Purificări

Definiția purificărilor

Să începem cu o definiție matematică precisă a purificărilor.

Definiție

Presupune că $\mathsf{X}$ este un sistem aflat într-o stare reprezentată de o matrice densitate $\rho,$ și $\vert\psi\rangle$ este un vector de stare cuantică al perechii $(\mathsf{X},\mathsf{Y})$ care lasă $\rho$ atunci când $\mathsf{Y}$ este eliminat prin urmă parțială:

$$\rho = \operatorname{Tr}_{\mathsf{Y}} \bigl( \vert \psi\rangle\langle\psi\vert\bigr).$$

Vectorul de stare $\vert\psi\rangle$ se numește atunci o purificare a lui $\rho.$

Starea pură $\vert\psi\rangle\langle\psi\vert,$ exprimată ca matrice densitate în loc de vector de stare cuantică, este de asemenea numită în mod obișnuit purificare a lui $\rho$ atunci când ecuația din definiție este adevărată, dar în general vom folosi termenul pentru a ne referi la un vector de stare cuantică.

Termenul purificare este folosit și mai general când ordinea sistemelor este inversată, când numele sistemelor și stărilor sunt diferite (bineînțeles), și când există mai mult de două sisteme. De exemplu, dacă $\vert \psi \rangle$ este un vector de stare cuantică ce reprezintă o stare pură a unui sistem compus $(\mathsf{A},\mathsf{B},\mathsf{C}),$ iar ecuația

$$\rho = \operatorname{Tr}_{\mathsf{B}} \bigl(\vert\psi\rangle\langle\psi\vert\bigr)$$

este adevărată pentru o matrice densitate $\rho$ ce reprezintă o stare a sistemului $(\mathsf{A},\mathsf{C}),$ atunci $\vert\psi\rangle$ este totuși numită o purificare a lui $\rho.$

În scopurile acestei lecții, totuși, ne vom concentra pe forma specifică descrisă în definiție. Proprietățile și faptele despre purificări, conform acestei definiții, pot fi în general generalizate la mai mult de două sisteme prin reordonarea și partiționarea sistemelor în două sisteme compuse, unul jucând rolul lui $\mathsf{X}$ și celălalt rolul lui $\mathsf{Y}.$

Existența purificărilor

Presupune că $\mathsf{X}$ și $\mathsf{Y}$ sunt oricare două sisteme și $\rho$ este o stare dată a lui $\mathsf{X}.$ Vom demonstra că există un vector de stare cuantică $\vert\psi\rangle$ al perechii $(\mathsf{X},\mathsf{Y})$ care purifică $\rho$ — ceea ce este un alt mod de a spune că $\vert\psi\rangle$ este o purificare a lui $\rho$ — cu condiția că sistemul $\mathsf{Y}$ este suficient de mare. În particular, dacă $\mathsf{Y}$ are cel puțin tot atâtea stări clasice cât $\mathsf{X},$ atunci o purificare de această formă există în mod necesar pentru orice stare $\rho.$ Sunt necesare mai puține stări clasice ale lui $\mathsf{Y}$ pentru unele stări $\rho;$ în general, $\operatorname{rank}(\rho)$ stări clasice ale lui $\mathsf{Y}$ sunt necesare și suficiente pentru existența unui vector de stare cuantică al perechii $(\mathsf{X},\mathsf{Y})$ care purifică $\rho.$

Considerăm mai întâi orice expresie a lui $\rho$ ca o combinație convexă de $n$ stări pure, pentru orice număr întreg pozitiv $n.$

$$\rho = \sum_{a = 0}^{n-1} p_a \vert\phi_a\rangle\langle\phi_a\vert$$

În această expresie, $(p_0,\ldots,p_{n-1})$ este un vector de probabilitate și $\vert\phi_0\rangle,\ldots,\vert\phi_{n-1}\rangle$ sunt vectori de stare cuantică ai lui $\mathsf{X}.$

O modalitate de a obține o astfel de expresie este prin teorema spectrală, caz în care $n$ este numărul de stări clasice ale lui $\mathsf{X},$ $p_0,\ldots,p_{n-1}$ sunt valorile proprii ale lui $\rho,$ iar $\vert\phi_0\rangle,\ldots,\vert\phi_{n-1}\rangle$ sunt vectorii proprii ortonormali corespunzători acestor valori proprii.

De fapt, nu este nevoie să includem termenii corespunzători valorilor proprii nule ale lui $\rho$ în sumă, ceea ce ne permite să alegem alternativ $n = \operatorname{rank}(\rho)$ și $p_0,\ldots,p_{n-1}$ să fie valorile proprii nenule ale lui $\rho.$ Aceasta este valoarea minimă a lui $n$ pentru care există o expresie a lui $\rho$ de forma de mai sus.

Pentru a fi clar, nu este necesar ca expresia aleasă a lui $\rho,$ ca o combinație convexă de stări pure, să provină din teorema spectrală — aceasta este doar o modalitate de a obține o astfel de expresie. În particular, $n$ poate fi orice număr întreg pozitiv, vectorii unitari $\vert\phi_0\rangle,\ldots,\vert\phi_{n-1}\rangle$ nu trebuie să fie ortogonali, iar probabilitățile $p_0,\ldots,p_{n-1}$ nu trebuie să fie valori proprii ale lui $\rho.$

Putem identifica acum o purificare a lui $\rho$ astfel.

$$\vert\psi\rangle = \sum_{a = 0}^{n-1} \sqrt{p_a} \, \vert\phi_a\rangle \otimes \vert a \rangle$$

Aici facem ipoteza că stările clasice ale lui $\mathsf{Y}$ includ $0,\ldots,n-1.$ Dacă nu, o alegere arbitrară pentru $n$ stări clasice distincte ale lui $\mathsf{Y}$ poate fi substituită pentru $0,\ldots,n-1.$ Verificarea faptului că aceasta este într-adevăr o purificare a lui $\rho$ este o simplă chestiune de calcul al urmei parțiale, care poate fi efectuat în următoarele două moduri echivalente.

$$\operatorname{Tr}_{\mathsf{Y}} \bigl(\vert\psi\rangle\langle\psi\vert\bigr) = \sum_{a = 0}^{n-1} (\mathbb{I}_{\mathsf{X}} \otimes \langle a\vert) \vert\psi\rangle\langle\psi\vert (\mathbb{I}_{\mathsf{X}} \otimes \vert a\rangle) = \sum_{a = 0}^{n-1} p_a \vert\phi_a\rangle\langle\phi_a\vert = \rho$$ $$\operatorname{Tr}_{\mathsf{Y}} \bigl(\vert\psi\rangle\langle\psi\vert\bigr) = \sum_{a,b = 0}^{n-1} \sqrt{p_a} \sqrt{p_b} \, \vert\phi_a\rangle\langle \phi_b\vert \, \operatorname{Tr}(\vert a \rangle \langle b \vert) = \sum_{a = 0}^{n-1} p_a \, \vert\phi_a\rangle\langle \phi_a\vert = \rho$$

Mai general, pentru orice mulțime ortonormală de vectori $\{\vert\gamma_0\rangle,\ldots,\vert\gamma_{n-1}\rangle\},$ vectorul de stare cuantică

$$\vert\psi\rangle = \sum_{a = 0}^{n-1} \sqrt{p_a} \, \vert\phi_a\rangle \otimes \vert \gamma_a \rangle$$

este o purificare a lui $\rho.$

Exemplu

Presupune că $\mathsf{X}$ și $\mathsf{Y}$ sunt ambii qubiți și

$$\rho = \begin{pmatrix} \frac{3}{4} & \frac{1}{4}\\[2mm] \frac{1}{4} & \frac{1}{4} \end{pmatrix}$$

este o matrice densitate ce reprezintă o stare a lui $\mathsf{X}.$

Putem folosi teorema spectrală pentru a exprima $\rho$ ca

$$\rho = \cos^2(\pi/8) \vert \psi_{\pi/8}\rangle\langle\psi_{\pi/8}\vert + \sin^2(\pi/8) \vert \psi_{5\pi/8}\rangle\langle\psi_{5\pi/8}\vert,$$

unde $\vert \psi_{\theta} \rangle = \cos(\theta) \vert 0\rangle + \sin(\theta)\vert 1\rangle.$ Vectorul de stare cuantică

$$\cos(\pi/8) \vert \psi_{\pi/8}\rangle \otimes \vert 0\rangle + \sin(\pi/8) \vert \psi_{5\pi/8}\rangle \otimes \vert 1\rangle$$

care descrie o stare pură a perechii $(\mathsf{X},\mathsf{Y}),$ este prin urmare o purificare a lui $\rho.$

Alternativ, putem scrie

$$\rho = \frac{1}{2} \vert 0\rangle\langle 0\vert + \frac{1}{2} \vert +\rangle\langle +\vert.$$

Aceasta este o combinație convexă de stări pure, dar nu o descompunere spectrală, deoarece $\vert 0\rangle$ și $\vert +\rangle$ nu sunt ortogonali și $1/2$ nu este o valoare proprie a lui $\rho.$ Cu toate acestea, vectorul de stare cuantică

$$\frac{1}{\sqrt{2}} \vert 0 \rangle \otimes \vert 0\rangle + \frac{1}{\sqrt{2}} \vert + \rangle \otimes \vert 1\rangle$$

este o purificare a lui $\rho.$

Descompuneri Schmidt

În continuare, vom discuta descompunerile Schmidt, care sunt expresii ale vectorilor de stare cuantică ai perechilor de sisteme ce iau o anumită formă. Descompunerile Schmidt sunt strâns legate de purificări și sunt foarte utile în sine. Într-adevăr, când raționăm despre un vector de stare cuantică dat $\vert\psi\rangle$ al unei perechi de sisteme, primul pas constă adesea în identificarea sau considerarea unei descompuneri Schmidt a acestei stări.

Definiție

Fie $\vert \psi\rangle$ un vector de stare cuantică dat al unei perechi de sisteme $(\mathsf{X},\mathsf{Y}).$ O descompunere Schmidt a lui $\vert\psi\rangle$ este o expresie de forma

$$\vert \psi\rangle = \sum_{a = 0}^{r-1} \sqrt{p_a}\, \vert x_a\rangle \otimes \vert y_a \rangle,$$

unde $p_0,\ldots,p_{r-1}$ sunt numere reale pozitive cu suma $1$ și ambele mulțimi $\{\vert x_0\rangle,\ldots,\vert x_{r-1}\rangle\}$ și $\{\vert y_0\rangle,\ldots,\vert y_{r-1}\rangle\}$ sunt ortonormale.

Valorile

$$\sqrt{p_0},\ldots,\sqrt{p_{r-1}}$$

dintr-o descompunere Schmidt a lui $\vert\psi\rangle$ sunt cunoscute ca coeficienții Schmidt ai acestuia, care sunt determinate în mod unic (până la ordinea lor) — sunt singurele numere reale pozitive care pot apărea într-o astfel de expresie a lui $\vert\psi\rangle.$ Mulțimile

$$\{\vert x_0\rangle,\ldots,\vert x_{r-1}\rangle\} \quad\text{and}\quad \{\vert y_0\rangle,\ldots,\vert y_{r-1}\rangle\},$$

pe de altă parte, nu sunt determinate în mod unic, iar libertatea pe care o avem în alegerea acestor mulțimi de vectori va fi clarificată în explicația care urmează.

Vom verifica acum că un vector de stare cuantică dat $\vert\psi\rangle$ are într-adevăr o descompunere Schmidt, și în acest proces vom învăța cum să găsim una.

Considerăm mai întâi o bază arbitrară (nu neapărat ortogonală) $\{\vert x_0\rangle, \ldots, \vert x_{n-1}\rangle\}$ a spațiului vectorial corespunzător sistemului $\mathsf{X}.$ Deoarece aceasta este o bază, va exista întotdeauna o selecție determinată în mod unic de vectori $\vert z_0\rangle,\ldots,\vert z_{n-1}\rangle$ pentru care următoarea ecuație este adevărată.

$$\vert \psi\rangle = \sum_{a = 0}^{n-1} \vert x_a\rangle \otimes \vert z_a \rangle \tag{1}$$

De exemplu, presupune că $\{\vert x_0\rangle,\ldots,\vert x_{n-1}\rangle\}$ este baza standard asociată cu $\mathsf{X}.$ Presupunând că mulțimea de stări clasice a lui $\mathsf{X}$ este $\{0,\ldots,n-1\},$ aceasta înseamnă că $\vert x_a\rangle = \vert a\rangle$ pentru fiecare $a\in\{0,\ldots,n-1\},$ și găsim că

$$\vert\psi\rangle = \sum_{a = 0}^{n-1} \vert a\rangle \otimes \vert z_a\rangle$$

când

$$\vert z_a \rangle = ( \langle a \vert \otimes \mathbb{I}_{\mathsf{Y}}) \vert \psi\rangle$$

pentru fiecare $a\in\{0,\ldots,n-1\}.$ Considerăm adesea expresii ca aceasta atunci când contemplăm o măsurătoare în baza standard a lui $\mathsf{X}.$

Este important de observat că formula

$$\vert z_a \rangle = ( \langle a \vert \otimes \mathbb{I}_{\mathsf{Y}}) \vert \psi\rangle$$

pentru vectorii $\vert z_0\rangle,\ldots,\vert z_{n-1}\rangle$ din acest exemplu funcționează doar pentru că $\{\vert 0\rangle,\ldots,\vert n-1\rangle\}$ este o bază ortonormală. În general, dacă $\{\vert x_0\rangle,\ldots,\vert x_{n-1}\rangle\}$ este o bază care nu este neapărat ortonormală, atunci vectorii $\vert z_0\rangle,\ldots,\vert z_{n-1}\rangle$ sunt totuși determinați în mod unic de ecuația $(1),$ dar este necesară o formulă diferită. O modalitate de a-i găsi este să identificăm mai întâi vectorii $\vert w_0\rangle,\ldots,\vert w_{n-1}\rangle$ astfel încât ecuația

$$\langle w_a \vert x_b \rangle = \begin{cases} 1 & a=b\\ 0 & a\neq b \end{cases}$$

este satisfăcută pentru toți $a,b\in\{0,\ldots,n-1\},$ moment în care avem

$$\vert z_a \rangle = (\langle w_a \vert \otimes \mathbb{I}_{\mathsf{Y}}) \vert \psi\rangle.$$

Pentru o bază dată $\{\vert x_0\rangle,\ldots,\vert x_{n-1}\rangle\}$ a spațiului vectorial corespunzător lui $\mathsf{X},$ vectorii determinați în mod unic $\vert z_0\rangle,\ldots,\vert z_{n-1}\rangle$ pentru care ecuația $(1)$ este satisfăcută nu vor satisface neapărat proprietăți speciale, chiar dacă $\{\vert x_0\rangle,\ldots,\vert x_{n-1}\rangle\}$ se întâmplă să fie o bază ortonormală. Dacă, totuși, alegem $\{\vert x_0\rangle, \ldots, \vert x_{n-1}\rangle\}$ ca o bază ortonormală de vectori proprii ai stării reduse

$$\rho = \operatorname{Tr}_{\mathsf{Y}} \bigl( \vert \psi\rangle \langle \psi \vert \bigr),$$

atunci se întâmplă ceva interesant. Mai precis, pentru colecția determinată în mod unic $\{\vert z_0\rangle,\ldots,\vert z_{n-1}\rangle\}$ pentru care ecuația $(1)$ este adevărată, găsim că această colecție trebuie să fie ortogonală.

Mai în detaliu, considerăm o descompunere spectrală a lui $\rho.$

$$\rho = \sum_{a = 0}^{n-1} p_a \vert x_a \rangle \langle x_a \vert$$

Aici notăm valorile proprii ale lui $\rho$ prin $p_0,\ldots,p_{n-1}$ recunoscând faptul că $\rho$ este o matrice densitate — astfel vectorul valorilor proprii $(p_0,\ldots,p_{n-1})$ formează un vector de probabilitate — în timp ce $\{\vert x_0\rangle,\ldots,\vert x_{n-1}\rangle\}$ este o bază ortonormală de vectori proprii corespunzătoare acestor valori proprii. Pentru a vedea că unica colecție $\{\vert z_0\rangle,\ldots,\vert z_{n-1}\rangle\}$ pentru care ecuația $(1)$ este adevărată este în mod necesar ortogonală, putem începe prin calcularea urmei parțiale.

$$\begin{aligned} \operatorname{Tr}_{\mathsf{Y}} (\vert\psi\rangle\langle\psi\vert) & = \sum_{a,b = 0}^{n-1} \vert x_a\rangle\langle x_b\vert \operatorname{Tr}(\vert z_a\rangle\langle z_b\vert)\\ & = \sum_{a,b = 0}^{n-1} \langle z_b\vert z_a\rangle \, \vert x_a\rangle\langle x_b\vert. \end{aligned}$$

Această expresie trebuie să coincidă cu descompunerea spectrală a lui $\rho.$ Deoarece $\{\vert x_0\rangle,\ldots,\vert x_{n-1}\rangle\}$ este o bază, concluzionăm că mulțimea de matrice

$$\bigl\{ \vert x_a\rangle\langle x_b\vert \,:\, a,b\in\{0,\ldots,n-1\} \bigr\}$$

este liniar independentă, și astfel urmează că

$$\langle z_b \vert z_a\rangle = \begin{cases} p_a & a=b\\[1mm] 0 & a\neq b, \end{cases}$$

stabilind că $\{\vert z_0\rangle,\ldots,\vert z_{n-1}\rangle\}$ este ortogonală.

Am obținut aproape o descompunere Schmidt a lui $\vert\psi\rangle.$ Rămâne să eliminăm termenii din $(1)$ pentru care $p_a = 0$ și apoi să scriem $\vert z_a\rangle = \sqrt{p_a}\vert y_a\rangle$ pentru un vector unitar $\vert y_a\rangle$ pentru fiecare dintre termenii rămași.

O modalitate convenabilă de a face acest lucru pornește de la observația că suntem liberi să numerotăm perechile valoare proprie/vector propriu dintr-o descompunere spectrală a stării reduse $\rho$ oricum dorim — astfel putem presupune că valorile proprii sunt sortate în ordine descrescătoare:

$$p_0 \geq p_1 \geq \cdots \geq p_{n-1}.$$

Notând $r = \operatorname{rank}(\rho),$ găsim că $p_0,\ldots,p_{r-1} > 0$ și $p_r = \cdots = p_{n-1} = 0.$ Astfel, avem

$$\rho = \sum_{a = 0}^{r-1} p_a \vert x_a \rangle \langle x_a \vert,$$

și putem scrie vectorul de stare cuantică $\vert \psi \rangle$ ca

$$\vert\psi\rangle = \sum_{a = 0}^{r-1} \vert x_a\rangle \otimes \vert z_a\rangle.$$

Dat fiind că

$$\| \vert z_a \rangle \|^2 = \langle z_a \vert z_a \rangle = p_a > 0$$

pentru $a=0,\ldots,r-1,$ putem defini vectorii unitari $\vert y_0 \rangle,\ldots,\vert y_{r-1}\rangle$ ca

$$\vert y_a\rangle = \frac{\vert z_a\rangle}{\|\vert z_a\rangle\|} = \frac{\vert z_a\rangle}{\sqrt{p_a}},$$

astfel încât $\vert z_a\rangle = \sqrt{p_a}\vert y_a\rangle$ pentru fiecare $a\in\{0,\ldots,r-1\}.$ Deoarece vectorii $\{\vert z_0\rangle, \ldots, \vert z_{r-1}\rangle\}$ sunt ortogonali și nenuli, urmează că $\{\vert y_0\rangle, \ldots, \vert y_{r-1}\rangle\}$ este o mulțime ortonormală, și astfel am obținut o descompunere Schmidt a lui $\vert\psi\rangle.$

$$\vert \psi\rangle = \sum_{a = 0}^{r-1} \sqrt{p_a}\, \vert x_a\rangle \otimes \vert y_a \rangle$$

În ceea ce privește alegerea vectorilor $\{\vert x_0\rangle,\ldots,\vert x_{r-1}\rangle\}$ și $\{\vert y_0\rangle,\ldots,\vert y_{r-1}\rangle\},$ putem selecta $\{\vert x_0\rangle,\ldots,\vert x_{r-1}\rangle\}$ ca orice mulțime ortonormală de vectori proprii corespunzători valorilor proprii nenule ale stării reduse $\operatorname{Tr}_{\mathsf{Y}}(\vert\psi\rangle\langle\psi\vert)$ (cum am făcut mai sus), caz în care vectorii $\{\vert y_0\rangle,\ldots,\vert y_{r-1}\rangle\}$ sunt determinați în mod unic.

Situația este simetrică între cele două sisteme, astfel putem alege alternativ $\{\vert y_0\rangle,\ldots,\vert y_{r-1}\rangle\}$ ca orice mulțime ortonormală de vectori proprii corespunzători valorilor proprii nenule ale stării reduse $\operatorname{Tr}_{\mathsf{X}}(\vert\psi\rangle\langle\psi\vert),$ caz în care vectorii $\{\vert x_0\rangle,\ldots,\vert x_{r-1}\rangle\}$ vor fi determinați în mod unic.

Observă, totuși, că odată ce una dintre mulțimi este selectată, ca o mulțime de vectori proprii ai stării reduse corespunzătoare, cealaltă este determinată — astfel ele nu pot fi alese independent.

Deși nu va mai apărea în această serie, este notabil că valorile proprii nenule $p_0,\ldots,p_{r-1}$ ale stării reduse $\operatorname{Tr}_{\mathsf{X}}(\vert\psi\rangle\langle\psi\vert)$ trebuie să coincidă întotdeauna cu valorile proprii nenule ale stării reduse $\operatorname{Tr}_{\mathsf{Y}}(\vert\psi\rangle\langle\psi\vert)$ pentru orice stare pură $\vert\psi\rangle$ a unei perechi de sisteme $(\mathsf{X},\mathsf{Y}).$

Intuitiv vorbind, stările reduse ale lui $\mathsf{X}$ și $\mathsf{Y}$ au exact aceeași cantitate de aleatorizare atunci când perechea $(\mathsf{X},\mathsf{Y})$ se află într-o stare pură. Acest fapt este relevat de descompunerea Schmidt: în ambele cazuri, valorile proprii ale stărilor reduse trebuie să coincidă cu pătratele coeficienților Schmidt ai stării pure.

Echivalența unitară a purificărilor

Putem folosi descompunerile Schmidt pentru a stabili un fapt fundamental important privind purificările, cunoscut ca echivalența unitară a purificărilor.

Teoremă

Echivalența unitară a purificărilor: Presupune că $\mathsf{X}$ și $\mathsf{Y}$ sunt sisteme, și $\vert\psi\rangle$ și $\vert\phi\rangle$ sunt vectori de stare cuantică ai perechii $(\mathsf{X},\mathsf{Y})$ care purifică ambii aceeași stare a lui $\mathsf{X}.$ În simboluri,

$$\operatorname{Tr}_{\mathsf{Y}} (\vert\psi\rangle\langle\psi\vert) = \rho = \operatorname{Tr}_{\mathsf{Y}} (\vert\phi\rangle\langle\phi\vert)$$

pentru o matrice densitate $\rho$ ce reprezintă o stare a lui $\mathsf{X}.$ Trebuie să existe atunci o operație unitară $U$ pe $\mathsf{Y}$ singur care transformă prima purificare în a doua:

$$(\mathbb{I}_{\mathsf{X}} \otimes U) \vert\psi\rangle = \vert\phi\rangle.$$

Vom discuta câteva implicații ale acestei teoreme pe parcursul lecției, dar mai întâi să vedem cum derivă din discuția noastră anterioară despre descompunerile Schmidt.

Ipoteza noastră este că $\vert\psi\rangle$ și $\vert\phi\rangle$ sunt vectori de stare cuantică ai unei perechi de sisteme $(\mathsf{X},\mathsf{Y})$ care satisfac ecuația

$$\operatorname{Tr}_{\mathsf{Y}} (\vert\psi\rangle\langle\psi\vert) = \rho = \operatorname{Tr}_{\mathsf{Y}} (\vert\phi\rangle\langle\phi\vert)$$

pentru o matrice densitate $\rho$ ce reprezintă o stare a lui $\mathsf{X}.$

Considerăm o descompunere spectrală a lui $\rho.$

$$\rho = \sum_{a = 0}^{n-1} p_a \vert x_a\rangle\langle x_a\vert$$

Aici $\{\vert x_0\rangle,\ldots,\vert x_{n-1}\rangle\}$ este o bază ortonormală de vectori proprii ai lui $\rho.$ Urmând prescripția descrisă anterior, putem obține descompuneri Schmidt atât pentru $\vert\psi\rangle$ cât și pentru $\vert\phi\rangle$ de forma următoare.

$$\begin{aligned} \vert\psi\rangle & = \sum_{a = 0}^{r-1} \sqrt{p_a} \, \vert x_a\rangle \otimes \vert u_a\rangle\\[1mm] \vert\phi\rangle & = \sum_{a = 0}^{r-1} \sqrt{p_a} \, \vert x_a\rangle \otimes \vert v_a\rangle \end{aligned}$$

În aceste expresii $r$ este rangul lui $\rho$ și $\{\vert u_0\rangle,\ldots,\vert u_{r-1}\rangle\}$ și $\{\vert v_0\rangle,\ldots,\vert v_{r-1}\rangle\}$ sunt mulțimi ortonormale de vectori în spațiul corespunzător lui $\mathsf{Y}.$

Pentru orice două mulțimi ortonormale din același spațiu care au același număr de elemente, există întotdeauna o matrice unitară care transformă prima mulțime în a doua, astfel putem alege o matrice unitară $U$ astfel încât $U \vert u_a\rangle = \vert v_a\rangle$ pentru $a = 0,\ldots,r-1.$ În particular, pentru a găsi o astfel de matrice $U,$ putem folosi mai întâi procesul de ortogonalizare Gram-Schmidt pentru a extinde mulțimile noastre ortonormale la baze ortonormale $\{\vert u_0\rangle,\ldots,\vert u_{m-1}\rangle\}$ și $\{\vert v_0\rangle,\ldots,\vert v_{m-1}\rangle\},$ unde $m$ este dimensiunea spațiului corespunzător lui $\mathsf{Y},$ și apoi să luăm

$$U = \sum_{a = 0}^{m-1} \vert v_a\rangle\langle u_a\vert.$$

Găsim acum că

$$\begin{aligned} (\mathbb{I}_{\mathsf{X}} \otimes U) \vert\psi\rangle & = \sum_{a = 0}^{r-1} \sqrt{p_a} \, \vert x_a\rangle \otimes U \vert u_a\rangle\\ & = \sum_{a = 0}^{r-1} \sqrt{p_a} \, \vert x_a\rangle \otimes \vert v_a\rangle\\ & = \vert\phi\rangle, \end{aligned}$$

ceea ce completează demonstrația.

Iată câteva dintre multele exemple și implicații interesante legate de echivalența unitară a purificărilor. Vom vedea mai târziu în lecție o altă implicație extrem de importantă, în contextul fidelității, cunoscută ca teorema lui Uhlmann.

Codificarea supradensă

În protocolul de codificare supradensă, Alice și Bob împart un e-bit, ceea ce înseamnă că Alice deține un Qubit $\mathsf{A},$ Bob deține un Qubit $\mathsf{B},$ iar perechea $(\mathsf{A},\mathsf{B})$ se află împreună în starea Bell $\vert\phi^{+}\rangle.$ Protocolul descrie cum Alice poate transforma această stare împărțită în oricare dintre cele patru stări Bell, $\vert\phi^+\rangle,$ $\vert\phi^-\rangle,$ $\vert\psi^+\rangle,$ și $\vert\psi^-\rangle,$ prin aplicarea unei operații unitare pe Qubit-ul său $\mathsf{A}.$ Odată ce a făcut acest lucru, ea trimite $\mathsf{A}$ lui Bob, iar Bob efectuează o măsurătoare pe perechea $(\mathsf{A},\mathsf{B})$ pentru a vedea ce stare Bell deține.

Pentru toate cele patru stări Bell, starea redusă a Qubit-ului lui Bob $\mathsf{B}$ este starea complet amestecată.

$$\operatorname{Tr}_{\mathsf{A}}(\vert\phi^+\rangle\langle\phi^+\vert) = \operatorname{Tr}_{\mathsf{A}}(\vert\phi^-\rangle\langle\phi^-\vert) = \operatorname{Tr}_{\mathsf{A}}(\vert\psi^+\rangle\langle\psi^+\vert) = \operatorname{Tr}_{\mathsf{A}}(\vert\psi^-\rangle\langle\psi^-\vert) = \frac{\mathbb{I}}{2}$$

Prin echivalența unitară a purificărilor, concluzionăm imediat că pentru fiecare stare Bell trebuie să existe o operație unitară pe Qubit-ul lui Alice $\mathsf{A}$ singur care transformă $\vert\phi^+\rangle$ în starea Bell aleasă. Deși aceasta nu dezvăluie detaliile precise ale protocolului, echivalența unitară a purificărilor implică imediat că codificarea supradensă este posibilă.

Putem concluziona de asemenea că generalizările codificării supradense la sisteme mai mari sunt întotdeauna posibile, cu condiția să înlocuim stările Bell cu orice bază ortonormală de purificări ale stării complet amestecate.

Implicații criptografice

Echivalența unitară a purificărilor are implicații privind implementarea primitivelor criptografice folosind informații cuantice. De exemplu, echivalența unitară a purificărilor relevă că este imposibil să implementăm o formă ideală de angajament de bit folosind informații cuantice.

Primitiva de angajament de bit implică doi participanți, Alice și Bob (care nu au încredere unul în celălalt), și are două faze.

• Prima fază este faza de angajament, prin care Alice se angajează la o valoare binară $b\in\{0,1\}.$ Acest angajament trebuie să fie obligatoriu, ceea ce înseamnă că Alice nu-și poate schimba decizia, și ascuns, ceea ce înseamnă că Bob nu poate afla la ce valoare s-a angajat Alice.
• A doua fază este faza de dezvăluire, în care valoarea la care s-a angajat Alice devine cunoscută lui Bob, care ar trebui atunci să fie convins că aceea a fost cu adevărat valoarea angajată care a fost dezvăluită.

În termeni intuitivi și operaționali, prima fază a angajamentului de bit ar trebui să funcționeze ca și cum Alice ar scrie o valoare binară pe o bucată de hârtie, ar încuia hârtia într-un seif și i-ar da seiful lui Bob, păstrând cheia pentru ea. Alice s-a angajat la valoarea binară scrisă pe hârtie deoarece seiful se află în posesia lui Bob (deci este obligatoriu), dar pentru că Bob nu poate deschide seiful, el nu poate afla la ce valoare s-a angajat Alice (deci este ascuns). A doua fază ar trebui să funcționeze ca și cum Alice i-ar da lui Bob cheia seifului, astfel încât el să poată deschide seiful pentru a dezvălui valoarea la care s-a angajat Alice.

Se dovedește că este imposibil să implementăm un protocol perfect de angajament de bit prin mijloace de informații cuantice, deoarece aceasta contrazice echivalența unitară a purificărilor. Iată un rezumat de nivel înalt al unui argument care stabilește acest lucru.

Pentru a începe, putem presupune că Alice și Bob efectuează doar operații unitare sau introduc noi sisteme inițializate pe măsură ce protocolul este executat. Faptul că orice canal are o reprezentare Stinespring ne permite să facem această ipoteză.

La sfârșitul fazei de angajament a protocolului, Bob deține în posesia sa un sistem compus care trebuie să se afle într-una din două stări cuantice: $\rho_0$ dacă Alice s-a angajat la valoarea $0$ și $\rho_1$ dacă Alice s-a angajat la valoarea $1.$ Pentru ca protocolul să fie perfect ascuns, Bob nu ar trebui să poată face diferența între aceste două stări — deci trebuie să fie că $\rho_0 = \rho_1.$ (Altfel ar exista o măsurătoare care discriminează aceste stări probabilistic.)

Totuși, deoarece Alice și Bob au folosit doar operații unitare, starea tuturor sistemelor implicate în protocol împreună după faza de angajament trebuie să se afle într-o stare pură. În particular, presupune că $\vert\psi_0\rangle$ este starea pură a tuturor sistemelor implicate în protocol când Alice se angajează la $0,$ și $\vert\psi_1\rangle$ este starea pură a tuturor sistemelor implicate în protocol când Alice se angajează la $1.$ Dacă notăm $\mathsf{A}$ și $\mathsf{B}$ sistemele (posibil compuse) ale lui Alice și ale lui Bob, atunci

$$\begin{aligned} \rho_0 & = \operatorname{Tr}_{\mathsf{A}}(\vert\psi_0\rangle\langle\psi_0\vert)\\[1mm] \rho_1 & = \operatorname{Tr}_{\mathsf{A}}(\vert\psi_1\rangle\langle\psi_1\vert). \end{aligned}$$

Dat fiind cerința că $\rho_0 = \rho_1$ pentru un protocol perfect ascuns, găsim că $\vert\psi_0\rangle$ și $\vert\psi_1\rangle$ sunt purificări ale aceleiași stări — și astfel, prin echivalența unitară a purificărilor, trebuie să existe o operație unitară $U$ pe $\mathsf{A}$ singur astfel încât

$$(U\otimes\mathbb{I}_{\mathsf{B}})\vert\psi_0\rangle = \vert\psi_1\rangle.$$

Alice este prin urmare liberă să-și schimbe angajamentul de la $0$ la $1$ aplicând $U$ pe $\mathsf{A},$ sau de la $1$ la $0$ aplicând $U^{\dagger},$ și astfel protocolul ipotetic considerat eșuează complet să fie obligatoriu.

Teorema Hughston-Jozsa-Wootters

Ultima implicație a echivalenței unitare a purificărilor pe care o vom discuta în această parte a lecției este următoarea teoremă cunoscută ca teorema Hughston-Jozsa-Wootters. (Aceasta este, de fapt, o versiune ușor simplificată a teoremei cunoscute sub acest nume.)

Teoremă

Hughston-Jozsa-Wootters: Fie $\mathsf{X}$ și $\mathsf{Y}$ sisteme și fie $\vert\phi\rangle$ un vector de stare cuantică al perechii $(\mathsf{X},\mathsf{Y}).$ De asemenea, fie $N$ un număr întreg pozitiv arbitrar, fie $(p_0,\ldots,p_{N-1})$ un vector de probabilitate, și fie $\vert\psi_0\rangle,\ldots,\vert\psi_{N-1}\rangle$ vectori de stare cuantică ce reprezintă stări ale lui $\mathsf{X}$ astfel încât

$$\operatorname{Tr}_{\mathsf{Y}}\bigl(\vert\phi\rangle\langle\phi\vert\bigr) = \sum_{a = 0}^{N-1} p_a \vert\psi_a\rangle\langle\psi_a\vert.$$

Există o măsurătoare (generală) $\{P_0,\ldots,P_{N-1}\}$ pe $\mathsf{Y}$ astfel încât următoarele două afirmații sunt adevărate când această măsurătoare este efectuată pe $\mathsf{Y}$ când $(\mathsf{X},\mathsf{Y})$ se află în starea $\vert\phi\rangle:$

1. Fiecare rezultat al măsurătorii $a\in\{0,\ldots,N-1\}$ apare cu probabilitatea $p_a$.
2. Condiționat de obținerea rezultatului $a$ al măsurătorii, starea lui $\mathsf{X}$ devine $\vert\psi_a\rangle.$

Intuitiv vorbind, această teoremă spune că atâta timp cât avem o stare pură a două sisteme, atunci pentru orice mod de a privi starea redusă a primului sistem ca o combinație convexă de stări pure, există o măsurătoare a celui de-al doilea sistem care face ca acest mod de a privi primul sistem să devină o realitate. Observă că numărul $N$ nu este neapărat mărginit de numărul de stări clasice ale lui $\mathsf{X}$ sau $\mathsf{Y}.$ De exemplu, ar putea fi că $N = 1.000.000$ în timp ce $\mathsf{X}$ și $\mathsf{Y}$ sunt qubiți.

Vom demonstra această teoremă folosind echivalența unitară a purificărilor, începând cu introducerea unui nou sistem $\mathsf{Z}$ a cărui mulțime de stări clasice este $\{0,\ldots,N-1\}.$ Considerăm următorii doi vectori de stare cuantică ai triplei $(\mathsf{X},\mathsf{Y},\mathsf{Z}).$

$$\begin{aligned} \vert\gamma_0\rangle & = \vert\phi\rangle_{\mathsf{XY}}\otimes\vert 0\rangle_{\mathsf{Z}}\\[1mm] \vert\gamma_1\rangle & = \sum_{a = 0}^{N-1} \sqrt{p_a}\, \vert\psi_a\rangle_{\mathsf{X}} \otimes \vert 0\rangle_{\mathsf{Y}} \otimes \vert a\rangle_{\mathsf{Z}} \end{aligned}$$

Primul vector $\vert\gamma_0\rangle$ este pur și simplu vectorul de stare cuantică dat $\vert\phi\rangle$ tensorizat cu $\vert 0\rangle$ pentru noul sistem $\mathsf{Z}.$ Pentru al doilea vector $\vert\gamma_1\rangle,$ avem în esență un vector de stare cuantică care ar face teorema trivială — cel puțin dacă $\mathsf{Y}$ ar fi înlocuit cu $\mathsf{Z}$ — deoarece o măsurătoare în baza standard efectuată pe $\mathsf{Z}$ dă în mod evident fiecare rezultat $a$ cu probabilitatea $p_a,$ și condiționat de obținerea acestui rezultat starea lui $\mathsf{X}$ devine $\vert\psi_a\rangle.$

Gândindu-ne la perechea $(\mathsf{Y},\mathsf{Z})$ ca la un singur sistem compus care poate fi eliminat prin urmă parțială pentru a lăsa $\mathsf{X},$ găsim că am identificat două purificări diferite ale stării

$$\rho = \sum_{a = 0}^{N-1} p_a \vert\psi_a\rangle\langle\psi_a\vert.$$

Mai precis, pentru prima avem

$$\operatorname{Tr}_{\mathsf{YZ}} (\vert\gamma_0\rangle\langle\gamma_0\vert) = \operatorname{Tr}_{\mathsf{Y}} (\vert\phi\rangle\langle\phi\vert) = \rho$$

și pentru a doua avem

$$\begin{aligned} \operatorname{Tr}_{\mathsf{YZ}} (\vert\gamma_1\rangle\langle\gamma_1\vert) & = \sum_{a,b = 0}^{N-1} \sqrt{p_a}\sqrt{p_b} \, \vert\psi_a\rangle\langle\psi_a\vert \operatorname{Tr}(\vert 0\rangle\langle 0\vert \otimes \vert a\rangle\langle b\vert)\\ & = \sum_{a = 0}^{N-1} p_a \, \vert\psi_a\rangle\langle\psi_a\vert\\ & = \rho. \end{aligned}$$

Trebuie să existe prin urmare o operație unitară $U$ pe $(\mathsf{Y},\mathsf{Z})$ care satisface

$$(\mathbb{I}_{\mathsf{X}} \otimes U) \vert \gamma_0 \rangle = \vert\gamma_1\rangle$$

prin echivalența unitară a purificărilor.

Folosind această operație unitară $U,$ putem implementa o măsurătoare care satisface cerințele teoremei, după cum ilustrează diagrama următoare. Cu alte cuvinte, introducem noul sistem $\mathsf{Z}$ inițializat în starea $\vert 0\rangle,$ aplicăm $U$ pe $(\mathsf{Y},\mathsf{Z}),$ care transformă starea lui $(\mathsf{X},\mathsf{Y},\mathsf{Z})$ din $\vert\gamma_0\rangle$ în $\vert\gamma_1\rangle,$ și apoi măsurăm $\mathsf{Z}$ cu o măsurătoare în baza standard, despre care am observat deja că dă comportamentul dorit.

Dreptunghiul punctat din figură reprezintă o implementare a acestei măsurători, care poate fi descrisă ca o colecție de matrice pozitiv semidefinite $\{P_0,\ldots,P_{N-1}\}$ astfel.

$$P_a = (\mathbb{I}_{\mathsf{Y}} \otimes \langle 0\vert) U^{\dagger} (\mathbb{I}_{\mathsf{Y}} \otimes \vert a\rangle\langle a \vert)U (\mathbb{I}_{\mathsf{Y}} \otimes \vert 0\rangle)$$