Fidelitate

În această parte a lecției, vom discuta despre fidelitate dintre stările cuantice, care este o măsură a similarității lor — sau cât de mult se „suprapun".

Date două vectori de stare cuantică, fidelitatea dintre stările pure asociate acestor vectori de stare cuantică este egală cu valoarea absolută a produsului intern dintre vectorii de stare cuantică. Aceasta oferă o modalitate de bază de a măsura similaritatea lor: rezultatul este o valoare între $0$ și $1,$ valorile mai mari indicând o similaritate mai mare. În particular, valoarea este zero pentru stări ortogonale (prin definiție), în timp ce valoarea este $1$ pentru stări echivalente până la o fază globală.

Intuitiv vorbind, fidelitatea poate fi văzută ca o extensie a acestei măsuri de bază a similarității, de la vectori de stare cuantică la matrice de densitate.

Definiția fidelității

Este potrivit să începem cu o definiție a fidelității. La prima vedere, definiția care urmează ar putea părea neobișnuită sau misterioasă, și poate nu ușor de utilizat. Funcția pe care o definește, însă, are multe proprietăți interesante și multiple formulări alternative, ceea ce o face mult mai ușor de utilizat decât ar părea inițial.

Definiție

Fie $\rho$ și $\sigma$ matrice de densitate reprezentând stări cuantice ale aceluiași sistem. Fidelitatea dintre $\rho$ și $\sigma$ este definită ca

$$\operatorname{F}(\rho,\sigma) = \operatorname{Tr}\sqrt{\sqrt{\rho} \sigma \sqrt{\rho}}.$$

Observație

Deși aceasta este o definiție comună, este de asemenea frecvent ca fidelitatea să fie definită ca pătratul cantității definite aici, care este numită atunci fidelitate-rădăcină. Nicio definiție nu este corectă sau greșită — este în esență o chestiune de preferință. Cu toate acestea, trebuie să fii mereu atent să înțelegi sau să clarifici care definiție este utilizată.

Pentru a înțelege formula din definiție, observă mai întâi că $\sqrt{\rho} \sigma \sqrt{\rho}$ este o matrice pozitiv semidefinită:

$$\sqrt{\rho} \sigma \sqrt{\rho} = M^{\dagger} M$$

pentru $M = \sqrt{\sigma}\sqrt{\rho}.$ Ca orice matrice pozitiv semidefinită, această matrice pozitiv semidefinită are o unică rădăcină pătrată pozitiv semidefinită, a cărei urmă este fidelitatea.

Pentru orice matrice pătratică $M,$ valorile proprii ale celor două matrice pozitiv semidefinite $M^{\dagger} M$ și $M M^{\dagger}$ sunt întotdeauna aceleași, și prin urmare același lucru este valabil și pentru rădăcinile pătrate ale acestor matrice. Alegând $M = \sqrt{\sigma}\sqrt{\rho}$ și folosind faptul că urma unei matrice pătratice este suma valorilor sale proprii, găsim că

$$\begin{aligned} \operatorname{F}(\rho,\sigma) & = \operatorname{Tr}\sqrt{\sqrt{\rho} \sigma \sqrt{\rho}}\\ & = \operatorname{Tr}\sqrt{M^{\dagger} M} = \operatorname{Tr}\sqrt{M M^{\dagger}}\\ & = \operatorname{Tr}\sqrt{\sqrt{\sigma} \rho \sqrt{\sigma}}\\ & = \operatorname{F}(\sigma,\rho). \end{aligned}$$

Deci, deși nu este imediat din definiție, fidelitatea este simetrică în cei doi argumenți ai săi.

Fidelitatea în termeni de normă de urmă

O modalitate echivalentă de a exprima fidelitatea este prin această formulă:

$$\operatorname{F}(\rho,\sigma) = \bigl\|\sqrt{\sigma}\sqrt{\rho}\bigr\|_1.$$

Aici vedem norma de urmă, pe care am întâlnit-o în lecția anterioară în contextul discriminării stărilor. Norma de urmă a unei matrice $M$ (nu neapărat pătratică) poate fi definită ca

$$\| M \|_1 = \operatorname{Tr}\sqrt{M^{\dagger} M},$$

și aplicând această definiție matricei $\sqrt{\sigma}\sqrt{\rho}$ obținem formula din definiție.

O modalitate alternativă de a exprima norma de urmă a unei matrice (pătratice) $M$ este prin această formulă.

$$\| M \|_1 = \max_{U\:\text{unitary}} \bigl\vert \operatorname{Tr}(M U) \bigr\vert.$$

Maximul este luat peste toate matricele unitare $U$ cu același număr de linii și coloane ca $M.$ Aplicând această formulă în situația de față dezvăluie o altă expresie a fidelității.

$$\operatorname{F}(\rho,\sigma) = \max_{U\:\text{unitary}} \bigl\vert\operatorname{Tr}\bigl( \sqrt{\sigma}\sqrt{\rho}\, U\bigr) \bigr\vert$$

Fidelitatea pentru stări pure

Un ultim punct despre definiția fidelității este că orice stare pură este (ca matrice de densitate) egală cu propria sa rădăcină pătrată, ceea ce permite simplificarea considerabilă a formulei pentru fidelitate atunci când una sau ambele stări sunt pure. În particular, dacă una dintre cele două stări este pură avem următoarea formulă.

$$\operatorname{F}\bigl( \vert\phi\rangle\langle\phi\vert, \sigma \bigr) = \sqrt{\langle \phi\vert \sigma \vert \phi \rangle}$$

Dacă ambele stări sunt pure, formula se simplifică la valoarea absolută a produsului intern al vectorilor de stare cuantică corespunzători, după cum s-a menționat la începutul secțiunii.

$$\operatorname{F}\bigl( \vert\phi\rangle\langle\phi\vert, \vert\psi\rangle\langle\psi\vert \bigr) = \bigl\vert \langle \phi\vert \psi \rangle \bigr\vert$$

Proprietăți de bază ale fidelității

Fidelitatea are multe proprietăți remarcabile și mai multe formulări alternative. Iată câteva proprietăți de bază enumerate fără demonstrații.

1. Pentru orice două matrice de densitate $\rho$ și $\sigma$ de aceeași dimensiune, fidelitatea $\operatorname{F}(\rho,\sigma)$ se află între zero și unu: $0\leq \operatorname{F}(\rho,\sigma) \leq 1.$ $\operatorname{F}(\rho,\sigma)=0$ dacă și numai dacă $\rho$ și $\sigma$ au imagini ortogonale (deci pot fi discriminate fără eroare), și $\operatorname{F}(\rho,\sigma)=1$ dacă și numai dacă $\rho = \sigma.$
2. Fidelitatea este multiplicativă, ceea ce înseamnă că fidelitatea dintre două stări produs este egală cu produsul fidelităților individuale: $$\operatorname{F}(\rho_1\otimes\cdots\otimes\rho_m,\sigma_1\otimes\cdots\otimes\sigma_m) = \operatorname{F}(\rho_1,\sigma_1)\cdots \operatorname{F}(\rho_m,\sigma_m).$$
3. Fidelitatea dintre stări este nedescrescătoare sub acțiunea oricărui canal. Adică, dacă $\rho$ și $\sigma$ sunt matrice de densitate și $\Phi$ este un canal care poate lua aceste două stări ca intrare, atunci este în mod necesar adevărat că $$\operatorname{F}(\rho,\sigma) \leq \operatorname{F}(\Phi(\rho),\Phi(\sigma)).$$
4. Inegalitățile Fuchs-van de Graaf stabilesc o relație strânsă (deși nu exactă) între fidelitate și distanța de urmă: pentru orice două stări $\rho$ și $\sigma$ avem $$1 - \frac{1}{2}\|\rho - \sigma\|_1 \leq \operatorname{F}(\rho,\sigma) \leq \sqrt{1 - \frac{1}{4}\|\rho - \sigma\|_1^2}.$$

Ultima proprietate poate fi exprimată sub forma unei figuri:

Mai precis, pentru orice alegere de stări $\rho$ și $\sigma$ ale aceluiași sistem, linia orizontală care traversează axa $y$ la $\operatorname{F}(\rho,\sigma)$ și linia verticală care traversează axa $x$ la $\frac{1}{2}\|\rho-\sigma\|_1$ trebuie să se intersecteze în regiunea gri mărginită jos de linia $y = 1-x$ și sus de cercul unitar. Cea mai interesantă regiune a acestei figuri din punct de vedere practic este colțul din stânga sus al regiunii gri: dacă fidelitatea dintre două stări este aproape de unu, atunci distanța lor de urmă este aproape de zero, și viceversa.

Lema măsurătorii blânde

Vom examina acum un fapt simplu, dar important, cunoscut ca lema măsurătorii blânde, care leagă fidelitatea de măsurătorile nedistructive. Este o lemă foarte utilă care apare din când în când, și este de remarcat pentru că definiția aparent greoaie a fidelității face de fapt lema foarte ușor de demonstrat.

Configurarea este următoarea. Fie $\mathsf{X}$ un sistem aflat în starea $\rho$ și fie $\{P_0,\ldots,P_{m-1}\}$ o colecție de matrice pozitiv semidefinite reprezentând o măsurătoare generală a lui $\mathsf{X}.$ Presupune mai departe că dacă această măsurătoare este efectuată pe sistemul $\mathsf{X}$ în timp ce se află în starea $\rho,$ unul dintre rezultate este foarte probabil. Ca să fim concreți, să presupunem că rezultatul probabil al măsurătorii este $0,$ și în particular să presupunem că

$$\operatorname{Tr}(P_0 \rho) > 1 - \varepsilon$$

pentru un număr real pozitiv mic $\varepsilon > 0.$

Ceea ce afirmă lema măsurătorii blânde este că, în aceste condiții, măsurătoarea nedistructivă obținută din $\{P_0,\ldots,P_{m-1}\}$ prin teorema lui Naimark produce doar o perturbare mică a lui $\rho$ în cazul în care este observat rezultatul probabil $0.$

Mai precis, lema afirmă că fidelitatea la pătrat dintre $\rho$ și starea obținută din măsurătoarea nedistructivă, condiționată de obținerea rezultatului $0,$ este mai mare decât $1-\varepsilon.$

$$\operatorname{F}\Biggl(\rho,\frac{\sqrt{P_0}\rho\sqrt{P_0}}{\operatorname{Tr}(P_0\rho)}\Biggr)^2 > 1-\varepsilon.$$

Vom avea nevoie de un fapt de bază despre măsurători pentru a demonstra asta. Matricele de măsurătoare $P_0, \ldots, P_{m-1}$ sunt pozitiv semidefinite și sumează la identitate, ceea ce ne permite să concluzionăm că toate valorile proprii ale lui $P_0$ sunt numere reale între $0$ și $1.$ Aceasta urmează din faptul că, pentru orice vector unitar $\vert\psi\rangle,$ valoarea $\langle \psi \vert P_a \vert \psi \rangle$ este un număr real nenenegativ pentru fiecare $a\in\{0,\ldots,m-1\}$ (deoarece fiecare $P_a$ este pozitiv semidefinit), împreună cu faptul că aceste numere sumează la unu.

$$\sum_{a = 0}^{m-1} \langle \psi \vert P_a \vert \psi \rangle = \langle \psi \vert \Biggl(\sum_{a = 0}^{m-1} P_a \Biggr) \vert \psi \rangle = \langle \psi \vert \mathbb{I} \vert \psi \rangle = 1.$$

Prin urmare $\langle \psi \vert P_0 \vert \psi \rangle$ este întotdeauna un număr real între $0$ și $1,$ și asta implică faptul că fiecare valoare proprie a lui $P_0$ este un număr real între $0$ și $1,$ deoarece putem alege $\vert\psi\rangle$ să fie un vector propriu unitar corespunzând oricărei valori proprii de interes.

Din această observație putem concluziona următoarea inegalitate pentru orice matrice de densitate $\rho.$

$$\operatorname{Tr}\bigl( \sqrt{P_0} \rho\bigr) \geq \operatorname{Tr}\bigl( P_0 \rho\bigr)$$

Mai în detaliu, pornind de la o descompunere spectrală

$$P_0 = \sum_{k=0}^{n-1} \lambda_k \vert\psi_k\rangle\langle\psi_k\vert$$

concluzionăm că

$$\operatorname{Tr}\bigl( \sqrt{P_0} \rho\bigr) = \sum_{k = 0}^{n-1} \sqrt{\lambda_k} \langle \psi_k \vert \rho \vert \psi_k \rangle \geq \sum_{k = 0}^{n-1} \lambda_k \langle \psi_k \vert \rho \vert \psi_k \rangle = \operatorname{Tr}\bigl( P_0 \rho\bigr)$$

din faptul că $\langle \psi_k \vert \rho \vert \psi_k \rangle$ este un număr real nenenegativ și $\sqrt{\lambda_k} \geq \lambda_k$ pentru fiecare $k = 0,\ldots,n-1.$ (Ridicând la pătrat numerele dintre $0$ și $1$ nu le poate face niciodată mai mari.)

Acum putem demonstra lema măsurătorii blânde evaluând fidelitatea și folosind apoi inegalitatea noastră. Mai întâi, să simplificăm expresia care ne interesează.

$$\begin{aligned} \operatorname{F}\Biggl(\rho,\frac{\sqrt{P_0}\rho\sqrt{P_0}}{\operatorname{Tr}(P_0\rho)}\Biggr) & = \operatorname{Tr}\sqrt{\frac{\sqrt{\rho}\sqrt{P_0}\rho\sqrt{P_0}\sqrt{\rho}}{ \operatorname{Tr}(P_0\rho)}}\\ & = \operatorname{Tr}\sqrt{\Biggl(\frac{\sqrt{\rho}\sqrt{P_0}\sqrt{\rho}}{ \sqrt{\operatorname{Tr}(P_0\rho)}}\Biggr)^2}\\ & = \operatorname{Tr}\Biggl(\frac{\sqrt{\rho}\sqrt{P_0}\sqrt{\rho}}{ \sqrt{\operatorname{Tr}(P_0\rho)}}\Biggr)\\ & = \frac{\operatorname{Tr}\bigl(\sqrt{P_0}\rho\bigr)}{\sqrt{\operatorname{Tr}(P_0\rho)}} \end{aligned}$$

Observă că acestea sunt toate egalități — nu am folosit inegalitatea noastră (sau orice altă inegalitate) în acest punct, deci avem o expresie exactă pentru fidelitate. Putem folosi acum inegalitatea noastră pentru a concluziona

$$\operatorname{F}\Biggl(\rho,\frac{\sqrt{P_0}\rho\sqrt{P_0}}{\operatorname{Tr}(P_0\rho)}\Biggr) = \frac{\operatorname{Tr}\bigl(\sqrt{P_0}\rho\bigr)}{\sqrt{\operatorname{Tr}(P_0\rho)}} \geq \frac{\operatorname{Tr}\bigl(P_0\rho\bigr)}{\sqrt{\operatorname{Tr}(P_0\rho)}} = \sqrt{\operatorname{Tr}\bigl(P_0\rho\bigr)}$$

și prin urmare, ridicând la pătrat ambele membre,

$$\operatorname{F}\Biggl(\rho,\frac{\sqrt{P_0}\rho\sqrt{P_0}}{\operatorname{Tr}(P_0\rho)}\Biggr)^2 \geq \operatorname{Tr}\bigl(P_0\rho\bigr) > 1-\varepsilon.$$

Teorema lui Uhlmann

Pentru a încheia lecția, vom arunca o privire asupra teoremei lui Uhlmann, care este un fapt fundamental despre fidelitate ce o leagă de noțiunea de purificare. Ceea ce spune teorema, în termeni simpli, este că fidelitatea dintre oricare două stări cuantice este egală cu maximul produsului intern (în valoare absolută) dintre două purificări ale acelor stări.

Teoremă

Teorema lui Uhlmann: Fie $\rho$ și $\sigma$ matrice de densitate reprezentând stări ale unui sistem $\mathsf{X},$ și fie $\mathsf{Y}$ un sistem cu cel puțin tot atâtea stări clasice câte are $\mathsf{X}.$ Fidelitatea dintre $\rho$ și $\sigma$ este dată de

$$\operatorname{F}(\rho,\sigma) = \max\bigl\{ \vert \langle \phi \vert \psi \rangle \vert \,:\, \operatorname{Tr}_{\mathsf{Y}}\bigl(\vert\phi\rangle\langle\phi\vert\bigr) = \rho,\; \operatorname{Tr}_{\mathsf{Y}}\bigl(\vert\psi\rangle\langle\psi\vert\bigr) = \sigma\bigr\},$$

unde maximul este luat peste toți vectorii de stare cuantică $\vert\phi\rangle$ și $\vert\psi\rangle$ ai lui $(\mathsf{X},\mathsf{Y}).$

Putem demonstra această teoremă folosind echivalența unitară a purificărilor — dar nu este complet simplu și vom folosi un truc pe parcurs.

Pentru a începe, consideră descompunerile spectrale ale celor două matrice de densitate $\rho$ și $\sigma.$

$$\begin{aligned} \rho & = \sum_{a = 0}^{n-1} p_a \vert u_a\rangle\langle u_a\vert \\[2mm] \sigma & = \sum_{b = 0}^{n-1} q_b \vert v_b\rangle\langle v_b\vert \end{aligned}$$

Cele două colecții $\{\vert u_0 \rangle,\ldots,\vert u_{n-1}\rangle\}$ și $\{\vert v_0 \rangle,\ldots,\vert v_{n-1}\rangle\}$ sunt baze ortonormate de vectori proprii ale lui $\rho$ și $\sigma,$ respectiv, iar $p_0,\ldots,p_{n-1}$ și $q_0,\ldots,q_{n-1}$ sunt valorile proprii corespunzătoare.

Vom defini de asemenea $\vert \overline{u_0} \rangle,\ldots,\vert \overline{u_{n-1}}\rangle$ și $\vert \overline{v_0} \rangle,\ldots,\vert \overline{v_{n-1}}\rangle$ ca vectorii obținuți luând conjugata complexă a fiecărui element din $\vert u_0 \rangle,\ldots,\vert u_{n-1}\rangle$ și $\vert v_0 \rangle,\ldots,\vert v_{n-1}\rangle.$ Adică, pentru un vector arbitrar $\vert w\rangle$ putem defini $\vert\overline{w}\rangle$ conform următoarei ecuații pentru fiecare $c\in\{0,\ldots,n-1\}.$

$$\langle c \vert \overline{w}\rangle = \overline{\langle c \vert w\rangle}$$

Observă că pentru orice doi vectori $\vert u\rangle$ și $\vert v\rangle$ avem $\langle \overline{u} \vert \overline{v}\rangle = \langle v\vert u\rangle.$ Mai general, pentru orice matrice pătratică $M$ avem următoarea formulă.

$$\langle \overline{u} \vert M \vert \overline{v}\rangle = \langle v\vert M^T \vert u\rangle$$

Rezultă că $\vert u\rangle$ și $\vert v\rangle$ sunt ortogonali dacă și numai dacă $\vert \overline{u}\rangle$ și $\vert \overline{v}\rangle$ sunt ortogonali, și prin urmare $\{\vert \overline{u_0} \rangle,\ldots,\vert \overline{u_{n-1}}\rangle\}$ și $\{\vert \overline{v_0} \rangle,\ldots,\vert \overline{v_{n-1}}\rangle\}$ sunt ambele baze ortonormate.

Acum consideră următorii doi vectori $\vert\phi\rangle$ și $\vert\psi\rangle,$ care sunt purificări ale lui $\rho$ și $\sigma,$ respectiv.

$$\begin{aligned} \vert\phi\rangle & = \sum_{a = 0}^{n-1} \sqrt{p_a}\, \vert u_a\rangle \otimes \vert \overline{u_a}\rangle \\[2mm] \vert\psi\rangle & = \sum_{b = 0}^{n-1} \sqrt{q_b}\, \vert v_b\rangle \otimes \vert \overline{v_b}\rangle \end{aligned}$$

Acesta este trucul menționat anterior. Nimic nu indică explicit în acest moment că este o idee bună să facem aceste alegeri particulare de purificări ale lui $\rho$ și $\sigma,$ dar ele sunt purificări valide, iar conjugările complexe vor permite algebrei să funcționeze în modul în care avem nevoie.

Prin echivalența unitară a purificărilor, știm că orice purificare a lui $\rho$ pentru perechea de sisteme $(\mathsf{X},\mathsf{Y})$ trebuie să aibă forma $(\mathbb{I}_{\mathsf{X}}\otimes U)\vert\phi\rangle$ pentru o matrice unitară $U,$ și la fel orice purificare a lui $\sigma$ pentru perechea $(\mathsf{X},\mathsf{Y})$ trebuie să aibă forma $(\mathbb{I}_{\mathsf{X}}\otimes V)\vert\psi\rangle$ pentru o matrice unitară $V.$ Produsul intern a două astfel de purificări poate fi simplificat astfel.

$$\begin{aligned} \langle \phi \vert (\mathbb{I}\otimes U^{\dagger}) (\mathbb{I}\otimes V) \vert \psi \rangle \hspace{-2.5cm}\\ & = \sum_{a,b = 0}^{n-1} \sqrt{p_a} \sqrt{q_b}\, \langle u_a \vert v_b \rangle \langle \overline{u_a} \vert U^{\dagger} V \vert \overline{v_b} \rangle \\ & = \sum_{a,b = 0}^{n-1} \sqrt{p_a} \sqrt{q_b}\, \langle u_a \vert v_b \rangle \langle v_b \vert (U^{\dagger} V)^T \vert u_a \rangle \\ & = \operatorname{Tr}\Biggl( \sum_{a,b = 0}^{n-1} \sqrt{p_a} \sqrt{q_b}\, \vert u_a \rangle\langle u_a \vert v_b \rangle \langle v_b \vert (U^{\dagger} V)^T\Biggr)\\ & = \operatorname{Tr}\Bigl( \sqrt{\rho}\sqrt{\sigma}\, (U^{\dagger} V)^T\Bigr) \end{aligned}$$

Pe măsură ce $U$ și $V$ parcurg toate matricele unitare posibile, matricea $(U^{\dagger} V)^T$ parcurge de asemenea toate matricele unitare posibile. Astfel, maximizând valoarea absolută a produsului intern dintre două purificări ale lui $\rho$ și $\sigma$ obținem următoarea ecuație.

$$\begin{aligned} \max_{U,V\:\text{unitary}} \biggl\vert \operatorname{Tr}\Bigl( \sqrt{\rho}\sqrt{\sigma}\, (U^{\dagger} V)^T\Bigr)\biggr\vert & = \max_{W\:\text{unitary}} \biggl\vert \operatorname{Tr}\Bigl( \sqrt{\rho}\sqrt{\sigma}\, W\Bigr)\biggr\vert\\[2mm] & = \bigl\| \sqrt{\rho}\sqrt{\sigma} \bigr\|_1\\[2mm] & = \operatorname{F}(\rho,\sigma) \end{aligned}$$

Sondaj post-curs

Felicitări pentru finalizarea acestui curs! Te rog să acorzi un moment pentru a ne ajuta să îmbunătățim cursul nostru completând următorul sondaj rapid. Feedback-ul tău va fi folosit pentru a îmbunătăți conținutul nostru și experiența utilizatorului. Mulțumim!

Note: This survey is provided by IBM Quantum and relates to the original English content. To give feedback on doQumentation's website, translations, or code execution, please open a GitHub issue.