Operații și observabile Pauli

Matricele Pauli joacă un rol central în formalismul stabilizatorilor. Vom începe lecția cu o discuție despre matricele Pauli, inclusiv câteva dintre proprietățile lor algebrice de bază, și vom discuta și modul în care matricele Pauli (și produsele tensoriale ale matricelor Pauli) pot descrie măsurători.

Bazele operațiilor Pauli

Iată matricele Pauli, incluzând matricea identitate $2\times 2$ și cele trei matrici Pauli non-identitate.

$$\mathbb{I} = \begin{pmatrix} 1 & 0\\ 0 & 1 \end{pmatrix} \qquad X = \begin{pmatrix} 0 & 1\\ 1 & 0 \end{pmatrix} \qquad Y = \begin{pmatrix} 0 & -i\\ i & 0 \end{pmatrix} \qquad Z = \begin{pmatrix} 1 & 0\\ 0 & -1 \end{pmatrix}$$

Proprietățile matricelor Pauli

Toate cele patru matrici Pauli sunt atât unitare, cât și hermitiene. Am folosit numele $\sigma_x,$ $\sigma_y,$ și $\sigma_z$ pentru a ne referi la matricele Pauli non-identitate mai devreme în serie, dar prin convenție se folosesc în schimb literele mari $X,$ $Y,$ și $Z$ în contextul corecției erorilor. Această convenție a fost urmată în lecția anterioară și vom continua s-o folosim în lecțiile rămase.

Diferite matrici Pauli non-identitate anti-comută una cu cealaltă.

$$XY = -YX \qquad XZ = -ZX \qquad YZ = -ZY$$

Aceste relații de anti-comutare sunt simple și ușor de verificat efectuând înmulțirile, dar sunt extrem de importante, în formalismul stabilizatorilor și în alte contexte. Cum vom vedea, semnele minus care apar atunci când ordinea dintre două matrici Pauli non-identitate diferite este inversată într-un produs de matrici corespund exact detectării erorilor în formalismul stabilizatorilor.

Avem și regulile de înmulțire enumerate mai jos.

$$XX = YY = ZZ = \mathbb{I} \qquad XY = iZ \qquad YZ = iX \qquad ZX = iY$$

Adică, fiecare matrice Pauli este propria sa inversă (ceea ce este întotdeauna adevărat pentru orice matrice care este atât unitară, cât și hermitiană), iar înmulțirea a două matrici Pauli non-identitate diferite este întotdeauna $\pm i$ ori matricea Pauli non-identitate rămasă. În particular, la un factor de fază, $Y$ este echivalent cu $X Z,$ ceea ce explică focusul nostru pe erorile $X$ și $Z$ și aparenta lipsă de interes față de erorile $Y$ în corecția erorilor cuantice; $X$ reprezintă un bit-flip, $Z$ reprezintă un phase-flip, deci (la un factor de fază global) $Y$ reprezintă ambele erori apărând simultan pe același qubit.

Operații Pauli pe mai mulți qubiți

Cele patru matrici Pauli reprezintă toate operații (care ar putea fi erori) pe un singur qubit — iar prin produsul lor tensorial obținem operații pe mai mulți qubiți. Ca terminologie, când ne referim la o operație Pauli cu n qubiți, înțelegem un produs tensorial a $n$ matrici Pauli oarecare, cum ar fi exemplele de mai jos, pentru care $n=9.$

$$\begin{gathered} \mathbb{I} \otimes \mathbb{I} \otimes \mathbb{I} \otimes \mathbb{I} \otimes \mathbb{I} \otimes \mathbb{I} \otimes \mathbb{I} \otimes \mathbb{I} \otimes \mathbb{I} \\[1mm] X \otimes X \otimes \mathbb{I} \otimes \mathbb{I} \otimes \mathbb{I} \otimes \mathbb{I} \otimes \mathbb{I} \otimes \mathbb{I} \otimes \mathbb{I} \\[1mm] X \otimes Y \otimes Z \otimes \mathbb{I} \otimes \mathbb{I} \otimes \mathbb{I} \otimes X \otimes Y \otimes Z \end{gathered}$$

Adesea, termenul operație Pauli se referă la un produs tensorial de matrici Pauli împreună cu un factor de fază, sau uneori doar anumiți factori de fază cum ar fi $\pm 1$ și $\pm i.$ Există motive întemeiate pentru a permite factori de fază din punct de vedere matematic — dar, pentru a păstra lucrurile cât mai simple, vom folosi termenul operație Pauli în acest curs pentru a ne referi la un produs tensorial de matrici Pauli fără posibilitatea unui factor de fază diferit de 1.

Greutatea unei operații Pauli cu $n$ qubiți este numărul de matrici Pauli non-identitate din produsul tensorial. De exemplu, primul exemplu de mai sus are greutatea $0,$ al doilea are greutatea $2,$ iar al treilea are greutatea $6.$ Intuitiv, greutatea unei operații Pauli cu $n$ qubiți reprezintă numărul de qubiți pe care acționează non-trivial. Este tipic că codurile cuantice de corecție a erorilor sunt proiectate astfel încât să poată detecta și corecta erorile reprezentate de operații Pauli atâta timp cât greutatea lor nu este prea mare.

Operații Pauli ca generatori

Uneori este util să consideri colecții de operații Pauli ca generatori ai unor mulțimi (mai specific, grupuri) de operații, în sensul algebric pe care poate îl recunoști dacă ești familiar cu teoria grupurilor. Dacă nu ești familiar cu teoria grupurilor, nu-i nimic — nu este esențial pentru lecție. O familiaritate cu elementele de bază ale teoriei grupurilor este, totuși, puternic recomandată pentru cei interesați să exploreze corecția erorilor cuantice mai în profunzime.

Presupunem că $P_1, \ldots, P_r$ sunt operații Pauli cu $n$ qubiți. Când ne referim la mulțimea generată de $P_1, \ldots, P_r,$ înțelegem mulțimea tuturor matricilor ce pot fi obținute prin înmulțirea acestor matrici, în orice combinație și în orice ordine dorim, luând fiecare de câte ori vrem. Notația folosită pentru a face referire la această mulțime este $\langle P_1, \ldots, P_r \rangle.$

De exemplu, mulțimea generată de cele trei matrici Pauli non-identitate este următoarea.

$$\langle X, Y, Z \rangle = \bigl\{\alpha P\,:\,\alpha\in\{1,i,-1,-i\},\; P\in\{\mathbb{I},X,Y,Z\} \bigr\}$$

Aceasta poate fi dedusă prin regulile de înmulțire enumerate anterior. Există 16 matrici diferite în această mulțime, care este numită în mod obișnuit grupul Pauli.

Pentru un al doilea exemplu, dacă îl eliminăm pe $Y,$ obținem jumătate din grupul Pauli.

$$\langle X, Z\rangle = \{ \mathbb{I}, X, Z, -iY, -\mathbb{I}, -X, -Z, iY \}$$

Iată un ultim exemplu (deocamdată), unde de data aceasta avem $n=2.$

$$\langle X \otimes X, Z \otimes Z\rangle = \{ \mathbb{I}\otimes\mathbb{I}, X\otimes X, Z\otimes Z, -Y\otimes Y \}$$

În acest caz obținem doar patru elemente, datorită faptului că $X\otimes X$ și $Z\otimes Z$ comută:

$$\begin{aligned} (X\otimes X)(Z\otimes Z) & = (XZ) \otimes (XZ)\\ & = (-ZX)\otimes (-ZX)\\ & = (ZX)\otimes (ZX)\\ & = (Z\otimes Z)(X\otimes X). \end{aligned}$$

Observabile Pauli

Matricele Pauli, și operațiile Pauli cu $n$ qubiți mai general, sunt unitare, deci descriu operații unitare pe qubiți. Dar sunt și matrici hermitiene, și din acest motiv descriu măsurători, așa cum va fi explicat acum.

Observabile prin matrice hermitiene

Considerăm mai întâi o matrice hermitiană arbitrară $A.$ Când ne referim la $A$ ca la un observabil, îi asociem lui $A$ o anumită măsurătoare proiectivă definită în mod unic. Cu alte cuvinte, rezultatele posibile sunt valorile proprii distincte ale lui $A,$ iar proiecțiile care definesc măsurătoarea sunt cele care proiectează pe spațiile generate de vectorii proprii corespunzători ai lui $A.$ Deci, rezultatele unei astfel de măsurători sunt numere reale — dar deoarece matricele au doar un număr finit de valori proprii, vor exista doar un număr finit de rezultate posibile ale măsurătorii pentru o alegere dată a lui $A.$

Mai în detaliu, prin teorema spectrală, este posibil să scriem

$$A = \sum_{k = 1}^m \lambda_k \Pi_k$$

pentru valori proprii reale distincte $\lambda_1,\ldots,\lambda_m$ și proiecții $\Pi_1,\ldots,\Pi_m$ care satisfac

$$\Pi_1 + \cdots + \Pi_m = \mathbb{I}.$$

O astfel de expresie a unei matrici este unică la ordinea valorilor proprii. Un alt mod de a spune asta este că, dacă impunem ca valorile proprii să fie ordonate în ordine descrescătoare $\lambda_1 > \lambda_2 > \cdots > \lambda_m,$ atunci există o singură modalitate de a scrie $A$ în forma de mai sus.

Pe baza acestei expresii, măsurătoarea asociată cu observabilul $A$ este măsurătoarea proiectivă descrisă de proiecțiile $\Pi_1,\ldots,\Pi_m,$ iar valorile proprii $\lambda_1,\ldots,\lambda_m$ sunt înțelese ca rezultatele măsurătorii corespunzătoare acestor proiecții.

Măsurători din operații Pauli

Hai să vedem cum arată măsurătorile de tipul descris mai sus pentru operațiile Pauli, începând cu cele trei matrici Pauli non-identitate. Aceste matrici au descompuneri spectrale după cum urmează.

$$\begin{gathered} X = \vert {+} \rangle\langle {+} \vert - \vert {-} \rangle\langle {-} \vert\\ Y = \vert {+i} \rangle\langle {+i} \vert - \vert {-i} \rangle\langle {-i} \vert\\ Z = \vert {0} \rangle\langle {0} \vert - \vert {1} \rangle\langle {1} \vert \end{gathered}$$

Măsurătorile definite de $X,$ $Y,$ și $Z,$ privite ca observabile, sunt deci măsurătorile proiective definite de următoarele mulțimi de proiecții, respectiv.

$$\begin{gathered} \bigl\{\vert {+} \rangle\langle {+} \vert, \vert {-} \rangle\langle {-} \vert \bigr\} \\ \bigl\{\vert {+i} \rangle\langle {+i} \vert, \vert {-i} \rangle\langle {-i} \vert\bigr\} \\ \bigl\{\vert {0} \rangle\langle {0} \vert, \vert {1} \rangle\langle {1} \vert\bigr\} \end{gathered}$$

În toate cele trei cazuri, cele două rezultate posibile ale măsurătorii sunt valorile proprii $+1$ și $-1.$ Astfel de măsurători sunt numite în mod obișnuit măsurători-$X$, măsurători-$Y$ și măsurători-$Z$. Am întâlnit aceste măsurători în lecția „Măsurători generale" din „Formularea generală a informației cuantice," unde au apărut în contextul tomografiei stărilor cuantice.

Desigur, o măsurătoare-$Z$ este în esență o măsurătoare în baza standard, iar o măsurătoare-$X$ este o măsurătoare în raport cu baza plus/minus a unui qubit — dar, conform descrierii de aici, considerăm valorile proprii $+1$ și $-1$ drept rezultatele efective ale măsurătorii.

Aceeași prescripție poate fi urmată pentru operații Pauli pe $n\geq 2$ qubiți, deși trebuie subliniat că vor exista totuși doar două rezultate posibile pentru măsurătorile descrise astfel: $+1$ și $-1,$ care sunt singurele valori proprii posibile ale operațiilor Pauli. Cele două proiecții corespunzătoare vor avea deci rang mai mare decât unu în acest caz. Mai precis, pentru orice operație Pauli non-identitate cu $n$ qubiți, spațiul stărilor de dimensiune $2^n$ se împarte întotdeauna în două subspații de vectori proprii cu dimensiune egală, deci cele două proiecții care definesc măsurătoarea asociată vor avea ambele rang $2^{n-1}.$

Prin urmare, măsurătoarea descrisă de o operație Pauli cu $n$ qubiți, considerată ca observabil, nu este același lucru cu o măsurătoare față de o bază ortonormată de vectori proprii ai acelei operații, și nici același lucru cu măsurarea independentă a fiecăreia dintre matricele Pauli corespunzătoare ca observabile independente pe $n$ qubiți. Ambele alternative ar necesita $2^n$ rezultate posibile ale măsurătorii, dar aici avem doar cele două rezultate posibile $+1$ și $-1.$

De exemplu, considerăm operația Pauli cu 2 qubiți $Z\otimes Z$ ca observabil. Putem efectiv lua produsul tensorial al descompunerilor spectrale pentru a obține una pentru produsul tensorial.

$$\begin{aligned} Z\otimes Z & = (\vert 0\rangle\langle 0\vert - \vert 1\rangle\langle 1\vert) \otimes (\vert 0\rangle\langle 0\vert - \vert 1\rangle\langle 1\vert)\\ & = \bigl( \vert 00\rangle\langle 00\vert + \vert 11\rangle\langle 11\vert \bigr) - \bigl( \vert 01\rangle\langle 01\vert + \vert 10\rangle\langle 10\vert \bigr) \end{aligned}$$

Adică avem $Z\otimes Z = \Pi_0 - \Pi_1$ pentru

$$\Pi_0 = \vert 00\rangle\langle 00\vert + \vert 11\rangle\langle 11\vert \quad\text{and}\quad \Pi_1 = \vert 01\rangle\langle 01\vert + \vert 10\rangle\langle 10\vert,$$

deci acestea sunt cele două proiecții care definesc măsurătoarea. Dacă, de exemplu, am măsura o stare Bell $\vert\phi^+\rangle$ nedestructiv folosind această măsurătoare, atunci am fi siguri că obținem rezultatul $+1,$ iar starea ar rămâne nemodificată în urma măsurătorii. În particular, starea nu s-ar colaps la $\vert 00\rangle$ sau $\vert 11\rangle.$

Implementare nedestructivă prin estimarea fazei

Pentru orice operație Pauli cu $n$ qubiți, putem efectua măsurătoarea asociată acelui observabil nedestructiv folosind estimarea fazei.

Iată un Circuit bazat pe estimarea fazei care funcționează pentru orice matrice Pauli $P,$ unde măsurătoarea este efectuată pe qubitul de sus. Rezultatele $0$ și $1$ ale măsurătorii în baza standard din Circuit corespund valorilor proprii $+1$ și $-1,$ exact ca de obicei pentru estimarea fazei cu un singur qubit de control. (Observă că qubitul de control este jos în această diagramă, în timp ce în lecția „Estimarea fazei și factorizarea" din „Fundamentele algoritmilor cuantici" qubiții de control erau desenați sus.)

O metodă similară funcționează pentru operații Pauli pe mai mulți qubiți. De exemplu, următoarea diagramă de Circuit ilustrează o măsurătoare nedestructivă a observabilului Pauli cu $3$ qubiți $P_2\otimes P_1\otimes P_0,$ pentru orice alegere de $P_0,P_1,P_2 \in \{X,Y,Z\}.$

Această abordare se generalizează la observabilele Pauli cu $n$ qubiți, pentru orice $n,$ în mod natural. Desigur, trebuie să includem porți unitar-controlate doar pentru factorii tensoriali non-identitate ai observabilelor Pauli atunci când implementăm astfel de măsurători; porțile identitate-controlate sunt pur și simplu porți identitate și pot fi deci omise. Aceasta înseamnă că observabilele Pauli cu greutate mai mică necesită circuite mai mici pentru a fi implementate prin această abordare.

Observă că, indiferent de $n,$ aceste circuite de estimare a fazei au un singur qubit de control, ceea ce este consistent cu faptul că există doar două rezultate posibile ale măsurătorii pentru aceste măsurători. Folosirea mai multor qubiți de control nu ar dezvălui informații suplimentare deoarece aceste măsurători sunt deja perfecte cu un singur qubit de control. (O modalitate de a vedea asta este direct din procedura generală de estimare a fazei: ipoteza $U^2 = \mathbb{I}$ face ca orice qubiți de control suplimentari față de primul să fie inutili.)

Iată un exemplu specific, de implementare nedestructivă a unei măsurători $Z\otimes Z,$ care este relevant pentru descrierea codului repetitiv de 3 biți ca Stabilizer cod pe care îl vom vedea în curând.

În acest caz, și pentru produse tensoriale de mai mult de două observabile $Z$ în general, Circuit-ul poate fi simplificat.

Astfel, această măsurătoare este echivalentă cu măsurarea nedestructivă a parității (sau XOR) a stărilor din baza standard ale doi qubiți.