Noțiuni de bază despre canalele cuantice

În termeni matematici, canalele sunt aplicații liniare de la matrice de densitate la matrice de densitate care satisfac anumite cerințe. Pe parcursul acestei lecții, vom folosi litere grecești majuscule, inclusiv $\Phi$ și $\Psi,$ precum și alte litere în cazuri specifice, pentru a face referire la canale.

Fiecare canal $\Phi$ are un sistem de intrare și un sistem de ieșire; de obicei vom folosi numele $\mathsf{X}$ pentru sistemul de intrare și $\mathsf{Y}$ pentru sistemul de ieșire. Este frecvent ca sistemul de ieșire al unui canal să fie același cu sistemul de intrare, iar în acest caz putem folosi aceeași literă $\mathsf{X}$ pentru ambele.

Canalele sunt aplicații liniare

Canalele sunt descrise prin aplicații liniare, la fel ca operațiile probabilistice din formularea clasică standard a informației și operațiile unitare din formularea simplificată a informației cuantice.

Dacă un canal $\Phi$ este aplicat unui sistem de intrare $\mathsf{X}$ a cărui stare este descrisă de o matrice de densitate $\rho,$ atunci sistemul de ieșire al canalului este descris de matricea de densitate $\Phi(\rho).$ În situația în care sistemul de ieșire al lui $\Phi$ este tot $\mathsf{X},$ putem privi pur și simplu canalul ca pe o schimbare a stării lui $\mathsf{X},$ de la $\rho$ la $\Phi(\rho).$ Când sistemul de ieșire al lui $\Phi$ este un sistem diferit, $\mathsf{Y},$ în loc de $\mathsf{X},$ trebuie înțeles că $\mathsf{Y}$ este un sistem nou, creat prin procesul de aplicare a canalului, și că sistemul de intrare, $\mathsf{X},$ nu mai este disponibil odată ce canalul a fost aplicat — ca și cum canalul însuși ar fi transformat $\mathsf{X}$ în $\mathsf{Y},$ lăsându-l în starea $\Phi(\rho).$

Presupunerea că canalele sunt descrise prin aplicații liniare poate fi privită ca un axiom — cu alte cuvinte, un postulat de bază al teoriei, nu ceva care se demonstrează. Putem totuși vedea necesitatea ca canalele să acționeze liniar pe combinații convexe de matrice de densitate pentru a fi consistente cu teoria probabilităților și cu ceea ce am învățat deja despre matricele de densitate.

Mai precis, să presupunem că avem un canal $\Phi$ și îl aplicăm unui sistem aflat în una din cele două stări reprezentate de matricele de densitate $\rho$ și $\sigma.$ Dacă aplicăm canalul lui $\rho$ obținem matricea de densitate $\Phi(\rho),$ iar dacă îl aplicăm lui $\sigma$ obținem matricea de densitate $\Phi(\sigma).$ Astfel, dacă alegem aleatoriu starea de intrare a lui $\mathsf{X}$ ca $\rho$ cu probabilitatea $p$ și $\sigma$ cu probabilitatea $1-p,$ vom obține starea de ieșire $\Phi(\rho)$ cu probabilitatea $p$ și $\Phi(\sigma)$ cu probabilitatea $1-p,$ pe care o reprezentăm prin media ponderată a matricelor de densitate ca $p\Phi(\rho) + (1-p)\Phi(\sigma).$

Pe de altă parte, am putea gândi starea de intrare a canalului ca fiind reprezentată de media ponderată $p\rho + (1-p)\sigma,$ caz în care ieșirea este $\Phi(p\rho + (1-p)\sigma).$ Este aceeași stare indiferent de cum alegem să o privim, deci trebuie să avem

$$\Phi(p\rho + (1-p)\sigma) = p\Phi(\rho) + (1-p)\Phi(\sigma).$$

Ori de câte ori avem o aplicație care satisface această condiție pentru orice alegere de matrice de densitate $\rho$ și $\sigma$ și scalari $p\in [0,1],$ există întotdeauna un mod unic de a extinde acea aplicație la orice matrice de intrare (nu doar matrice de densitate) astfel încât să fie liniară.

Canalele transformă matricele de densitate în matrice de densitate

În mod natural, pe lângă faptul că sunt aplicații liniare, canalele trebuie să transforme și matricele de densitate în matrice de densitate. Dacă un canal $\Phi$ este aplicat unui sistem de intrare în timp ce acesta se află într-o stare reprezentată de o matrice de densitate $\rho,$ obținem un sistem a cărui stare este reprezentată de $\Phi(\rho),$ care trebuie să fie o matrice de densitate validă pentru a o putea interpreta ca stare.

Este extrem de important, totuși, să luăm în considerare o situație mai generală, în care un canal $\Phi$ transformă un sistem $\mathsf{X}$ într-un sistem $\mathsf{Y}$ în prezența unui sistem suplimentar $\mathsf{Z}$ căruia nu i se întâmplă nimic. Adică, dacă pornim cu perechea de sisteme $(\mathsf{Z},\mathsf{X})$ într-o stare descrisă de o matrice de densitate oarecare, și apoi aplicăm $\Phi$ doar lui $\mathsf{X},$ transformându-l în $\mathsf{Y},$ trebuie să obținem o matrice de densitate care descrie starea perechii $(\mathsf{Z},\mathsf{Y}).$

Putem descrie în termeni matematici cum un canal $\Phi,$ cu sistem de intrare $\mathsf{X}$ și sistem de ieșire $\mathsf{Y},$ transformă o stare a perechii $(\mathsf{Z},\mathsf{X})$ într-o stare a perechii $(\mathsf{Z},\mathsf{Y})$ când lui $\mathsf{Z}$ nu i se face nimic. Pentru simplitate, vom presupune că mulțimea stărilor clasice ale lui $\mathsf{Z}$ este $\{0,\ldots,m-1\}.$ Aceasta ne permite să scriem o matrice de densitate arbitrară $\rho,$ reprezentând o stare a perechii $(\mathsf{Z},\mathsf{X}),$ în următoarea formă.

$$\rho = \sum_{a,b = 0}^{m-1} \vert a\rangle\langle b\vert \otimes \rho_{a,b} = \begin{pmatrix} \rho_{0,0} & \rho_{0,1} & \cdots & \rho_{0,m-1} \\[1mm] \rho_{1,0} & \rho_{1,1} & \cdots & \rho_{1,m-1} \\[1mm] \vdots & \vdots & \ddots & \vdots\\[1mm] \rho_{m-1,0} & \rho_{m-1,1} & \cdots & \rho_{m-1,m-1} \end{pmatrix}$$

În partea dreaptă a acestei ecuații avem o matrice bloc, pe care o putem gândi ca o matrice de matrice, cu excepția că parantezele interioare sunt eliminate. Aceasta ne lasă cu o matrice obișnuită care poate fi descrisă alternativ folosind notația Dirac, așa cum am făcut în expresia din mijloc. Fiecare matrice $\rho_{a,b}$ are linii și coloane corespunzătoare stărilor clasice ale lui $\mathsf{X},$ iar aceste matrice pot fi determinate printr-o formulă simplă.

$$\rho_{a,b} = \bigl(\langle a \vert \otimes \mathbb{I}_{\mathsf{X}} \bigr) \rho \bigl(\vert b \rangle \otimes \mathbb{I}_{\mathsf{X}} \bigr)$$

Observă că acestea nu sunt în general matrice de densitate — doar atunci când sunt aranjate împreună pentru a forma $\rho$ obținem o matrice de densitate.

Ecuația de mai jos descrie starea perechii $(\mathsf{Z},\mathsf{Y})$ obținută când $\Phi$ este aplicat lui $\mathsf{X}.$

$$\sum_{a,b = 0}^{m-1} \vert a\rangle\langle b\vert \otimes \Phi(\rho_{a,b}) = \begin{pmatrix} \Phi(\rho_{0,0}) & \Phi(\rho_{0,1}) & \cdots & \Phi(\rho_{0,m-1}) \\[1mm] \Phi(\rho_{1,0}) & \Phi(\rho_{1,1}) & \cdots & \Phi(\rho_{1,m-1}) \\[1mm] \vdots & \vdots & \ddots & \vdots\\[1mm] \Phi(\rho_{m-1,0}) & \Phi(\rho_{m-1,1}) & \cdots & \Phi(\rho_{m-1,m-1}) \end{pmatrix}$$

Observă că, pentru a evalua această expresie pentru o alegere dată de $\Phi$ și $\rho,$ trebuie să înțelegem cum funcționează $\Phi$ ca aplicație liniară pe intrări care nu sunt matrice de densitate, deoarece fiecare $\rho_{a,b}$ nu va fi în general o matrice de densitate în sine. Ecuația este consistentă cu expresia $(\operatorname{Id}_{\mathsf{Z}} \otimes \,\Phi)(\rho),$ în care $\operatorname{Id}_{\mathsf{Z}}$ denotă canalul identitate pe sistemul $\mathsf{Z}.$ Aceasta presupune că am extins noțiunea de produs tensorial la aplicații liniare de la matrice la matrice, ceea ce este direct — dar nu este cu adevărat esențial pentru lecție și nu va fi explicat mai departe.

Reiterând o afirmație de mai sus, pentru ca o aplicație liniară $\Phi$ să fie un canal valid, trebuie ca, pentru orice alegere a lui $\mathsf{Z}$ și orice matrice de densitate $\rho$ a perechii $(\mathsf{Z},\mathsf{X}),$ să obținem întotdeauna o matrice de densitate atunci când $\Phi$ este aplicat lui $\mathsf{X}.$ În termeni matematici, proprietățile pe care o aplicație trebuie să le posede pentru a fi un canal sunt că trebuie să fie care păstrează urma — astfel încât matricea obținută prin aplicarea canalului să aibă urma egală cu unu — cât și complet pozitivă — astfel încât matricea rezultantă să fie pozitiv semidefinită. Ambele sunt proprietăți importante care pot fi considerate și studiate separat, dar nu este esențial pentru această lecție să le considerăm în izolație.

Există, de fapt, aplicații liniare care produc întotdeauna o matrice de densitate atunci când primesc o matrice de densitate ca intrare, dar nu reușesc să mapeze matricele de densitate în matrice de densitate pentru sisteme compuse, deci eliminăm într-adevăr unele aplicații liniare din clasa canalelor în acest fel. (Aplicația liniară dată de transpunerea matriceală este cel mai simplu exemplu.)

Avem o formulă analogă celei de mai sus în cazul în care cele două sisteme $\mathsf{X}$ și $\mathsf{Z}$ sunt interschimbate, astfel că $\Phi$ este aplicat sistemului din stânga, nu din dreapta.

$$\bigl(\Phi\otimes\operatorname{Id}_{\mathsf{Z}}\bigr)(\rho) = \sum_{a,b = 0}^{m-1} \Phi(\rho_{a,b}) \otimes \vert a\rangle\langle b\vert$$

Aceasta presupune că $\rho$ este o stare a perechii $(\mathsf{X},\mathsf{Z})$ mai degrabă decât $(\mathsf{Z},\mathsf{X}).$ De data aceasta descrierea prin matrice bloc nu funcționează deoarece matricele $\rho_{a,b}$ nu se încadrează în linii și coloane consecutive în $\rho,$ dar este aceeași structură matematică de fond.

Orice aplicație liniară care satisface cerința că transformă întotdeauna matricele de densitate în matrice de densitate, chiar și atunci când este aplicată doar unei părți a unui sistem compus, reprezintă un canal valid. Deci, în sens abstract, noțiunea de canal este determinată de noțiunea de matrice de densitate, împreună cu presupunerea că canalele acționează liniar. În această privință, canalele sunt analoge operațiilor unitare din formularea simplificată a informației cuantice, care sunt exact aplicațiile liniare ce transformă întotdeauna vectorii de stare cuantică în vectori de stare cuantică pentru un sistem dat; precum și operațiilor probabilistice (reprezentate de matrice stochastice) din formularea clasică standard a informației, care sunt exact aplicațiile liniare ce transformă întotdeauna vectorii de probabilitate în vectori de probabilitate.

Operațiile unitare ca și canale

Să presupunem că $\mathsf{X}$ este un sistem și $U$ este o matrice unitară reprezentând o operație pe $\mathsf{X}.$ Canalul $\Phi$ care descrie această operație pe matricele de densitate este definit după cum urmează pentru orice matrice de densitate $\rho$ reprezentând o stare cuantică a lui $\mathsf{X}.$

$$\Phi(\rho) = U \rho U^{\dagger} \tag{1}$$

Această acțiune, în care înmulțim cu $U$ la stânga și cu $U^{\dagger}$ la dreapta, este denumită în mod uzual conjugare cu matricea $U.$

Această descriere este consistentă cu faptul că matricea de densitate care reprezintă un vector de stare cuantică dat $\vert\psi\rangle$ este $\vert\psi\rangle\langle\psi\vert.$ Mai precis, dacă operația unitară $U$ este efectuată pe $\vert\psi\rangle,$ atunci starea de ieșire este reprezentată de vectorul $U\vert\psi\rangle,$ și deci matricea de densitate care descrie această stare este egală cu

$$(U \vert \psi \rangle )( U \vert \psi \rangle )^{\dagger} = U \vert\psi\rangle\langle\psi\vert U^{\dagger}.$$

Odată ce știm că, ca și canal, operația $U$ are acțiunea $\vert\psi\rangle\langle \psi\vert \mapsto U \vert\psi\rangle\langle\psi\vert U^{\dagger}$ pe stările pure, putem concluziona prin liniaritate că trebuie să funcționeze conform ecuației $(1)$ de mai sus pentru orice matrice de densitate $\rho.$

Canalul particular pe care îl obținem când luăm $U = \mathbb{I}$ este canalul identitate$\;\operatorname{Id},$ căruia îi putem adăuga și un indice (de exemplu $\operatorname{Id}_{\mathsf{Z}},$ pe care l-am întâlnit deja) când dorim să indicăm explicit pe ce sistem acționează canalul. Ieșirea sa este întotdeauna egală cu intrarea: $\operatorname{Id}(\rho) = \rho.$ Poate părea un canal neinteresant, dar este de fapt unul foarte important — și e potrivit că acesta este primul nostru exemplu. Canalul identitate este canalul perfect în anumite contexte, reprezentând o memorie ideală sau o transmisie perfectă, fără zgomot, a informației de la un emițător la un receptor.

Fiecare canal definit de o operație unitară în acest fel este într-adevăr un canal valid: conjugarea cu o matrice $U$ ne oferă o aplicație liniară; iar dacă $\rho$ este o matrice de densitate a unui sistem $(\mathsf{Z},\mathsf{X})$ și $U$ este unitară, atunci rezultatul, pe care îl putem exprima ca

$$(\mathbb{I}_{\mathsf{Z}} \otimes U) \rho (\mathbb{I}_{\mathsf{Z}} \otimes U^{\dagger}),$$

este de asemenea o matrice de densitate. Mai precis, această matrice trebuie să fie pozitiv semidefinită, căci dacă $\rho = M^{\dagger} M$ atunci

$$(\mathbb{I}_{\mathsf{Z}} \otimes U) \rho (\mathbb{I}_{\mathsf{Z}} \otimes U^{\dagger}) = K^{\dagger} K$$

pentru $K = M (\mathbb{I}_{\mathsf{Z}} \otimes U^{\dagger}),$ și trebuie să aibă urmă unitară din cauza proprietății ciclice a urmei.

$$\operatorname{Tr}\bigl((\mathbb{I}_{\mathsf{Z}} \otimes U) \rho (\mathbb{I}_{\mathsf{Z}} \otimes U^{\dagger})\bigr) = \operatorname{Tr}\bigl((\mathbb{I}_{\mathsf{Z}} \otimes U^{\dagger})(\mathbb{I}_{\mathsf{Z}} \otimes U) \rho \bigr) = \operatorname{Tr}\bigl((\mathbb{I}_{\mathsf{Z}} \otimes \mathbb{I}_{\mathsf{X}}) \rho \bigr) = \operatorname{Tr}(\rho) = 1$$

Combinații convexe de canale

Să presupunem că avem două canale, $\Phi_0$ și $\Phi_1,$ care au același sistem de intrare și același sistem de ieșire. Pentru orice număr real $p\in[0,1],$ am putea decide să aplicăm $\Phi_0$ cu probabilitatea $p$ și $\Phi_1$ cu probabilitatea $1-p,$ ceea ce ne oferă un nou canal care poate fi scris ca $p \Phi_0 + (1-p) \Phi_1.$ Explicit, modul în care acest canal acționează pe o matrice de densitate dată este specificat de următoarea ecuație simplă.

$$(p \Phi_0 + (1-p) \Phi_1)(\rho) = p \Phi_0(\rho) + (1-p) \Phi_1(\rho)$$

Mai general, dacă avem canale $\Phi_{0},\ldots,\Phi_{m-1}$ și un vector de probabilitate $(p_0,\ldots, p_{m-1}),$ atunci putem face media acestor canale pentru a obține un canal nou.

$$\sum_{k = 0}^{m-1} p_k \Phi_k$$

Aceasta este o combinație convexă de canale, și obținem întotdeauna un canal valid prin acest proces. Un mod simplu de a spune aceasta în termeni matematici este că, pentru o alegere dată a sistemului de intrare și ieșire, mulțimea tuturor canalelor este o mulțime convexă.

Ca exemplu, am putea alege să aplicăm una dintr-o colecție de operații unitare unui anumit sistem. Obținem ceea ce se numește un canal unitar mixt, adică un canal care poate fi exprimat în următoarea formă.

$$\Phi(\rho) = \sum_{k=0}^{m-1} p_k U_k \rho U_k^{\dagger}$$

Canalele unitare mixte pentru care toate operațiile unitare sunt matrice Pauli (sau produse tensoriale de matrice Pauli) se numesc canale Pauli și sunt întâlnite frecvent în calculul cuantic.

Exemple de canale de qubit

Acum vom examina câteva exemple specifice de canale care nu sunt unitare. Pentru toate aceste exemple, sistemele de intrare și ieșire sunt ambele qubiți unici, adică acestea sunt exemple de canale de qubit.

Canalul de resetare a qubitului

Acest canal face ceva foarte simplu: resetează un qubit la starea $\vert 0\rangle.$ Ca aplicație liniară, acest canal poate fi exprimat după cum urmează pentru orice matrice de densitate de qubit $\rho.$

$$\Lambda(\rho) = \operatorname{Tr}(\rho) \vert 0\rangle\langle 0\vert$$

Deși urma oricărei matrice de densitate $\rho$ este egală cu $1,$ scrierea canalului în acest mod face clar că este o aplicație liniară care poate fi aplicată oricărei matrice $2\times 2,$ nu doar unei matrice de densitate. Așa cum am observat deja, trebuie să înțelegem cum funcționează canalele ca aplicații liniare pe intrări care nu sunt matrice de densitate pentru a descrie ce se întâmplă când sunt aplicate doar unei părți a unui sistem compus.

De exemplu, să presupunem că $\mathsf{A}$ și $\mathsf{B}$ sunt qubiți și împreună perechea $(\mathsf{A},\mathsf{B})$ se află în starea Bell $\vert \phi^+\rangle.$ Ca matrice de densitate, această stare este dată de

$$\vert \phi^+\rangle\langle \phi^+ \vert = \begin{pmatrix} \frac{1}{2} & 0 & 0 & \frac{1}{2} \\[1mm] 0 & 0 & 0 & 0 \\[1mm] 0 & 0 & 0 & 0 \\[1mm] \frac{1}{2} & 0 & 0 & \frac{1}{2} \end{pmatrix}.$$

Folosind notația Dirac, putem exprima alternativ această stare astfel.

$$\vert \phi^+\rangle\langle \phi^+ \vert = \frac{1}{2} \vert 0 \rangle \langle 0 \vert \otimes \vert 0 \rangle \langle 0 \vert + \frac{1}{2} \vert 0 \rangle \langle 1 \vert \otimes \vert 0 \rangle \langle 1 \vert + \frac{1}{2} \vert 1 \rangle \langle 0 \vert \otimes \vert 1 \rangle \langle 0 \vert + \frac{1}{2} \vert 1 \rangle \langle 1 \vert \otimes \vert 1 \rangle \langle 1 \vert$$

Aplicând canalul de resetare a qubitului lui $\mathsf{A}$ și nefăcând nimic lui $\mathsf{B},$ obținem starea următoare.

$$\begin{aligned} \frac{1}{2} \Lambda(\vert 0 \rangle \langle 0 \vert) \otimes \vert 0 \rangle \langle 0 \vert + \frac{1}{2} \Lambda(\vert 0 \rangle \langle 1 \vert) \otimes \vert 0 \rangle \langle 1 \vert + \frac{1}{2} \Lambda(\vert 1 \rangle \langle 0 \vert) \otimes \vert 1 \rangle \langle 0 \vert + \frac{1}{2} \Lambda(\vert 1 \rangle \langle 1 \vert) \otimes \vert 1 \rangle \langle 1 \vert \qquad & \\[1mm] = \frac{1}{2} \vert 0 \rangle \langle 0 \vert \otimes \vert 0 \rangle \langle 0 \vert + \frac{1}{2} \vert 0 \rangle \langle 0 \vert \otimes \vert 1 \rangle \langle 1 \vert = \vert 0\rangle \langle 0\vert \otimes \frac{\mathbb{I}}{2} & \end{aligned}$$

S-ar putea fi tentant să spui că resetarea lui $\mathsf{A}$ a avut un efect asupra lui $\mathsf{B},$ determinându-l să devină complet mixt — dar într-un anumit sens este exact opusul. Înainte de a fi resetat $\mathsf{A},$ starea redusă a lui $\mathsf{B}$ era starea complet mixtă, și aceasta nu se schimbă ca urmare a resetării lui $\mathsf{A}.$

Canalul complet de defazare

Iată un exemplu de canal de qubit numit $\Delta,$ descris prin acțiunea sa pe matrice $2\times 2$:

$$\Delta \begin{pmatrix} \alpha_{00} & \alpha_{01}\\[1mm] \alpha_{10} & \alpha_{11} \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} \alpha_{00} & 0\\[1mm] 0 & \alpha_{11} \end{pmatrix}.$$

Cu alte cuvinte, $\Delta$ anulează intrările din afara diagonalei unei matrice $2\times 2.$ Acest exemplu poate fi generalizat la sisteme arbitrare, nu doar la qubiți: indiferent de matricea de densitate introdusă, canalul anulează toate intrările din afara diagonalei și le lasă neschimbate pe cele de pe diagonală.

Acest canal se numește canalul complet de defazare, și poate fi gândit ca reprezentând o formă extremă a procesului cunoscut drept decoerență — care în esență distruge suprapozițiile cuantice și le transformă în stări probabilistice clasice.

Un alt mod de a gândi acest canal este că descrie o măsurătoare în baza standard pe un qubit, în care un qubit de intrare este măsurat și apoi eliminat, iar ieșirea este o matrice de densitate care descrie rezultatul măsurătorii. Alternativ, dar echivalent, putem imagina că rezultatul măsurătorii este eliminat, lăsând qubitul în starea sa post-măsurătoare.

Să considerăm din nou un e-bit și să vedem ce se întâmplă când $\Delta$ este aplicat doar unuia dintre cei doi qubiți. Mai precis, avem qubiții $\mathsf{A}$ și $\mathsf{B}$ pentru care $(\mathsf{A},\mathsf{B})$ se află în starea $\vert\phi^+\rangle,$ și de data aceasta să aplicăm canalul celui de-al doilea qubit. Iată starea pe care o obținem.

$$\begin{aligned} \frac{1}{2} \vert 0 \rangle \langle 0 \vert \otimes \Delta(\vert 0 \rangle \langle 0 \vert) + \frac{1}{2} \vert 0 \rangle \langle 1 \vert \otimes \Delta(\vert 0 \rangle \langle 1 \vert) + \frac{1}{2} \vert 1 \rangle \langle 0 \vert \otimes \Delta(\vert 1 \rangle \langle 0 \vert) + \frac{1}{2} \vert 1 \rangle \langle 1 \vert \otimes \Delta(\vert 1 \rangle \langle 1 \vert) \qquad & \\[1mm] = \frac{1}{2} \vert 0 \rangle \langle 0 \vert \otimes \vert 0 \rangle \langle 0 \vert + \frac{1}{2} \vert 1 \rangle \langle 1 \vert \otimes \vert 1 \rangle \langle 1 \vert & \end{aligned}$$

Alternativ, putem exprima această ecuație folosind matrice bloc.

$$\begin{pmatrix} \Delta\begin{pmatrix} \frac{1}{2} & 0\\[1mm] 0 & 0 \end{pmatrix} & \Delta\begin{pmatrix} 0 & \frac{1}{2}\\[1mm] 0 & 0 \end{pmatrix} \\[4mm] \Delta\begin{pmatrix} 0 & 0\\[1mm] \frac{1}{2} & 0 \end{pmatrix} & \Delta\begin{pmatrix} 0 & 0\\[1mm] 0 & \frac{1}{2} \end{pmatrix} \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} \frac{1}{2} & 0 & 0 & 0\\[1mm] 0 & 0 & 0 & 0\\[1mm] 0 & 0 & 0 & 0\\[1mm] 0 & 0 & 0 & \frac{1}{2} \end{pmatrix}$$

Putem considera și un canal de qubit care defazează un qubit doar parțial, spre deosebire de defazarea completă, ceea ce reprezintă o formă mai puțin extremă de decoerență decât cea reprezentată de canalul complet de defazare. Mai precis, să presupunem că $\varepsilon \in (0,1)$ este un număr real mic, dar diferit de zero. Putem defini un canal

$$\Delta_{\varepsilon} = (1 - \varepsilon) \operatorname{Id} + \varepsilon \Delta,$$

care transformă o matrice de densitate dată de qubit $\rho$ astfel:

$$\Delta_{\varepsilon}(\rho) = (1 - \varepsilon) \rho + \varepsilon \Delta(\rho).$$

Adică, nu se întâmplă nimic cu probabilitatea $1-\varepsilon,$ iar cu probabilitatea $\varepsilon,$ qubitul se defazează. În termeni de matrice, această acțiune poate fi exprimată astfel, unde intrările de pe diagonală rămân neschimbate, iar cele din afara diagonalei sunt înmulțite cu $1-\varepsilon.$

$$\rho = \begin{pmatrix} \langle 0\vert \rho \vert 0 \rangle & \langle 0\vert \rho \vert 1 \rangle \\[1mm] \langle 1\vert \rho \vert 0 \rangle & \langle 1\vert \rho \vert 1 \rangle \end{pmatrix} \mapsto \begin{pmatrix} \langle 0\vert \rho \vert 0 \rangle & (1-\varepsilon) \langle 0\vert \rho \vert 1 \rangle \\[1mm] (1-\varepsilon) \langle 1\vert \rho \vert 0 \rangle & \langle 1\vert \rho \vert 1 \rangle \end{pmatrix}$$

Canalul complet de depolarizare

Iată un alt exemplu de canal de qubit numit $\Omega.$

$$\Omega(\rho) = \operatorname{Tr}(\rho) \frac{\mathbb{I}}{2}$$

Aici $\mathbb{I}$ denotă matricea identitate $2\times 2.$ Cu alte cuvinte, pentru orice matrice de densitate de intrare $\rho,$ canalul $\Omega$ produce starea complet mixtă. Nu există nimic mai zgomotos decât atât! Acest canal se numește canalul complet de depolarizare, și, la fel ca canalul complet de defazare, poate fi generalizat la sisteme arbitrare în locul qubiților.

Putem considera și o variantă mai puțin extremă a acestui canal în care depolarizarea are loc cu probabilitatea $\varepsilon,$ similar cu ce am văzut pentru canalul de defazare.

$$\Omega_{\varepsilon}(\rho) = (1 - \varepsilon) \rho + \varepsilon \Omega(\rho).$$