Reprezentări ale canalelor

În continuare, vom discuta despre reprezentările matematice ale canalelor.

Aplicațiile liniare de la vectori la vectori pot fi reprezentate prin matrice într-un mod familiar, unde acțiunea aplicației liniare este descrisă prin înmulțirea matrice-vector. Dar canalele sunt aplicații liniare de la matrice la matrice, nu de la vectori la vectori. Deci, în general, cum putem exprima canalele în termeni matematici?

Pentru unele canale, putem avea o formulă simplă care le descrie, ca în cazul celor trei exemple de canale qubit neunitare descrise anterior. Dar un canal arbitrar poate să nu aibă o astfel de formulă frumoasă, deci nu este practic în general să exprimi un canal în acest mod.

Ca punct de comparație, în formularea simplificată a informației cuantice folosim matrice unitare pentru a reprezenta operațiile pe vectorii de stare cuantică: fiecare matrice unitară reprezintă o operație validă și fiecare operație validă poate fi exprimată ca o matrice unitară. În esență, întrebarea care se pune este: Cum putem face ceva analog pentru canale?

Pentru a răspunde la această întrebare, vom avea nevoie de niște instrumente matematice suplimentare. Vom vedea că, de fapt, canalele pot fi descrise matematic în câteva moduri diferite, incluzând reprezentări numite în onoarea a trei persoane care au jucat roluri cheie în dezvoltarea lor: Stinespring, Kraus, și Choi. Împreună, aceste diferite moduri de a descrie canalele oferă unghiuri diferite din care pot fi privite și analizate.

Reprezentări Stinespring

Reprezentările Stinespring se bazează pe ideea că orice canal poate fi implementat într-un mod standard, în care un sistem de intrare este mai întâi combinat cu un sistem de spațiu de lucru inițializat, formând un sistem compus; apoi se efectuează o operație unitară pe sistemul compus; și, în final, sistemul de spațiu de lucru este eliminat (sau eliminat prin urmă parțială), lăsând ieșirea canalului.

Figura de mai jos arată o astfel de implementare, sub forma unei diagrame de circuit, pentru un canal ale cărui sisteme de intrare și ieșire sunt același sistem, $\mathsf{X}.$

În această diagramă, firele reprezintă sisteme arbitrare, după cum indică etichetele de deasupra firelor, și nu neapărat qubiti individuali. De asemenea, simbolul ground folosit în mod obișnuit în ingineria electrică indică explicit că $\mathsf{W}$ este eliminat.

Pe scurt, modul în care funcționează implementarea este după cum urmează. Sistemul de intrare $\mathsf{X}$ începe într-o stare $\rho$, în timp ce un sistem de spațiu de lucru $\mathsf{W}$ este inițializat la starea bazei standard $\vert 0\rangle$. O operație unitară $U$ este efectuată pe perechea $(\mathsf{W},\mathsf{X})$, și, în final, sistemul de spațiu de lucru $\mathsf{W}$ este eliminat prin urmă parțială, lăsând $\mathsf{X}$ ca ieșire.

Observă că presupunem că $0$ este o stare clasică a lui $\mathsf{W}$, și o alegem ca stare inițializată a acestui sistem, ceea ce va ajuta la simplificarea matematicii. Totuși, s-ar putea alege orice stare pură fixă pentru a reprezenta starea inițializată a lui $\mathsf{W}$ fără a schimba proprietățile de bază ale reprezentării.

O expresie matematică a canalului rezultat, $\Phi,$ este după cum urmează.

$$\Phi(\rho) = \operatorname{Tr}_{\mathsf{W}} \bigl( U (\vert 0\rangle \langle 0 \vert_{\mathsf{W}} \otimes \rho) U^{\dagger} \bigr)$$

Ca de obicei, folosim convenția de ordonare Qiskit: sistemul $\mathsf{X}$ este în vârf în diagramă și, prin urmare, corespunde factorului tensorial din dreapta în formulă.

În general, sistemele de intrare și ieșire ale unui canal nu trebuie să fie identice. Iată o figură reprezentând implementarea unui canal $\Phi$ al cărui sistem de intrare este $\mathsf{X}$ și al cărui sistem de ieșire este $\mathsf{Y}$.

De data aceasta, operația unitară transformă $(\mathsf{W},\mathsf{X})$ într-o pereche $(\mathsf{G},\mathsf{Y})$, unde $\mathsf{G}$ este un nou sistem „gunoi" care este eliminat prin urmă parțială, lăsând $\mathsf{Y}$ ca sistem de ieșire. Pentru ca $U$ să fie unitar, trebuie să fie o matrice pătratică. Aceasta necesită ca perechea $(\mathsf{G},\mathsf{Y})$ să aibă același număr de stări clasice ca perechea $(\mathsf{W},\mathsf{X})$, deci sistemele $\mathsf{W}$ și $\mathsf{G}$ trebuie alese astfel încât să permită acest lucru.

Obținem o expresie matematică a canalului rezultat, $\Phi,$ similară cu cea anterioară.

$$\Phi(\rho) = \operatorname{Tr}_{\mathsf{G}} \bigl( U (\vert 0\rangle \langle 0 \vert_{\mathsf{W}} \otimes \rho) U^{\dagger} \bigr)$$

Când un canal este descris în acest fel, ca o operație unitară împreună cu o specificație privind modul în care sistemul de spațiu de lucru este inițializat și cum este selectat sistemul de ieșire, spunem că este exprimat în formă Stinespring sau că este o reprezentare Stinespring a canalului.

Nu este deloc evident, dar orice canal are de fapt o reprezentare Stinespring, după cum vom vedea până la sfârșitul lecției. De asemenea, vom vedea că reprezentările Stinespring nu sunt unice; vor exista mereu modalități diferite de a implementa același canal în modul descris.

Remarcă

În contextul informației cuantice, termenul reprezentare Stinespring se referă în mod obișnuit la o expresie puțin mai generală a unui canal cu forma

$$\Phi(\rho) = \operatorname{Tr}_{\mathsf{G}} \bigl( A \rho A^{\dagger} \bigr)$$

pentru o izometrie $A$, adică o matrice ale cărei coloane sunt ortonormale dar care poate să nu fie o matrice pătratică. Pentru reprezentările Stinespring cu forma pe care am adoptat-o ca definiție, putem obține o expresie de această altă formă luând

$$A = U (\vert 0\rangle_{\mathsf{W}} \otimes \mathbb{I}_{\mathsf{X}}).$$

Canalul complet de defazare

Iată o reprezentare Stinespring a canalului qubit de defazare $\Delta$. În această diagramă, ambele fire reprezintă qubiti individuali — deci acesta este o diagramă obișnuită de circuit cuantic.

Pentru a vedea că efectul pe care îl are acest circuit asupra qubitului de intrare este într-adevăr descris de canalul complet de defazare, putem parcurge circuitul pas cu pas, folosind reprezentarea matriceală explicită a urmei parțiale discutată în lecția anterioară. Vom numi qubitului de sus $\mathsf{X}$ — acesta este intrarea și ieșirea canalului — și vom presupune că $\mathsf{X}$ începe într-o stare arbitrară $\rho$.

Primul pas este introducerea unui qubit de spațiu de lucru, $\mathsf{W}$. Înainte de efectuarea porții controlled-NOT, starea perechii $(\mathsf{W},\mathsf{X})$ este reprezentată de următoarea matrice densitate.

$$\begin{aligned} \vert 0\rangle \langle 0 \vert_{\mathsf{W}} \otimes \rho & = \begin{pmatrix} 1 & 0\\ 0 & 0 \end{pmatrix} \otimes \begin{pmatrix} \langle 0 \vert \rho \vert 0 \rangle & \langle 0 \vert \rho \vert 1 \rangle\\[1mm] \langle 1 \vert \rho \vert 0 \rangle & \langle 1 \vert \rho \vert 1 \rangle \end{pmatrix}\\[4mm] & = \begin{pmatrix} \langle 0 \vert \rho \vert 0 \rangle & \langle 0 \vert \rho \vert 1 \rangle & 0 & 0 \\[1mm] \langle 1 \vert \rho \vert 0 \rangle & \langle 1 \vert \rho \vert 1 \rangle & 0 & 0 \\[1mm] 0 & 0 & 0 & 0 \\[1mm] 0 & 0 & 0 & 0 \end{pmatrix} \end{aligned}$$

Conform convenției de ordonare Qiskit, qubitul de sus $\mathsf{X}$ este în dreapta, iar qubitul de jos $\mathsf{W}$ este în stânga. Folosim matrice densitate în loc de vectori de stare cuantică, dar acestea sunt tensorizate împreună într-un mod similar cu ceea ce se face în formularea simplificată a informației cuantice.

Următorul pas este efectuarea operației controlled-NOT, unde $\mathsf{X}$ este controlul iar $\mathsf{W}$ este ținta. Ținând în continuare cont de convenția de ordonare Qiskit, reprezentarea matricială a acestei porți este următoarea.

$$\begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 & 0\\ 0 & 0 & 0 & 1\\ 0 & 0 & 1 & 0\\ 0 & 1 & 0 & 0 \end{pmatrix}$$

Aceasta este o operație unitară, și pentru a o aplica unei matrice densitate conjugăm cu matricea unitară. Conjugata-transpusă nu întâmplă să schimbe această matrice particulară, deci rezultatul este următorul.

$$\begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 & 0\\[1mm] 0 & 0 & 0 & 1\\[1mm] 0 & 0 & 1 & 0\\[1mm] 0 & 1 & 0 & 0 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} \langle 0 \vert \rho \vert 0 \rangle & \langle 0 \vert \rho \vert 1 \rangle & 0 & 0 \\[1mm] \langle 1 \vert \rho \vert 0 \rangle & \langle 1 \vert \rho \vert 1 \rangle & 0 & 0 \\[1mm] 0 & 0 & 0 & 0 \\[1mm] 0 & 0 & 0 & 0 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 & 0\\[1mm] 0 & 0 & 0 & 1\\[1mm] 0 & 0 & 1 & 0\\[1mm] 0 & 1 & 0 & 0 \end{pmatrix}\\[3mm] = \begin{pmatrix} \langle 0 \vert \rho \vert 0 \rangle & 0 & 0 & \langle 0 \vert \rho \vert 1 \rangle\\[1mm] 0 & 0 & 0 & 0\\[1mm] 0 & 0 & 0 & 0\\[1mm] \langle 1 \vert \rho \vert 0 \rangle & 0 & 0 & \langle 1 \vert \rho \vert 1 \rangle \end{pmatrix}$$

În final, urma parțială este efectuată pe $\mathsf{W}$. Amintindu-ne acțiunea acestei operații pe matrice $4\times 4$, care a fost descrisă în lecția anterioară, obținem următoarea matrice densitate rezultată.

$$\begin{aligned} \operatorname{Tr}_{\mathsf{W}} \begin{pmatrix} \langle 0 \vert \rho \vert 0 \rangle & 0 & 0 & \langle 0 \vert \rho \vert 1 \rangle\\[1mm] 0 & 0 & 0 & 0\\[1mm] 0 & 0 & 0 & 0\\[1mm] \langle 1 \vert \rho \vert 0 \rangle & 0 & 0 & \langle 1 \vert \rho \vert 1 \rangle \end{pmatrix} & = \begin{pmatrix} \langle 0 \vert \rho \vert 0 \rangle & 0 \\[1mm] 0 & 0 \end{pmatrix} + \begin{pmatrix} 0 & 0 \\[1mm] 0 & \langle 1 \vert \rho \vert 1 \rangle \end{pmatrix}\\[3mm] & = \begin{pmatrix} \langle 0 \vert \rho \vert 0 \rangle & 0 \\[1mm] 0 & \langle 1 \vert \rho \vert 1 \rangle \end{pmatrix}\\[4mm] & = \Delta(\rho) \end{aligned}$$

Putem alternativ calcula urma parțială convertind mai întâi la notația Dirac.

$$\begin{pmatrix} \langle 0\vert \rho \vert 0\rangle & 0 & 0 & \langle 0\vert \rho \vert 1\rangle\\[1mm] 0 & 0 & 0 & 0\\[1mm] 0 & 0 & 0 & 0\\[1mm] \langle 1\vert \rho \vert 0\rangle & 0 & 0 & \langle 1\vert \rho \vert 1\rangle \end{pmatrix} = \begin{array}{r} \langle 0\vert \rho \vert 0\rangle \, \vert 0\rangle\langle 0\vert \otimes \vert 0\rangle\langle 0\vert \\[1mm] +\, \langle 0\vert \rho \vert 1\rangle \, \vert 0\rangle\langle 1\vert \otimes \vert 0\rangle\langle 1\vert \\[1mm] +\, \langle 1\vert \rho \vert 0\rangle \, \vert 1\rangle\langle 0\vert \otimes \vert 1\rangle\langle 0\vert \\[1mm] +\, \langle 1\vert \rho \vert 1\rangle \, \vert 1\rangle\langle 1\vert \otimes \vert 1\rangle\langle 1\vert \end{array}$$

Efectuarea urmei parțiale pe qubitul din partea stângă produce același răspuns ca înainte.

$$\langle 0\vert \rho \vert 0\rangle \, \vert 0\rangle\langle 0\vert +\, \langle 1\vert \rho \vert 1\rangle \, \vert 1\rangle\langle 1\vert = \Delta(\rho)$$

Un mod intuitiv de a gândi despre acest circuit este că operația controlled-NOT copiază efectiv starea clasică a qubitului de intrare, iar când copia este aruncată la gunoi qubitul de intrare „colapsează” probabilistic la una dintre cele două stări clasice posibile, ceea ce este echivalent cu defazarea completă.

Canalul complet de defazare (alternativă)

Circuitul descris mai sus nu este singurul mod de a implementa canalul de defazare completă. Iată un mod diferit de a-l face.

Iată o analiză rapidă care arată că această implementare funcționează. După efectuarea porții Hadamard avem această stare de doi qubiți ca matrice densitate:

$$\begin{aligned} \vert + \rangle\langle + \vert \otimes \rho & = \frac{1}{2}\begin{pmatrix} 1 & 1\\[1mm] 1 & 1 \end{pmatrix} \otimes \begin{pmatrix} \langle 0 \vert \rho \vert 0 \rangle & \langle 0 \vert \rho \vert 1 \rangle\\[1mm] \langle 1 \vert \rho \vert 0 \rangle & \langle 1 \vert \rho \vert 1 \rangle \end{pmatrix}\\[4mm] & = \frac{1}{2} \begin{pmatrix} \langle 0 \vert \rho \vert 0 \rangle & \langle 0 \vert \rho \vert 1 \rangle & \langle 0 \vert \rho \vert 0 \rangle & \langle 0 \vert \rho \vert 1 \rangle\\[1mm] \langle 1 \vert \rho \vert 0 \rangle & \langle 1 \vert \rho \vert 1 \rangle & \langle 1 \vert \rho \vert 0 \rangle & \langle 1 \vert \rho \vert 1 \rangle\\[1mm] \langle 0 \vert \rho \vert 0 \rangle & \langle 0 \vert \rho \vert 1 \rangle & \langle 0 \vert \rho \vert 0 \rangle & \langle 0 \vert \rho \vert 1 \rangle\\[1mm] \langle 1 \vert \rho \vert 0 \rangle & \langle 1 \vert \rho \vert 1 \rangle & \langle 1 \vert \rho \vert 0 \rangle & \langle 1 \vert \rho \vert 1 \rangle \end{pmatrix}. \end{aligned}$$

Poarta controlled-$\sigma_z$ funcționează prin conjugare astfel.

$$\frac{1}{2} \begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 & 0\\[1mm] 0 & 1 & 0 & 0\\[1mm] 0 & 0 & 1 & 0\\[1mm] 0 & 0 & 0 & -1 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} \langle 0 \vert \rho \vert 0 \rangle & \langle 0 \vert \rho \vert 1 \rangle & \langle 0 \vert \rho \vert 0 \rangle & \langle 0 \vert \rho \vert 1 \rangle\\[1mm] \langle 1 \vert \rho \vert 0 \rangle & \langle 1 \vert \rho \vert 1 \rangle & \langle 1 \vert \rho \vert 0 \rangle & \langle 1 \vert \rho \vert 1 \rangle\\[1mm] \langle 0 \vert \rho \vert 0 \rangle & \langle 0 \vert \rho \vert 1 \rangle & \langle 0 \vert \rho \vert 0 \rangle & \langle 0 \vert \rho \vert 1 \rangle\\[1mm] \langle 1 \vert \rho \vert 0 \rangle & \langle 1 \vert \rho \vert 1 \rangle & \langle 1 \vert \rho \vert 0 \rangle & \langle 1 \vert \rho \vert 1 \rangle \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 & 0\\[1mm] 0 & 1 & 0 & 0\\[1mm] 0 & 0 & 1 & 0\\[1mm] 0 & 0 & 0 & -1 \end{pmatrix}\\[3mm] = \frac{1}{2} \begin{pmatrix} \langle 0 \vert \rho \vert 0 \rangle & \langle 0 \vert \rho \vert 1 \rangle & \langle 0 \vert \rho \vert 0 \rangle & -\langle 0 \vert \rho \vert 1 \rangle\\[1mm] \langle 1 \vert \rho \vert 0 \rangle & \langle 1 \vert \rho \vert 1 \rangle & \langle 1 \vert \rho \vert 0 \rangle & -\langle 1 \vert \rho \vert 1 \rangle\\[1mm] \langle 0 \vert \rho \vert 0 \rangle & \langle 0 \vert \rho \vert 1 \rangle & \langle 0 \vert \rho \vert 0 \rangle & -\langle 0 \vert \rho \vert 1 \rangle\\[1mm] -\langle 1 \vert \rho \vert 0 \rangle & -\langle 1 \vert \rho \vert 1 \rangle & -\langle 1 \vert \rho \vert 0 \rangle & \langle 1 \vert \rho \vert 1 \rangle \end{pmatrix}$$

În final, sistemul de spațiu de lucru $\mathsf{W}$ este eliminat prin urmă parțială.

$$\frac{1}{2} \operatorname{Tr}_{\mathsf{W}} \begin{pmatrix} \langle 0 \vert \rho \vert 0 \rangle & \langle 0 \vert \rho \vert 1 \rangle & \langle 0 \vert \rho \vert 0 \rangle & -\langle 0 \vert \rho \vert 1 \rangle\\[1mm] \langle 1 \vert \rho \vert 0 \rangle & \langle 1 \vert \rho \vert 1 \rangle & \langle 1 \vert \rho \vert 0 \rangle & -\langle 1 \vert \rho \vert 1 \rangle\\[1mm] \langle 0 \vert \rho \vert 0 \rangle & \langle 0 \vert \rho \vert 1 \rangle & \langle 0 \vert \rho \vert 0 \rangle & -\langle 0 \vert \rho \vert 1 \rangle\\[1mm] -\langle 1 \vert \rho \vert 0 \rangle & -\langle 1 \vert \rho \vert 1 \rangle & -\langle 1 \vert \rho \vert 0 \rangle & \langle 1 \vert \rho \vert 1 \rangle \end{pmatrix}\\[3mm] \begin{aligned} & = \frac{1}{2} \begin{pmatrix} \langle 0 \vert \rho \vert 0 \rangle & \langle 0 \vert \rho \vert 1 \rangle\\[1mm] \langle 1 \vert \rho \vert 0 \rangle & \langle 1 \vert \rho \vert 1 \rangle \end{pmatrix} + \frac{1}{2} \begin{pmatrix} \langle 0 \vert \rho \vert 0 \rangle & -\langle 0 \vert \rho \vert 1 \rangle\\[1mm] -\langle 1 \vert \rho \vert 0 \rangle & \langle 1 \vert \rho \vert 1 \rangle \end{pmatrix}\\[4mm] & = \begin{pmatrix} \langle 0 \vert \rho \vert 0 \rangle & 0\\[2mm] 0 & \langle 1 \vert \rho \vert 1 \rangle \end{pmatrix} \end{aligned}$$

Această implementare se bazează pe o idee simplă: defazarea este echivalentă fie cu a nu face nimic (adică a aplica o operație identitate) fie cu a aplica o poartă $\sigma_z$, fiecare cu probabilitatea $1/2$.

$$\begin{aligned} \frac{1}{2} \rho + \frac{1}{2} \sigma_z \rho \sigma_z & = \frac{1}{2} \begin{pmatrix} \langle 0 \vert \rho \vert 0 \rangle & \langle 0 \vert \rho \vert 1 \rangle\\[1mm] \langle 1 \vert \rho \vert 0 \rangle & \langle 1 \vert \rho \vert 1 \rangle \end{pmatrix} + \frac{1}{2} \begin{pmatrix} \langle 0 \vert \rho \vert 0 \rangle & -\langle 0 \vert \rho \vert 1 \rangle\\[1mm] -\langle 1 \vert \rho \vert 0 \rangle & \langle 1 \vert \rho \vert 1 \rangle \end{pmatrix}\\[4mm] & = \begin{pmatrix} \langle 0 \vert \rho \vert 0 \rangle & 0\\[1mm] 0 & \langle 1 \vert \rho \vert 1 \rangle \end{pmatrix}\\[2mm] & = \Delta(\rho) \end{aligned}$$

Adică, canalul complet de defazare este un exemplu de canal mixt-unitar și, mai specific, un canal Pauli.

Canalul de resetare a qubitului

Canalul de resetare a qubitului poate fi implementat după cum urmează.

Poarta swap mută pur și simplu starea $\vert 0\rangle$ inițializată a qubitului de spațiu de lucru astfel încât aceasta să fie la ieșire, în timp ce starea de intrare $\rho$ este mutată la qubitului de jos și apoi eliminată prin urmă parțială.

Alternativ, dacă nu cerem ca ieșirea canalului să fie lăsată în vârf, putem lua acest circuit foarte simplu ca reprezentare a noastră.

Pe scurt, resetarea unui qubit la starea $\vert 0\rangle$ este echivalentă cu aruncarea qubitului la gunoi și luarea unuia nou.

Reprezentări Kraus

Acum vom discuta despre reprezentările Kraus, care oferă o modalitate formulaică convenabilă de a exprima acțiunea unui canal prin înmulțire și adunare de matrice. În particular, o reprezentare Kraus este o specificație a unui canal, $\Phi,$ în forma de mai jos.

$$\Phi(\rho) = \sum_{k = 0}^{N-1} A_k \rho A_k^{\dagger}$$

Aici, $A_0,\ldots,A_{N-1}$ sunt matrice care au toate aceleași dimensiuni: coloanele lor corespund stărilor clasice ale sistemului de intrare, $\mathsf{X},$ iar rândurile lor corespund stărilor clasice ale sistemului de ieșire, fie că este $\mathsf{X}$ sau un alt sistem $\mathsf{Y}.$ Pentru ca $\Phi$ să fie un canal valid, aceste matrice trebuie să satisfacă condiția de mai jos.

$$\sum_{k = 0}^{N-1} A_k^{\dagger} A_k = \mathbb{I}_{\mathsf{X}}$$

Această condiție este echivalentă cu condiția că $\Phi$ păstrează urma. Cealaltă proprietate necesară unui canal — care este pozitivitatea completă — rezultă din forma generală a ecuației pentru $\Phi$, ca sumă de conjugări.

Uneori este convenabil să numim matricele $A_0,\ldots,A_{N-1}$ într-un mod diferit. De exemplu, am putea să le numerotăm începând de la $1$, sau am putea folosi stări dintr-un set de stări clasice arbitrar $\Gamma$ în loc de numere ca indici:

$$\Phi(\rho) = \sum_{a\in\Gamma} A_a \rho A_a^{\dagger} \quad \text{unde} \quad \sum_{a\in\Gamma} A_a^{\dagger} A_a = \mathbb{I}.$$

Aceste diferite moduri de a numi aceste matrice, care se numesc matrice Kraus, sunt toate comune și pot fi convenabile în situații diferite — dar vom păstra numele $A_0,\ldots,A_{N-1}$ în această lecție pentru simplitate.

Numărul $N$ poate fi un număr întreg pozitiv arbitrar, dar nu trebuie să fie prea mare: dacă sistemul de intrare $\mathsf{X}$ are $n$ stări clasice și sistemul de ieșire $\mathsf{Y}$ are $m$ stări clasice, atunci orice canal de la $\mathsf{X}$ la $\mathsf{Y}$ va avea întotdeauna o reprezentare Kraus pentru care $N$ este cel mult produsul $nm$.

Canalul de defazare completă

Obținem o reprezentare Kraus a canalului complet de defazare luând $A_0 = \vert 0\rangle\langle 0\vert$ și $A_1 = \vert 1\rangle\langle 1\vert$.

$$\begin{aligned} \sum_{k = 0}^1 A_k \rho A_k^{\dagger} & = \vert 0\rangle\langle 0 \vert \rho \vert 0\rangle\langle 0 \vert + \vert 1\rangle\langle 1 \vert \rho \vert 1\rangle\langle 1 \vert\\ & = \langle 0 \vert \rho \vert 0\rangle \, \vert 0\rangle\langle 0 \vert + \langle 1 \vert \rho \vert 1\rangle \, \vert 1\rangle\langle 1 \vert \\[2mm] & = \begin{pmatrix} \langle 0 \vert \rho \vert 0 \rangle & 0 \\[1mm] 0 & \langle 1 \vert \rho \vert 1 \rangle \end{pmatrix} \end{aligned}$$

Aceste matrice satisfac condiția necesară.

$$\sum_{k = 0}^1 A_k^{\dagger} A_k = \vert 0\rangle\langle 0\vert 0\rangle\langle 0\vert + \vert 1\rangle\langle 1\vert 1\rangle\langle 1\vert = \vert 0\rangle\langle 0\vert + \vert 1\rangle\langle 1\vert = \mathbb{I}$$

Alternativ, putem lua $A_0 = \frac{1}{\sqrt{2}}\mathbb{I}$ și $A_1 = \frac{1}{\sqrt{2}}\sigma_z$, astfel că

$$\sum_{k = 0}^1 A_k \rho A_k^{\dagger} = \frac{1}{2} \rho + \frac{1}{2} \sigma_z \rho \sigma_z = \Delta(\rho),$$

după cum s-a calculat anterior. De data aceasta, condiția necesară poate fi verificată după cum urmează.

$$\sum_{k = 0}^1 A_k^{\dagger} A_k = \frac{1}{2} \mathbb{I} + \frac{1}{2} \sigma_z^2 = \frac{1}{2} \mathbb{I} + \frac{1}{2} \mathbb{I} = \mathbb{I}$$

Canalul de resetare a qubitului

Obținem o reprezentare Kraus a canalului de resetare a qubitului luând $A_0 = \vert 0\rangle\langle 0\vert$ și $A_1 = \vert 0\rangle\langle 1\vert$.

$$\begin{aligned} \sum_{k = 0}^1 A_k \rho A_k^{\dagger} & = \vert 0\rangle\langle 0 \vert \rho \vert 0\rangle\langle 0 \vert + \vert 0\rangle\langle 1 \vert \rho \vert 1\rangle\langle 0 \vert\\ & = \langle 0 \vert \rho \vert 0\rangle \, \vert 0\rangle\langle 0 \vert + \langle 1 \vert \rho \vert 1\rangle \, \vert 0\rangle\langle 0 \vert\\[2mm] & = \operatorname{Tr}(\rho) \vert 0\rangle \langle 0 \vert \end{aligned}$$

Aceste matrice satisfac condiția necesară.

$$\sum_{k = 0}^1 A_k^{\dagger} A_k = \vert 0\rangle\langle 0\vert 0\rangle\langle 0\vert + \vert 1\rangle\langle 0\vert 0\rangle\langle 1\vert = \vert 0\rangle\langle 0\vert + \vert 1\rangle\langle 1\vert = \mathbb{I}$$

Canalul complet de depolarizare

O modalitate de a obține o reprezentare Kraus pentru canalul complet de depolarizare este să alegeți matricele Kraus $A_0,\ldots,A_3$ după cum urmează.

$$A_0 = \frac{\vert 0\rangle\langle 0\vert}{\sqrt{2}} \quad A_1 = \frac{\vert 0\rangle\langle 1\vert}{\sqrt{2}} \quad A_2 = \frac{\vert 1\rangle\langle 0\vert}{\sqrt{2}} \quad A_3 = \frac{\vert 1\rangle\langle 1\vert}{\sqrt{2}}$$

Pentru orice matrice densitate qubit $\rho$ avem atunci

$$\begin{aligned} \sum_{k = 0}^3 A_k \rho A_k^{\dagger} & = \frac{1}{2} \bigl(\vert 0\rangle\langle 0\vert \rho \vert 0\rangle\langle 0\vert + \vert 0\rangle\langle 1\vert \rho \vert 1\rangle\langle 0\vert + \vert 1\rangle\langle 0\vert \rho \vert 0\rangle\langle 1\vert + \vert 1\rangle\langle 1\vert \rho \vert 1\rangle\langle 1\vert\bigr)\\ & = \operatorname{Tr}(\rho) \frac{\mathbb{I}}{2}\\[1mm] & = \Omega(\rho). \end{aligned}$$

O reprezentare Kraus alternativă se obține alegând matricele Kraus astfel.

$$A_0 = \frac{\mathbb{I}}{2} \quad A_1 = \frac{\sigma_x}{2} \quad A_2 = \frac{\sigma_y}{2} \quad A_3 = \frac{\sigma_z}{2}$$

Pentru a verifica că aceste matrice Kraus reprezintă într-adevăr canalul complet de depolarizare, să observăm mai întâi că conjugarea unei matrice arbitrare $2\times 2$ cu o matrice Pauli funcționează după cum urmează.

$$\begin{aligned} \sigma_x \begin{pmatrix} \alpha_{0,0} & \alpha_{0,1}\\[1mm] \alpha_{1,0} & \alpha_{1,1} \end{pmatrix} \sigma_x & = \begin{pmatrix} \alpha_{1,1} & \alpha_{1,0}\\[1mm] \alpha_{0,1} & \alpha_{0,0} \end{pmatrix}\\[5mm] \sigma_y \begin{pmatrix} \alpha_{0,0} & \alpha_{0,1}\\[1mm] \alpha_{1,0} & \alpha_{1,1} \end{pmatrix} \sigma_y & = \begin{pmatrix} \alpha_{1,1} & -\alpha_{1,0}\\[1mm] -\alpha_{0,1} & \alpha_{0,0} \end{pmatrix}\\[5mm] \sigma_z \begin{pmatrix} \alpha_{0,0} & \alpha_{0,1}\\[1mm] \alpha_{1,0} & \alpha_{1,1} \end{pmatrix} \sigma_z & = \begin{pmatrix} \alpha_{0,0} & -\alpha_{0,1}\\[1mm] -\alpha_{1,0} & \alpha_{1,1} \end{pmatrix} \end{aligned}$$

Aceasta ne permite să verificăm corectitudinea reprezentării noastre Kraus.

$$\begin{aligned} \sum_{k = 0}^3 A_k \rho A_k^{\dagger} & = \frac{\rho + \sigma_x \rho \sigma_x + \sigma_y \rho \sigma_y + \sigma_z \rho \sigma_z}{4} \\ & = \frac{1}{4} \begin{pmatrix} \langle 0\vert\rho\vert 0\rangle + \langle 1\vert\rho\vert 1\rangle + \langle 1\vert\rho\vert 1\rangle + \langle 0\vert\rho\vert 0\rangle & \langle 0\vert\rho\vert 1\rangle + \langle 1\vert\rho\vert 0\rangle - \langle 1\vert\rho\vert 0\rangle - \langle 0\vert\rho\vert 1\rangle \\[2mm] \langle 1\vert\rho\vert 0\rangle + \langle 0\vert\rho\vert 1\rangle - \langle 0\vert\rho\vert 1\rangle - \langle 1\vert\rho\vert 0\rangle & \langle 1\vert\rho\vert 1\rangle + \langle 0\vert\rho\vert 0\rangle + \langle 0\vert\rho\vert 0\rangle + \langle 1\vert\rho\vert 1\rangle \end{pmatrix} \\[4mm] & = \operatorname{Tr}(\rho) \frac{\mathbb{I}}{2} \end{aligned}$$

Această reprezentare Kraus exprimă o idee importantă, și anume că starea unui qubit poate fi complet randomizată prin aplicarea asupra acestuia a uneia dintre cele patru matrice Pauli (inclusiv matricea identitate) aleasă uniform aleator. Astfel, canalul complet de depolarizare este un alt exemplu de canal Pauli.

Nu este posibil să găsești o reprezentare Kraus pentru canalul complet de depolarizare $\Omega$ cu trei sau mai puține matrice Kraus; sunt necesare cel puțin patru pentru acest canal.

Canale unitare

Dacă avem o matrice unitară $U$ care reprezintă o operație pe un sistem $\mathsf{X}$, putem exprima acțiunea acestei operații unitare ca un canal:

$$\Phi(\rho) = U \rho U^{\dagger}.$$

Această expresie este deja o reprezentare Kraus validă a canalului $\Phi$ unde avem doar o singură matrice Kraus $A_0 = U$. În acest caz, condiția necesară

$$\sum_{k = 0}^{N-1} A_k^{\dagger} A_k = \mathbb{I}_{\mathsf{X}}$$

ia forma mult mai simplă $U^{\dagger} U = \mathbb{I}_{\mathsf{X}}$, despre care știm că este adevărată deoarece $U$ este unitar.

Reprezentări Choi

Acum vom discuta o a treia modalitate prin care canalele pot fi descrise, prin reprezentarea Choi. Modul în care funcționează este că fiecare canal este reprezentat de o singură matrice numită matricea sa Choi. Dacă sistemul de intrare are $n$ stări clasice și sistemul de ieșire are $m$ stări clasice, atunci matricea Choi a canalului va avea $nm$ rânduri și $nm$ coloane.

Matricele Choi oferă o reprezentare fidelă a canalelor, adică două canale sunt identice dacă și numai dacă au aceeași matrice Choi. Un motiv pentru care aceasta este importantă este că ne oferă o modalitate de a determina dacă două descrieri diferite corespund aceluiași canal sau unor canale diferite: pur și simplu calculăm matricele Choi și le comparăm pentru a vedea dacă sunt egale. În schimb, reprezentările Stinespring și Kraus nu sunt unice în acest fel, după cum am văzut.

Matricele Choi sunt de asemenea utile în alte privințe pentru a descoperi diverse proprietăți matematice ale canalelor.

Definiție

Fie $\Phi$ un canal de la un sistem $\mathsf{X}$ la un sistem $\mathsf{Y}$, și presupunem că setul de stări clasice al sistemului de intrare $\mathsf{X}$ este $\Sigma$. Reprezentarea Choi a lui $\Phi$, notată $J(\Phi)$, este definită prin ecuația de mai jos.

$$J(\Phi) = \sum_{a,b\in\Sigma} \vert a\rangle\langle b \vert \otimes \Phi\bigl( \vert a\rangle\langle b \vert\bigr)$$

Dacă presupunem că $\Sigma = \{0,\ldots, n-1\}$ pentru un număr întreg pozitiv $n$, atunci putem exprima alternativ $J(\Phi)$ ca o matrice pe blocuri:

$$J(\Phi) = \begin{pmatrix} \Phi\bigl(\vert 0\rangle\langle 0\vert\bigr) & \Phi\bigl(\vert 0\rangle\langle 1\vert\bigr) & \cdots & \Phi\bigl(\vert 0\rangle\langle n-1\vert\bigr) \\[1mm] \Phi\bigl(\vert 1\rangle\langle 0\vert\bigr) & \Phi\bigl(\vert 1\rangle\langle 1\vert\bigr) & \cdots & \Phi\bigl(\vert 1\rangle\langle n-1\vert\bigr) \\[1mm] \vdots & \vdots & \ddots & \vdots\\[1mm] \Phi\bigl(\vert n-1\rangle\langle 0\vert\bigr) & \Phi\bigl(\vert n-1\rangle\langle 1\vert\bigr) & \cdots & \Phi\bigl(\vert n-1\rangle\langle n-1\vert\bigr) \end{pmatrix}$$

Adică, ca matrice pe blocuri, matricea Choi a unui canal are un bloc $\Phi(\vert a\rangle\langle b\vert)$ pentru fiecare pereche $(a,b)$ de stări clasice ale sistemului de intrare, cu blocurile aranjate într-un mod natural.

Observă că mulțimea $\{\vert a\rangle\langle b\vert \,:\, 0\leq a,b < n\}$ formează o bază pentru spațiul tuturor matricelor $n\times n.$ Deoarece $\Phi$ este liniară, rezultă că acțiunea sa poate fi recuperată din matricea sa Choi prin luarea de combinații liniare ale blocurilor.

Starea Choi a unui canal

O altă modalitate de a te gândi la matricea Choi a unui canal este că aceasta este o matrice densitate dacă împărțim la $n = \vert\Sigma\vert$. Să ne concentrăm pe situația în care $\Sigma = \{0,\ldots,n-1\}$ pentru simplitate, și imaginează-ți că avem două copii identice ale lui $\mathsf{X}$ care se află împreună în starea entanglată

$$\vert \psi \rangle = \frac{1}{\sqrt{n}} \sum_{a = 0}^{n-1} \vert a \rangle \otimes \vert a \rangle.$$

Ca matrice densitate, această stare este după cum urmează.

$$\vert \psi \rangle \langle \psi \vert = \frac{1}{n} \sum_{a,b = 0}^{n-1} \vert a\rangle\langle b \vert \otimes \vert a\rangle\langle b \vert$$

Dacă aplicăm $\Phi$ copiei lui $\mathsf{X}$ din dreapta, obținem matricea Choi împărțită la $n$.

$$(\operatorname{Id}\otimes \,\Phi) \bigl(\vert \psi \rangle \langle \psi \vert\bigr) = \frac{1}{n} \sum_{a,b = 0}^{n-1} \vert a\rangle\langle b \vert \otimes \Phi\bigl(\vert a\rangle\langle b \vert\bigr) = \frac{J(\Phi)}{n}$$

Pe scurt, până la un factor de normalizare $1/n$, matricea Choi a lui $\Phi$ este matricea densitate pe care o obținem evaluând $\Phi$ pe jumătate dintr-o pereche maximal entanglată de sisteme de intrare, după cum arată figura de mai jos.

Observă în particular că aceasta implică faptul că matricea Choi a unui canal trebuie să fie întotdeauna pozitiv semidefinită.

De asemenea, vedem că, deoarece canalul $\Phi$ este aplicat sistemului din dreapta/sus singur, acesta nu poate afecta starea redusă a sistemului din stânga/jos. În cazul de față, acea stare este starea complet mixtă $\mathbb{I}_{\mathsf{X}}/n$, și prin urmare

$$\operatorname{Tr}_{\mathsf{Y}} \biggl(\frac{J(\Phi)}{n}\biggr) = \frac{\mathbb{I}_{\mathsf{X}}}{n}.$$

Eliminând numitorul $n$ din ambele membre, obținem $\operatorname{Tr}_{\mathsf{Y}} (J(\Phi)) = \mathbb{I}_{\mathsf{X}}$.

Putem ajunge la aceeași concluzie folosind faptul că canalele trebuie să preserveze întotdeauna urma, și deci

$$\begin{aligned} \operatorname{Tr}_{\mathsf{Y}} (J(\Phi)) & = \sum_{a,b\in\Sigma} \operatorname{Tr}\bigl(\Phi( \vert a\rangle\langle b \vert)\bigr) \, \vert a\rangle\langle b \vert \\ & = \sum_{a,b\in\Sigma} \operatorname{Tr}\bigl(\vert a\rangle\langle b \vert\bigr) \, \vert a\rangle\langle b \vert \\ & = \sum_{a\in\Sigma} \vert a\rangle\langle a \vert \\ & = \mathbb{I}_{\mathsf{X}}. \end{aligned}$$

În rezumat, reprezentarea Choi $J(\Phi)$ pentru orice canal $\Phi$ trebuie să fie pozitiv semidefinită și trebuie să satisfacă

$$\operatorname{Tr}_{\mathsf{Y}} (J(\Phi)) = \mathbb{I}_{\mathsf{X}}.$$

După cum vom vedea până la sfârșitul lecției, aceste două condiții nu sunt doar necesare ci și suficiente, adică orice aplicație liniară $\Phi$ de la matrice la matrice care satisface aceste cerințe trebuie, de fapt, să fie un canal.

Canalul de defazare completă

Reprezentarea Choi a canalului complet de defazare $\Delta$ este

$$\begin{aligned} J(\Delta) & = \sum_{a,b = 0}^{1} \vert a\rangle\langle b \vert \otimes \Delta\bigl(\vert a\rangle\langle b \vert\bigr) \\ & = \sum_{a = 0}^{1} \vert a\rangle\langle a \vert \otimes \vert a\rangle\langle a \vert \\[4mm] & = \begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 & 0\\[1mm] 0 & 0 & 0 & 0\\[1mm] 0 & 0 & 0 & 0\\[1mm] 0 & 0 & 0 & 1 \end{pmatrix}. \end{aligned}$$

Canalul de depolarizare completă

Reprezentarea Choi a canalului complet de depolarizare este

$$\begin{aligned} J(\Omega) & = \sum_{a,b = 0}^{1} \vert a\rangle\langle b \vert \otimes \Omega\bigl(\vert a\rangle\langle b \vert\bigr)\\ & = \sum_{a = 0}^{1} \vert a\rangle\langle a \vert \otimes \frac{1}{2} \mathbb{I} \\[4mm] & = \frac{1}{2} \mathbb{I} \otimes \mathbb{I}\\[3mm] & = \begin{pmatrix} \frac{1}{2} & 0 & 0 & 0\\[1mm] 0 & \frac{1}{2} & 0 & 0\\[1mm] 0 & 0 & \frac{1}{2} & 0\\[1mm] 0 & 0 & 0 & \frac{1}{2} \end{pmatrix}. \end{aligned}$$

Canalul de resetare a qubitului

Reprezentarea Choi a canalului de resetare a qubitului $\Phi$ este

$$\begin{aligned} J(\Lambda) & = \sum_{a,b = 0}^{1} \vert a\rangle\langle b \vert \otimes \Lambda\bigl(\vert a\rangle\langle b \vert\bigr)\\ & = \sum_{a = 0}^{1} \vert a\rangle\langle a \vert \otimes \vert 0\rangle \langle 0\vert\\[4mm] & = \mathbb{I} \otimes \vert 0\rangle \langle 0\vert\\[3mm] & = \begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 & 0\\[1mm] 0 & 0 & 0 & 0\\[1mm] 0 & 0 & 1 & 0\\[1mm] 0 & 0 & 0 & 0 \end{pmatrix}. \end{aligned}$$

Canalul identitate

Reprezentarea Choi a canalului identitate qubit $\operatorname{Id}$ este

$$\begin{aligned} J(\operatorname{Id}) & = \sum_{a,b = 0}^{1} \vert a\rangle\langle b \vert \otimes \operatorname{Id}\bigl(\vert a\rangle\langle b \vert\bigr) \\ & = \sum_{a,b = 0}^{1} \vert a \rangle\langle b \vert \otimes \vert a\rangle \langle b \vert \\ & = \begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 & 1\\[1mm] 0 & 0 & 0 & 0\\[1mm] 0 & 0 & 0 & 0\\[1mm] 1 & 0 & 0 & 1 \end{pmatrix}. \end{aligned}$$

Observă în particular că $J(\operatorname{Id})$ nu este matricea identitate. Reprezentarea Choi nu descrie direct acțiunea unui canal în modul obișnuit în care o matrice reprezintă o aplicație liniară.