Limitări ale informației cuantice

Deși împărtășesc o structură matematică de bază comună, informația cuantică și cea clasică prezintă diferențe esențiale. Prin urmare, există numeroase exemple de sarcini pe care informația cuantică le permite, dar informația clasică nu.

Înainte de a explora câteva dintre aceste exemple, vom nota câteva limitări importante ale informației cuantice. Înțelegând ce nu poate face informația cuantică, putem identifica mai bine ce poate face.

Irelevența fazelor globale

Prima limitare pe care o vom aborda — care este mai degrabă o ușoară degenerare în modul în care stările cuantice sunt reprezentate de vectori de stare cuantică, decât o limitare propriu-zisă — se referă la noțiunea de fază globală.

Prin fază globală înțelegem următorul lucru. Fie $\vert \psi \rangle$ și $\vert \phi \rangle$ vectori unitari care reprezintă stări cuantice ale unui sistem, și presupunem că există un număr complex $\alpha$ pe cercul unitar, adică $\vert \alpha \vert = 1$, sau echivalent $\alpha = e^{i\theta}$ pentru un număr real $\theta$, astfel încât

$$\vert \phi \rangle = \alpha \vert \psi \rangle.$$

Vectorii $\vert \psi \rangle$ și $\vert \phi \rangle$ se spune că diferă printr-o fază globală. Uneori ne referim la $\alpha$ ca la o fază globală, deși sensul este dependent de context; orice număr de pe cercul unitar poate fi privit ca o fază globală atunci când se înmulțește cu un vector unitar.

Să considerăm ce se întâmplă când un sistem se află într-una din cele două stări cuantice $\vert\psi\rangle$ și $\vert\phi\rangle$, iar sistemul suferă o măsurare în baza standard. În primul caz, în care sistemul se află în starea $\vert\psi\rangle$, probabilitatea de a măsura o stare clasică dată $a$ este

$$\bigl\vert \langle a \vert \psi \rangle \bigr\vert^2.$$

În al doilea caz, în care sistemul se află în starea $\vert\phi\rangle$, probabilitatea de a măsura o stare clasică $a$ este

$$\bigl\vert \langle a \vert \phi \rangle \bigr\vert^2 = \bigl\vert \alpha \langle a \vert \psi \rangle \bigr\vert^2 = \vert \alpha \vert^2 \bigl\vert \langle a \vert \psi \rangle \bigr\vert^2 = \bigl\vert \langle a \vert \psi \rangle \bigr\vert^2,$$

deoarece $\vert\alpha\vert = 1$. Adică, probabilitatea de apariție a unui rezultat este aceeași pentru ambele stări.

Să considerăm acum ce se întâmplă când aplicăm o operație unitară arbitrară $U$ ambelor stări. În primul caz, în care starea inițială este $\vert \psi \rangle$, starea devine

$$U \vert \psi \rangle,$$

iar în al doilea caz, în care starea inițială este $\vert \phi\rangle$, ea devine

$$U \vert \phi \rangle = \alpha U \vert \psi \rangle.$$

Adică, cele două stări rezultate diferă în continuare prin aceeași fază globală $\alpha$.

Prin urmare, două stări cuantice $\vert\psi\rangle$ și $\vert\phi\rangle$ care diferă printr-o fază globală sunt complet indistincte; indiferent de operația sau secvența de operații pe care o aplicăm celor două stări, ele vor diferi mereu printr-o fază globală, iar efectuarea unei măsurări în baza standard va produce rezultate cu exact aceleași probabilități. Din acest motiv, doi vectori de stare cuantică care diferă printr-o fază globală sunt considerați echivalenți și sunt priviți efectiv ca reprezentând aceeași stare.

De exemplu, stările cuantice

$$\vert - \rangle = \frac{1}{\sqrt{2}} \vert 0 \rangle - \frac{1}{\sqrt{2}} \vert 1 \rangle \quad\text{and}\quad -\vert - \rangle = -\frac{1}{\sqrt{2}} \vert 0 \rangle + \frac{1}{\sqrt{2}} \vert 1 \rangle$$

diferă printr-o fază globală (care este $-1$ în acest exemplu) și sunt, prin urmare, considerate aceeași stare.

Pe de altă parte, stările cuantice

$$\vert + \rangle = \frac{1}{\sqrt{2}} \vert 0 \rangle + \frac{1}{\sqrt{2}} \vert 1 \rangle \quad\text{and}\quad \vert - \rangle = \frac{1}{\sqrt{2}} \vert 0 \rangle - \frac{1}{\sqrt{2}} \vert 1 \rangle$$

nu diferă printr-o fază globală. Deși singura diferență dintre cele două stări este că un semn plus devine un semn minus, aceasta nu este o diferență de fază globală, ci o diferență de fază relativă, deoarece nu afectează fiecare intrare a vectorului, ci doar un subset propriu al intrărilor. Acest lucru este consistent cu ceea ce am observat anterior, și anume că stările $\vert{+} \rangle$ și $\vert{-}\rangle$ pot fi discriminate perfect. În particular, aplicând o operație Hadamard și apoi măsurând, se obțin probabilitățile de rezultat astfel:

$$\begin{aligned} \bigl\vert \langle 0 \vert H \vert {+} \rangle \bigr\vert^2 = 1 & \hspace{1cm} \bigl\vert \langle 0 \vert H \vert {-} \rangle \bigr\vert^2 = 0 \\[1mm] \bigl\vert \langle 1 \vert H \vert {+} \rangle \bigr\vert^2 = 0 & \hspace{1cm} \bigl\vert \langle 1 \vert H \vert {-} \rangle \bigr\vert^2 = 1. \end{aligned}$$

Teorema non-clonării

Teorema non-clonării demonstrează că este imposibil să creezi o copie perfectă a unei stări cuantice necunoscute.

Teoremă

Teorema non-clonării: Fie $\Sigma$ o mulțime de stări clasice cu cel puțin două elemente, și fie $\mathsf{X}$ și $\mathsf{Y}$ sisteme care împărtășesc aceeași mulțime de stări clasice $\Sigma$. Nu există o stare cuantică $\vert \phi\rangle$ a lui $\mathsf{Y}$ și o operație unitară $U$ pe perechea $(\mathsf{X},\mathsf{Y})$ astfel încât

$$U \bigl( \vert \psi \rangle \otimes \vert\phi\rangle\bigr) = \vert \psi \rangle \otimes \vert\psi\rangle$$

pentru orice stare $\vert \psi \rangle$ a lui $\mathsf{X}$.

Adică, nu există nicio modalitate de a inițializa sistemul $\mathsf{Y}$ (în orice stare $\vert\phi\rangle$ ar fi) și de a efectua o operație unitară $U$ pe sistemul compus $(\mathsf{X},\mathsf{Y})$ astfel încât efectul să fie clonarea stării $\vert\psi\rangle$ a lui $\mathsf{X}$ — rezultând în $(\mathsf{X},\mathsf{Y})$ aflat în starea $\vert \psi \rangle \otimes \vert\psi\rangle$.

Demonstrația acestei teoreme este de fapt destul de simplă: se reduce la observația că aplicația

$$\vert\psi\rangle \otimes \vert \phi\rangle\mapsto\vert\psi\rangle \otimes \vert \psi\rangle$$

nu este liniară în $\vert\psi\rangle$.

În particular, deoarece $\Sigma$ are cel puțin două elemente, putem alege $a,b\in\Sigma$ cu $a\neq b$. Dacă ar exista o stare cuantică $\vert \phi\rangle$ a lui $\mathsf{Y}$ și o operație unitară $U$ pe perechea $(\mathsf{X},\mathsf{Y})$ pentru care $U \bigl( \vert \psi \rangle \otimes \vert\phi\rangle\bigr) = \vert \psi \rangle \otimes \vert\psi\rangle$ pentru orice stare cuantică $\vert\psi\rangle$ a lui $\mathsf{X}$, atunci ar fi cazul că

$$U \bigl( \vert a \rangle \otimes \vert\phi\rangle\bigr) = \vert a \rangle \otimes \vert a\rangle \quad\text{and}\quad U \bigl( \vert b \rangle \otimes \vert\phi\rangle\bigr) = \vert b \rangle \otimes \vert b\rangle.$$

Prin liniaritate, mai precis liniaritatea produsului tensorial în primul argument și liniaritatea înmulțirii matrice-vector în al doilea argument (vector), trebuie să avem

$$U \biggl(\biggl( \frac{1}{\sqrt{2}}\vert a \rangle + \frac{1}{\sqrt{2}} \vert b\rangle \biggr) \otimes \vert\phi\rangle\biggr) = \frac{1}{\sqrt{2}} \vert a \rangle \otimes \vert a\rangle + \frac{1}{\sqrt{2}} \vert b \rangle \otimes \vert b\rangle.$$

Cu toate acestea, cerința că $U \bigl( \vert \psi \rangle \otimes \vert\phi\rangle\bigr) = \vert \psi \rangle \otimes \vert\psi\rangle$ pentru orice stare cuantică $\vert\psi\rangle$ impune că

$$\begin{aligned} & U \biggl(\biggl( \frac{1}{\sqrt{2}}\vert a \rangle + \frac{1}{\sqrt{2}} \vert b\rangle \biggr) \otimes \vert\phi\rangle\biggr)\\ & \qquad = \biggl(\frac{1}{\sqrt{2}} \vert a \rangle + \frac{1}{\sqrt{2}} \vert b \rangle\biggr) \otimes \biggl(\frac{1}{\sqrt{2}} \vert a \rangle + \frac{1}{\sqrt{2}} \vert b \rangle\biggr)\\ & \qquad = \frac{1}{2} \vert a \rangle \otimes \vert a\rangle + \frac{1}{2} \vert a \rangle \otimes \vert b\rangle + \frac{1}{2} \vert b \rangle \otimes \vert a\rangle + \frac{1}{2} \vert b \rangle \otimes \vert b\rangle\\ & \qquad \neq \frac{1}{\sqrt{2}} \vert a \rangle \otimes \vert a\rangle + \frac{1}{\sqrt{2}} \vert b \rangle \otimes \vert b\rangle \end{aligned}$$

Prin urmare, nu poate exista o stare $\vert \phi\rangle$ și o operație unitară $U$ pentru care $U \bigl( \vert \psi \rangle \otimes \vert\phi\rangle\bigr) = \vert \psi \rangle \otimes \vert\psi\rangle$ pentru orice vector de stare cuantică $\vert \psi\rangle$.

Câteva observații despre teorema non-clonării sunt necesare. Prima este că enunțul teoremei non-clonării de mai sus este absolut, în sensul că afirmă că clonarea perfectă este imposibilă — dar nu spune nimic despre posibilitatea clonării cu acuratețe limitată, unde am putea reuși să producem o clonă aproximativă (în raport cu un mod de a măsura cât de similare pot fi două stări cuantice diferite). Există, de fapt, enunțuri ale teoremei non-clonării care impun limitări și asupra clonării aproximative, precum și metode de realizare a clonării aproximative cu acuratețe limitată.

A doua observație este că teorema non-clonării este un enunț despre imposibilitatea clonării unei stări arbitrare $\vert\psi\rangle$. Prin contrast, putem crea cu ușurință o clonă a oricărei stări din baza standard, de exemplu. De exemplu, putem clona o stare qubit din baza standard folosind o operație NOT controlat:

Aici $|a\rangle$ este $|0\rangle$ sau $|1\rangle$, stări care pot fi realizate clasic. Deși nu există dificultăți în crearea unei clone a unei stări din baza standard, acest lucru nu contrazice teorema non-clonării. Această abordare folosind o poartă NOT controlat nu ar reuși să creeze o clonă a stării $\vert + \rangle$, de exemplu.

O ultimă observație despre teorema non-clonării este că ea nu este cu adevărat unică pentru informația cuantică — este, de asemenea, imposibil să clonezi o stare probabilistică arbitrară folosind un proces clasic (determinist sau probabilist). Imaginează-ți că cineva îți înmânează un sistem aflat într-o stare probabilistică, dar nu ești sigur care este acea stare probabilistică. De exemplu, poate că au generat aleatoriu un număr între $1$ și $10$, dar nu ți-au spus cum au generat acel număr. Cu siguranță nu există niciun proces fizic prin care poți obține două copii independente ale aceleiași stări probabilistice: tot ce ai în mâini este un număr între $1$ și $10$, și pur și simplu nu există suficientă informație pentru a reconstrui cumva probabilitățile tuturor celorlalte rezultate posibile.

Din punct de vedere matematic, o versiune a teoremei non-clonării pentru stări probabilistice poate fi demonstrată în exact același mod ca și teorema non-clonării obișnuită (pentru stări cuantice). Adică, clonarea unei stări probabilistice arbitrare este un proces neliniar, deci nu poate fi reprezentată printr-o matrice stocastică.

Stările neortogonale nu pot fi discriminate perfect

Pentru ultima limitare ce va fi abordată în această lecție, vom arăta că dacă avem două stări cuantice $\vert\psi\rangle$ și $\vert\phi\rangle$ care nu sunt ortogonale, adică $\langle \phi\vert\psi\rangle \neq 0$, atunci este imposibil să le discriminăm (sau, cu alte cuvinte, să le deosebim) perfect. De fapt, vom demonstra ceva echivalent din punct de vedere logic: dacă avem o metodă de a discrimina perfect două stări, fără nicio eroare, atunci ele trebuie să fie ortogonale.

Ne vom limita atenția la circuit-uri cuantice formate din orice număr de poartă-uri unitare, urmate de o singură măsurare în baza standard a qubit-ului de sus. Ceea ce cerem de la un circuit cuantic, pentru a spune că discriminează perfect stările $\vert\psi\rangle$ și $\vert\phi\rangle$, este că măsurarea produce întotdeauna valoarea $0$ pentru una dintre cele două stări și întotdeauna $1$ pentru cealaltă. Mai precis, vom presupune că avem un circuit cuantic care funcționează conform cum sugerează diagramele de mai jos:

Caseta etichetată $U$ denotă operația unitară care reprezintă acțiunea combinată a tuturor Gate-urilor unitare din Circuit-ul nostru, excluzând măsurarea finală. Nu există nicio pierdere de generalitate în a presupune că măsurarea produce $0$ pentru $\vert\psi\rangle$ și $1$ pentru $\vert\phi\rangle$; analiza nu ar diferi fundamental dacă aceste valori de ieșire ar fi inversate.

Observă că, pe lângă qubit-urile care stochează inițial fie $\vert\psi\rangle$, fie $\vert\phi\rangle$, Circuit-ul poate folosi orice număr de qubit-uri spațiu de lucru suplimentare. Aceste qubit-uri sunt inițial setate fiecare la starea $\vert 0\rangle$ — astfel starea lor combinată este notată $\vert 0\cdots 0\rangle$ în figuri — și aceste qubit-uri pot fi folosite de circuit în orice mod benefic. Este foarte frecvent să se utilizeze qubit-uri spațiu de lucru în Circuit-urile cuantice de acest tip.

Să considerăm acum ce se întâmplă când rulăm Circuit-ul nostru pe starea $\vert\psi\rangle$ (împreună cu qubit-urile spațiu de lucru inițializate). Starea rezultată, imediat înainte de efectuarea măsurării, poate fi scrisă ca

$$U \bigl( \vert 0\cdots 0 \rangle \vert \psi \rangle\bigr) = \vert \gamma_0\rangle\vert 0 \rangle + \vert \gamma_1 \rangle\vert 1 \rangle$$

pentru doi vectori $\vert \gamma_0\rangle$ și $\vert \gamma_1\rangle$ care corespund tuturor qubit-urilor cu excepția celui de sus. În general, pentru o astfel de stare, probabilitățile că o măsurare a qubit-ului de sus produce rezultatele $0$ și $1$ sunt:

$$\operatorname{Pr}(\text{outcome is $0$}) = \bigl\| \vert\gamma_0\rangle \bigr\|^2 \qquad\text{and}\qquad \operatorname{Pr}(\text{outcome is $1$}) = \bigl\| \vert\gamma_1\rangle \bigr\|^2.$$

Deoarece Circuit-ul nostru produce întotdeauna $0$ pentru starea $\vert\psi\rangle$, trebuie că $\vert\gamma_1\rangle = 0$, și deci

$$U \bigl( \vert 0\cdots 0\rangle\vert \psi \rangle \bigr) = \vert\gamma_0\rangle\vert 0 \rangle.$$

Înmulțind ambele membre ale acestei ecuații cu $U^{\dagger}$ obținem ecuația:

$$\vert 0\cdots 0\rangle\vert \psi \rangle = U^{\dagger} \bigl( \vert \gamma_0\rangle\vert 0 \rangle \bigr). \tag{1}$$

Raționând similar pentru $\vert\phi\rangle$ în locul lui $\vert\psi\rangle$, concluzionăm că

$$U \bigl( \vert 0\cdots 0\rangle\vert \phi \rangle \bigr) = \vert \delta_1\rangle\vert 1 \rangle$$

pentru un vector $\vert\delta_1\rangle$, și deci

$$\vert 0\cdots 0\rangle\vert \phi \rangle = U^{\dagger} \bigl( \vert \delta_1\rangle\vert 1 \rangle\bigr). \tag{2}$$

Să calculăm acum produsul intern al vectorilor reprezentați de ecuațiile $(1)$ și $(2)$, începând cu reprezentările din membrul drept al fiecărei ecuații. Avem

$$\bigl(U^{\dagger} \bigl( \vert \gamma_0\rangle\vert 0 \rangle \bigr)\bigr)^{\dagger} = \bigl( \langle\gamma_0\vert\langle 0\vert \bigr)U,$$

astfel că produsul intern al vectorului $(1)$ cu vectorul $(2)$ este

$$\bigl( \langle\gamma_0\vert\langle 0\vert \bigr)U U^{\dagger} \bigl( \vert \delta_1\rangle\vert 1 \rangle\bigr) = \bigl( \langle\gamma_0\vert\langle 0\vert \bigr) \bigl( \vert \delta_1\rangle\vert 1 \rangle\bigr) = \langle \gamma_0 \vert \delta_1\rangle \langle 0 \vert 1 \rangle = 0.$$

Am folosit faptul că $U U^{\dagger} = \mathbb{I}$, precum și faptul că produsul intern al produselor tensoriale este produsul produselor interne:

$$\langle u \otimes v \vert w \otimes x\rangle = \langle u \vert w\rangle \langle v \vert x\rangle$$

pentru orice alegere a acestor vectori (presupunând că $\vert u\rangle$ și $\vert w\rangle$ au același număr de intrări și $\vert v\rangle$ și $\vert x\rangle$ au același număr de intrări, astfel încât are sens să formăm produsele interne $\langle u\vert w\rangle$ și $\langle v\vert x \rangle$). Observă că valoarea produsului intern $\langle \gamma_0 \vert \delta_1\rangle$ este irelevantă deoarece se înmulțește cu $\langle 0 \vert 1 \rangle = 0$.

În final, calculând produsul intern al vectorilor din membrii stângi ai ecuațiilor $(1)$ și $(2)$ trebuie să obținem același zero pe care l-am calculat deja, deci

$$0 = \bigl( \vert 0\cdots 0\rangle \vert \psi\rangle\bigr)^{\dagger} \bigl(\vert 0\cdots 0\rangle\vert \phi\rangle\bigr) = \langle 0\cdots 0 \vert 0\cdots 0 \rangle \langle \psi \vert \phi \rangle = \langle \psi \vert \phi \rangle.$$

Am concluzionat astfel ceea ce doream, și anume că $\vert \psi\rangle$ și $\vert\phi\rangle$ sunt ortogonale: $\langle \psi \vert \phi \rangle = 0.$

Este posibil, apropo, să discriminăm perfect orice două stări care sunt ortogonale, ceea ce este reciproca enunțului pe care tocmai l-am demonstrat. Presupunem că cele două stări de discriminat sunt $\vert \phi\rangle$ și $\vert \psi\rangle$, unde $\langle \phi\vert\psi\rangle = 0$. Putem atunci discrimina perfect aceste stări efectuând măsurarea proiectivă descrisă de aceste matrice, de exemplu:

$$\bigl\{ \vert\phi\rangle\langle\phi\vert,\,\mathbb{I} - \vert\phi\rangle\langle\phi\vert \bigr\}.$$

Pentru starea $\vert\phi\rangle$, primul rezultat este întotdeauna obținut:

$$\begin{aligned} & \bigl\| \vert\phi\rangle\langle\phi\vert \vert\phi\rangle \bigr\|^2 = \bigl\| \vert\phi\rangle\langle\phi\vert\phi\rangle \bigr\|^2 = \bigl\| \vert\phi\rangle \bigr\|^2 = 1,\\[1mm] & \bigl\| (\mathbb{I} - \vert\phi\rangle\langle\phi\vert) \vert\phi\rangle \bigr\|^2 = \bigl\| \vert\phi\rangle - \vert\phi\rangle\langle\phi\vert\phi\rangle \bigr\|^2 = \bigl\| \vert\phi\rangle - \vert\phi\rangle \bigr\|^2 = 0. \end{aligned}$$

Iar pentru starea $\vert\psi\rangle$, al doilea rezultat este întotdeauna obținut:

$$\begin{aligned} & \bigl\| \vert\phi\rangle\langle\phi\vert \vert\psi\rangle \bigr\|^2 = \bigl\| \vert\phi\rangle\langle\phi\vert\psi\rangle \bigr\|^2 = \bigl\| 0 \bigr\|^2 = 0,\\[1mm] & \bigl\| (\mathbb{I} - \vert\phi\rangle\langle\phi\vert) \vert\psi\rangle \bigr\|^2 = \bigl\| \vert\psi\rangle - \vert\phi\rangle\langle\phi\vert\psi\rangle \bigr\|^2 = \bigl\| \vert\psi\rangle \bigr\|^2 = 1. \end{aligned}$$