproape că așa stau lucrurile. În particular, dacă $\beta = 0$, atunci $\theta = 0$ și nu contează ce valoare ia $\phi$, deci poate fi ales arbitrar. Similar, dacă $\alpha = 0$, atunci $\theta = \pi$, și din nou $\phi$ este irelevant (deoarece starea noastră este echivalentă cu $e^{i\phi}\vert 1\rangle$ pentru orice $\phi$ până la o fază globală). Dacă însă nici $\alpha$ și nici $\beta$ nu este zero, atunci există o alegere unică pentru perechea $(\theta,\phi)$ pentru care $\vert\psi\rangle$ este echivalent cu $\alpha\vert 0\rangle + \beta\vert 1\rangle$ până la o fază globală.

Să considerăm acum reprezentarea prin matrice de densitate a acestei stări.

$$\vert\psi\rangle\langle\psi\vert = \begin{pmatrix} \cos^2(\theta/2) & e^{-i\phi}\cos(\theta/2)\sin(\theta/2)\\[2mm] e^{i\phi}\cos(\theta/2)\sin(\theta/2) & \sin^2(\theta/2) \end{pmatrix}$$

Putem folosi câteva identități trigonometrice,

$$\begin{gathered} \cos^2(\theta/2) = \frac{1 + \cos(\theta)}{2},\\[2mm] \sin^2(\theta/2) = \frac{1 - \cos(\theta)}{2},\\[2mm] \cos(\theta/2) \sin(\theta/2) = \frac{\sin(\theta)}{2}, \end{gathered}$$

precum și formula $e^{i\phi} = \cos(\phi) + i\sin(\phi)$, pentru a simplifica matricea de densitate după cum urmează.

$$\vert\psi\rangle\langle\psi\vert = \frac{1}{2} \begin{pmatrix} 1 + \cos(\theta) & (\cos(\phi) - i \sin(\phi)) \sin(\theta)\\[1mm] (\cos(\phi) + i \sin(\phi)) \sin(\theta) & 1 - \cos(\theta) \end{pmatrix}$$

Aceasta face ușoară exprimarea acestei matrice de densitate ca o combinație liniară a matricelor Pauli:

$$\mathbb{I} = \begin{pmatrix} 1 & 0\\[1mm] 0 & 1 \end{pmatrix}, \quad \sigma_x = \begin{pmatrix} 0 & 1\\[1mm] 1 & 0 \end{pmatrix}, \quad \sigma_y = \begin{pmatrix} 0 & -i\\[1mm] i & 0 \end{pmatrix}, \quad \sigma_z = \begin{pmatrix} 1 & 0\\[1mm] 0 & -1 \end{pmatrix}.$$

Mai precis, concluzionăm că

$$\vert\psi\rangle\langle\psi\vert = \frac{\mathbb{I} + \sin(\theta) \cos(\phi)\sigma_x + \sin(\theta)\sin(\phi) \sigma_y + \cos(\theta) \sigma_z}{2}.$$

Coeficienții lui $\sigma_x,$ $\sigma_y,$ și $\sigma_z$ din numărătorul acestei expresii sunt cu toții numere reale, deci îi putem grupa pentru a forma un vector într-un spațiu euclidian obișnuit, tridimensional.

$$\bigl(\sin(\theta) \cos(\phi), \sin(\theta)\sin(\phi), \cos(\theta)\bigr)$$

De fapt, acesta este un vector unitar. Folosind coordonate sferice poate fi scris ca $(1,\theta,\phi).$ Prima coordonată, $1,$ reprezintă raza sau distanța radială (care este întotdeauna $1$ în acest caz), $\theta$ reprezintă unghiul polar, iar $\phi$ reprezintă unghiul azimutal.

Cu alte cuvinte, dacă ne gândim la sferă ca la planeta Pământ, unghiul polar $\theta$ reprezintă cât de mult rotim spre sud față de polul nord pentru a ajunge la punctul descris, de la $0$ la $\pi = 180^{\circ}$, în timp ce unghiul azimutal $\phi$ reprezintă cât de mult rotim spre est față de meridianul principal, de la $0$ la $2\pi = 360^{\circ}$. Presupunem că definim meridianul principal ca fiind curba de pe suprafața sferei de la un pol la celălalt care trece prin axa $x$ pozitivă.

Fiecare punct de pe sferă poate fi descris în acest mod — adică punctele obținute când parcurgem toate stările pure posibile ale unui qubit corespund exact unei sfere în $3$ dimensiuni reale. (Această sferă este numită de obicei $2$-sfera unitară deoarece suprafața acestei sfere este bidimensională.)

Când asociem punctele de pe $2$-sfera unitară cu stările pure ale qubiților, obținem reprezentarea prin sfera Bloch a acestor stări.

Șase exemple importante

1. Baza standard $\{\vert 0\rangle,\vert 1\rangle\}$. Să începem cu starea $\vert 0\rangle$. Ca matrice de densitate, poate fi scrisă astfel.

   $$\vert 0 \rangle \langle 0 \vert = \frac{\mathbb{I} + \sigma_z}{2}$$

   Adunând coeficienții matricelor Pauli din numărător, observăm că punctul corespunzător pe $2$-sfera unitară în coordonate carteziene este $(0,0,1)$. În coordonate sferice, acest punct este $(1,0,\phi)$, unde $\phi$ poate fi orice unghi. Acest lucru este în concordanță cu expresia

   $$\vert 0\rangle = \cos(0) \vert 0\rangle + e^{i \phi} \sin(0) \vert 1\rangle,$$

   care funcționează și ea pentru orice $\phi$. Intuitiv, unghiul polar $\theta$ este zero, deci ne aflăm la polul nord al sferei Bloch, unde unghiul azimutal este irelevant.

   În mod similar, matricea de densitate pentru starea $\vert 1\rangle$ poate fi scrisă astfel.

   $$\vert 1 \rangle \langle 1 \vert = \frac{\mathbb{I} - \sigma_z}{2}$$

   De data aceasta coordonatele carteziene sunt $(0,0,-1)$. În coordonate sferice, acest punct este $(1,\pi,\phi)$ unde $\phi$ poate fi orice unghi. În acest caz unghiul polar ajunge la $\pi$, deci ne aflăm la polul sud, unde unghiul azimutal este din nou irelevant.

2. Baza $\{\vert + \rangle, \vert - \rangle\}$. Avem aceste expresii pentru matricele de densitate corespunzătoare acestor stări.

   $$\begin{aligned} \vert {+} \rangle\langle {+} \vert & = \frac{\mathbb{I} + \sigma_x}{2}\\[2mm] \vert {-} \rangle\langle {-} \vert & = \frac{\mathbb{I} - \sigma_x}{2} \end{aligned}$$

   Punctele corespunzătoare de pe $2$-sfera unitară au coordonatele carteziene $(1,0,0)$, respectiv $(-1,0,0)$, și coordonatele sferice $(1,\pi/2,0)$, respectiv $(1,\pi/2,\pi)$.

   Cu alte cuvinte, $\vert +\rangle$ corespunde punctului în care axa $x$ pozitivă intersectează $2$-sfera unitară, iar $\vert -\rangle$ corespunde punctului în care axa $x$ negativă o intersectează. Mai intuitiv, $\vert +\rangle$ se află pe ecuatorul sferei Bloch acolo unde aceasta întâlnește meridianul principal, iar $\vert - \rangle$ se află pe ecuator pe partea opusă a sferei.

3. Baza $\{\vert {+i} \rangle, \vert {-i} \rangle\}$. Cum am văzut mai devreme în lecție, aceste două stări sunt definite astfel:

   $$\begin{aligned} \vert {+i} \rangle & = \frac{1}{\sqrt{2}} \vert 0 \rangle + \frac{i}{\sqrt{2}} \vert 1 \rangle\\[2mm] \vert {-i} \rangle & = \frac{1}{\sqrt{2}} \vert 0 \rangle - \frac{i}{\sqrt{2}} \vert 1 \rangle. \end{aligned}$$

   De data aceasta avem aceste expresii.

   $$\begin{aligned} \vert {+i} \rangle\langle {+i} \vert & = \frac{\mathbb{I} + \sigma_y}{2}\\[2mm] \vert {-i} \rangle\langle {-i} \vert & = \frac{\mathbb{I} - \sigma_y}{2} \end{aligned}$$

   Punctele corespunzătoare de pe $2$-sfera unitară au coordonate carteziene $(0,1,0)$ și $(0,-1,0)$, și coordonate sferice $(1,\pi/2,\pi/2)$ și $(1,\pi/2,3\pi/2)$, respectiv.

   Cu alte cuvinte, $\vert {+i} \rangle$ corespunde punctului în care axa $y$ pozitivă intersectează $2$-sfera unitară, iar $\vert {-i} \rangle$ corespunde punctului în care axa $y$ negativă o intersectează.

Iată o altă clasă de vectori de stare cuantică ce a apărut din când în când pe parcursul acestei serii, inclusiv anterior în această lecție.

$$\vert \psi_{\alpha} \rangle = \cos(\alpha) \vert 0\rangle + \sin(\alpha) \vert 1\rangle \qquad \text{(for $\alpha \in [0,\pi)$)}$$

Reprezentarea prin matrice de densitate a fiecăreia dintre aceste stări este următoarea.

$$\vert \psi_{\alpha} \rangle \langle \psi_{\alpha} \vert = \begin{pmatrix} \cos^2(\alpha) & \cos(\alpha)\sin(\alpha)\\[2mm] \cos(\alpha)\sin(\alpha) & \sin^2(\alpha) \end{pmatrix} = \frac{\mathbb{I} + \sin(2\alpha) \sigma_x + \cos(2\alpha) \sigma_z}{2}$$

Figura de mai jos ilustrează punctele corespunzătoare de pe sfera Bloch pentru câteva alegeri ale lui $\alpha$.

Combinații convexe de puncte

Similar cu ceea ce am discutat deja pentru matricele de densitate, putem lua combinații convexe ale punctelor de pe sfera Bloch pentru a obține reprezentări ale matricelor de densitate ale qubitului. În general, aceasta duce la puncte în interiorul sferei Bloch, care reprezintă matricele de densitate ale stărilor care nu sunt pure. Uneori ne referim la bila Bloch atunci când dorim să fim expliciți cu privire la includerea punctelor din interiorul sferei Bloch ca reprezentări ale matricelor de densitate ale qubitului.

De exemplu, am văzut că matricea de densitate $\frac{1}{2}\mathbb{I}$, care reprezintă starea complet mixtă a unui qubit, poate fi scrisă în aceste două moduri alternative:

$$\frac{1}{2} \mathbb{I} = \frac{1}{2} \vert 0\rangle\langle 0\vert + \frac{1}{2} \vert 1\rangle\langle 1\vert \quad\text{and}\quad \frac{1}{2} \mathbb{I} = \frac{1}{2} \vert +\rangle\langle +\vert + \frac{1}{2} \vert -\rangle\langle -\vert.$$

Avem de asemenea

$$\frac{1}{2} \mathbb{I} = \frac{1}{2} \vert {+i}\rangle\langle {+i} \vert + \frac{1}{2} \vert {-i} \rangle\langle {-i}\vert,$$

și mai general putem folosi orice doi vectori de stare ortogonali ai qubitului (care vor corespunde întotdeauna la două puncte antipodale pe sfera Bloch). Dacă facem media punctelor corespunzătoare de pe sfera Bloch într-un mod similar, obținem același punct, care în acest caz se află în centrul sferei. Aceasta este consistent cu observația că

$$\frac{1}{2} \mathbb{I} = \frac{\mathbb{I} + 0 \cdot \sigma_x + 0 \cdot \sigma_y + 0 \cdot \sigma_z}{2},$$

ceea ce ne dă coordonatele carteziene $(0,0,0)$.

Un alt exemplu privind combinațiile convexe ale punctelor de pe sfera Bloch este cel discutat în subsecțiunea anterioară.

$$\frac{1}{2} \vert 0\rangle\langle 0 \vert + \frac{1}{2} \vert +\rangle\langle + \vert = \begin{pmatrix} \frac{3}{4} & \frac{1}{4}\\[2mm] \frac{1}{4} & \frac{1}{4} \end{pmatrix} = \cos^2(\pi/8) \vert \psi_{\pi/8} \rangle \langle \psi_{\pi/8}\vert + \sin^2(\pi/8) \vert \psi_{5\pi/8} \rangle \langle \psi_{5\pi/8}\vert$$

Figura de mai jos ilustrează aceste două modalități diferite de a obține această matrice de densitate ca o combinație convexă de stări pure.