Alte familii de coduri

Au trecut mai bine de 25 de ani de la descoperirea codului toric, iar în tot acest timp cercetarea în domeniul codurilor cuantice de corecție a erorilor a avansat enorm — inclusiv prin descoperirea altor coduri cuantice topologice inspirate de codul toric, dar și a unor coduri bazate pe idei complet diferite. O listă completă a construcțiilor de coduri cuantice de corecție a erorilor cunoscute ar fi imposibil de inclus aici — dar vom zgâria ușor suprafața pentru a examina pe scurt câteva exemple proeminente.

Coduri de suprafață

Se dovedește că nu este neapărat necesar ca codul toric să aibă margini periodice. Cu alte cuvinte, este posibil să decupezi doar o porțiune din codul toric și să o întinzi pe o suprafață bidimensională, în loc de un tor, pentru a obține un cod cuantic de corecție a erorilor — cu condiția ca generatorii Stabilizer de pe margini să fie definiți corespunzător. Ceea ce obținem se numește un cod de suprafață.

De exemplu, iată o diagramă a unui cod de suprafață, în care rețeaua este tăiată cu așa-numitele margini brute în partea de sus și de jos și margini netede pe laturi. Cazurile de margine pentru generatorii Stabilizer sunt definite în mod natural, adică operațiile Pauli pe qubiții „lipsă" sunt pur și simplu omise.

Codurile de suprafață de această formă codifică un singur Qubit, nu doi, ca în cazul codului toric. Generatorii Stabilizer formează un set minimal de generatori în acest caz, fără a fi nevoie să elimini câte unul din fiecare tip, ca în cazul codului toric. Dar, în ciuda acestor diferențe, caracteristicile importante ale codului toric sunt moștenite. În particular, erorile nedetectate netriviale pentru acest cod corespund unor lanțuri de erori care se întind fie de la marginea stângă la cea dreaptă (pentru lanțuri de erori $X$), fie de sus în jos (pentru lanțuri de erori $Z$).

Este posibil și să tai marginile unui cod de suprafață în diagonală, obținând ceea ce se numesc uneori coduri de suprafață rotite, denumire care nu vine din faptul că sunt rotite într-un sens semnificativ, ci pentru că diagramele sunt rotite (cu 45 de grade). De exemplu, iată o diagramă a unui cod de suprafață rotit cu distanța 5.

În acest tip de diagramă, plăcile negre (inclusiv cele rotunjite de pe margini) indică generatorii Stabilizer de tip $X$, unde operațiile $X$ sunt aplicate pe (doi sau patru) vârfuri ale fiecărei plăci, în timp ce plăcile albe reprezintă generatorii Stabilizer de tip $Z$. Codurile de suprafață rotite au proprietăți similare cu codurile de suprafață (nerotite), dar sunt mai economice în privința numărului de qubiți folosiți.

Coduri de culoare

Codurile de culoare reprezintă o altă clasă interesantă de coduri, care se încadrează tot în categoria generală a codurilor cuantice topologice. Vor fi descrise doar pe scurt aici.

Un mod de a te gândi la codurile de culoare este să le privești ca generalizări geometrice ale codului Steane de 7 qubiți. Ținând cont de acest lucru, să reconsiderăm codul Steane de 7 qubiți și să presupunem că cei șapte qubiți sunt denumiți și ordonați folosind convenția de numerotare Qiskit ca $(\mathsf{Q}_6,\mathsf{Q}_5,\mathsf{Q}_4,\mathsf{Q}_3,\mathsf{Q}_2,\mathsf{Q}_1,\mathsf{Q}_0).$ Amintește-ți că generatorii Stabilizer pentru acest cod sunt următorii.

$$\begin{array}{ccccccc} Z & Z & Z & Z & \mathbb{I} & \mathbb{I} & \mathbb{I} \\[1mm] Z & Z & \mathbb{I} & \mathbb{I} & Z & Z & \mathbb{I} \\[1mm] Z & \mathbb{I} & Z & \mathbb{I} & Z & \mathbb{I} & Z \\[1mm] X & X & X & X & \mathbb{I} & \mathbb{I} & \mathbb{I} \\[1mm] X & X & \mathbb{I} & \mathbb{I} & X & X & \mathbb{I} \\[1mm] X & \mathbb{I} & X & \mathbb{I} & X & \mathbb{I} & X \end{array}$$

Dacă asociem acești șapte qubiți cu vârfurile grafului următor, constatăm că generatorii Stabilizer corespund exact fețelor formate de muchiile grafului.

Adică, pentru fiecare față există atât un generator Stabilizer $Z$, cât și un generator Stabilizer $X$ care acționează netrivial pe qubiții aflați la vârfurile acelei fețe. Codul Steane de 7 qubiți posedă prin urmare localitate geometrică, deci în principiu nu este necesar să muți qubiți pe distanțe mari pentru a măsura generatorii Stabilizer. Faptul că generatorii Stabilizer $Z$ și $X$ acționează întotdeauna netrivial pe exact aceleași seturi de qubiți este, de asemenea, util din motive legate de computația cuantică tolerantă la erori, care este subiectul lecției următoare.

Codurile de culoare sunt coduri cuantice de corecție a erorilor (mai precis coduri CSS) care generalizează acest tipar de bază, cu deosebirea că grafurile subiacente pot fi diferite. De exemplu, iată un graf cu 19 vârfuri care funcționează. Acesta definește un cod care codifică un Qubit în 19 qubiți și are distanța 5 (adică este un cod Stabilizer $[[19,1,5]]$).

Acest lucru se poate face cu multe alte grafuri, inclusiv familii de grafuri care cresc în dimensiune și au structuri interesante.

Codurile de culoare se numesc astfel deoarece una dintre condițiile necesare pe grafurile care le definesc este că fețele pot fi colorate cu trei culori, adică fiecărei fețe i se poate atribui una din trei culori în așa fel încât nicio două fețe de aceeași culoare să nu împărtășească o muchie (după cum avem în diagrama anterioară). Culorile nu contează de fapt pentru definiția codului în sine — există întotdeauna generatori Stabilizer $Z$ și $X$ pentru fiecare față, indiferent de culoarea ei — dar culorile sunt importante pentru analiza modului în care funcționează codurile.

Alte coduri

Corecția cuantică a erorilor este un domeniu activ de cercetare, în rapidă avansare. Cei interesați să exploreze mai în profunzime pot consulta Error Correction Zoo, care listează numeroase exemple și clasificări ale codurilor cuantice de corecție a erorilor.

Exemplu: Codul gross

Codul gross este un cod Stabilizer $[[144,12,12]]$ descoperit recent. Este similar cu codul toric, cu deosebirea că fiecare generator Stabilizer acționează netrivial pe doi qubiți suplimentari, ușor mai îndepărtați față de placa sau vârful acelui generator (deci fiecare generator Stabilizer are ponderea 6). Avantajul acestui cod este că poate codifica 12 qubiți, față de doar doi în cazul codului toric.