Produse interioare și proiecții

Pentru a ne pregăti mai bine să explorăm capacitățile și limitările Circuit-urilor cuantice, introducem acum câteva concepte matematice suplimentare — și anume produsul interior dintre vectori (și legătura sa cu norma euclidiană), noțiunile de ortogonalitate și ortonormalitate pentru mulțimi de vectori, și matricele de proiecție, care ne vor permite să introducem o generalizare utilă a măsurătorilor în baze standard.

Produse interioare

Reamintim că atunci când folosim notația Dirac pentru a ne referi la un vector coloană arbitrar ca ket, de exemplu

$$\vert \psi \rangle = \begin{pmatrix} \alpha_1\\ \alpha_2\\ \vdots\\ \alpha_n \end{pmatrix},$$

vectorul bra corespunzător este transpusa conjugată a acestui vector:

$$\langle \psi \vert = \bigl(\vert \psi \rangle \bigr)^{\dagger} = \begin{pmatrix} \overline{\alpha_1} & \overline{\alpha_2} & \cdots & \overline{\alpha_n} \end{pmatrix}. \tag{1}$$

Alternativ, dacă avem în vedere o mulțime de stări clasice $\Sigma$ și exprimăm un vector coloană ca ket, de exemplu

$$\vert \psi \rangle = \sum_{a\in\Sigma} \alpha_a \vert a \rangle,$$

atunci vectorul linie (sau bra) corespunzător este transpusa conjugată

$$\langle \psi \vert = \sum_{a\in\Sigma} \overline{\alpha_a} \langle a \vert. \tag{2}$$

De asemenea, produsul dintre un vector bra și un vector ket, privite ca matrice cu un singur rând sau o singură coloană, produce un scalar. Concret, dacă avem doi vectori coloană

$$\vert \psi \rangle = \begin{pmatrix} \alpha_1\\ \alpha_2\\ \vdots\\ \alpha_n \end{pmatrix} \quad\text{and}\quad \vert \phi \rangle = \begin{pmatrix} \beta_1\\ \beta_2\\ \vdots\\ \beta_n \end{pmatrix},$$

astfel încât vectorul linie $\langle \psi \vert$ este cel din ecuația $(1)$, atunci

$$\langle \psi \vert \phi \rangle = \langle \psi \vert \vert \phi \rangle = \begin{pmatrix} \overline{\alpha_1} & \overline{\alpha_2} & \cdots & \overline{\alpha_n} \end{pmatrix} \begin{pmatrix} \beta_1\\ \beta_2\\ \vdots\\ \beta_n \end{pmatrix} = \overline{\alpha_1} \beta_1 + \cdots + \overline{\alpha_n}\beta_n.$$

Alternativ, dacă avem doi vectori coloană scriși ca

$$\vert \psi \rangle = \sum_{a\in\Sigma} \alpha_a \vert a \rangle \quad\text{and}\quad \vert \phi \rangle = \sum_{b\in\Sigma} \beta_b \vert b \rangle,$$

astfel încât $\langle \psi \vert$ este vectorul linie $(2)$, obținem că

$$\begin{aligned} \langle \psi \vert \phi \rangle & = \langle \psi \vert \vert \phi \rangle\\ & = \Biggl(\sum_{a\in\Sigma} \overline{\alpha_a} \langle a \vert\Biggr) \Biggl(\sum_{b\in\Sigma} \beta_b \vert b\rangle\Biggr)\\ & = \sum_{a\in\Sigma}\sum_{b\in\Sigma} \overline{\alpha_a} \beta_b \langle a \vert b \rangle\\ & = \sum_{a\in\Sigma} \overline{\alpha_a} \beta_a, \end{aligned}$$

unde ultima egalitate decurge din observația că $\langle a \vert a \rangle = 1$ și $\langle a \vert b \rangle = 0$ pentru stările clasice $a$ și $b$ cu $a\neq b$.

Valoarea $\langle \psi \vert \phi \rangle$ se numește produsul interior dintre vectorii $\vert \psi\rangle$ și $\vert \phi \rangle$. Produsele interioare sunt extrem de importante în informația și calculul cuantic; nu am putea avansa prea mult în înțelegerea informației cuantice la nivel matematic fără ele.

Să adunăm acum câteva fapte de bază despre produsele interioare ale vectorilor.

1. Relația cu norma euclidiană. Produsul interior al oricărui vector

   $$\vert \psi \rangle = \sum_{a\in\Sigma} \alpha_a \vert a \rangle$$

   cu el însuși este

   $$\langle \psi \vert \psi \rangle = \sum_{a\in\Sigma} \overline{\alpha_a} \alpha_a = \sum_{a\in\Sigma} \vert\alpha_a\vert^2 = \bigl\| \vert \psi \rangle \bigr\|^2.$$

   Astfel, norma euclidiană a unui vector poate fi exprimată alternativ ca

   $$\bigl\| \vert \psi \rangle \bigr\| = \sqrt{ \langle \psi \vert \psi \rangle }.$$

   Observă că norma euclidiană a unui vector trebuie să fie întotdeauna un număr real nenegativ. Mai mult, singurul mod în care norma euclidiană a unui vector poate fi egală cu zero este dacă fiecare intrare este egală cu zero, adică vectorul este vectorul nul.

   Putem rezuma aceste observații astfel: pentru orice vector $\vert \psi \rangle$ avem

   $$\langle \psi \vert \psi \rangle \geq 0,$$

   cu $\langle \psi \vert \psi \rangle = 0$ dacă și numai dacă $\vert \psi \rangle = 0$. Această proprietate a produsului interior este uneori numită definititudine pozitivă.

2. Simetrie conjugată. Pentru oricare doi vectori

   $$\vert \psi \rangle = \sum_{a\in\Sigma} \alpha_a \vert a \rangle \quad\text{and}\quad \vert \phi \rangle = \sum_{b\in\Sigma} \beta_b \vert b \rangle,$$

   avem

   $$\langle \psi \vert \phi \rangle = \sum_{a\in\Sigma} \overline{\alpha_a} \beta_a \quad\text{and}\quad \langle \phi \vert \psi \rangle = \sum_{a\in\Sigma} \overline{\beta_a} \alpha_a,$$

   și prin urmare

   $$\overline{\langle \psi \vert \phi \rangle} = \langle \phi \vert \psi \rangle.$$

3. Liniaritate în al doilea argument (și liniaritate conjugată în primul). Să presupunem că $\vert \psi \rangle,$ $\vert \phi_1 \rangle,$ și $\vert \phi_2 \rangle$ sunt vectori și $\alpha_1$ și $\alpha_2$ sunt numere complexe. Dacă definim un vector nou

   $$\vert \phi\rangle = \alpha_1 \vert \phi_1\rangle + \alpha_2 \vert \phi_2\rangle,$$

   atunci

   $$\langle \psi \vert \phi \rangle = \langle \psi \vert \bigl( \alpha_1\vert \phi_1 \rangle + \alpha_2\vert \phi_2 \rangle\bigr) = \alpha_1 \langle \psi \vert \phi_1 \rangle + \alpha_2 \langle \psi \vert \phi_2 \rangle.$$

   Cu alte cuvinte, produsul interior este liniar în al doilea argument. Acest lucru poate fi verificat fie prin formulele de mai sus, fie observând pur și simplu că înmulțirea matriceală este liniară în fiecare argument (și în special în al doilea).

   Combinând acest fapt cu simetria conjugată, rezultă că produsul interior este conjugat liniar în primul argument. Adică, dacă $\vert \psi_1 \rangle,$ $\vert \psi_2 \rangle,$ și $\vert \phi \rangle$ sunt vectori și $\alpha_1$ și $\alpha_2$ sunt numere complexe, și definim

   $$\vert \psi \rangle = \alpha_1 \vert \psi_1\rangle + \alpha_2 \vert \psi_2 \rangle,$$

   atunci

   $$\langle \psi \vert \phi \rangle = \bigl( \overline{\alpha_1} \langle \psi_1 \vert + \overline{\alpha_2} \langle \psi_2 \vert \bigr) \vert\phi\rangle = \overline{\alpha_1} \langle \psi_1 \vert \phi \rangle + \overline{\alpha_2} \langle \psi_2 \vert \phi \rangle.$$

4. Inegalitatea Cauchy–Schwarz. Pentru orice alegere de vectori $\vert \phi \rangle$ și $\vert \psi \rangle$ cu același număr de intrări, avem

   $$\bigl\vert \langle \psi \vert \phi \rangle\bigr| \leq \bigl\| \vert\psi \rangle \bigr\| \bigl\| \vert \phi \rangle \bigr\|.$$

   Aceasta este o inegalitate extrem de utilă, folosită foarte frecvent în informația cuantică (și în multe alte domenii de studiu).

Mulțimi ortogonale și ortonormate

Doi vectori $\vert \phi \rangle$ și $\vert \psi \rangle$ sunt numiți ortogonali dacă produsul lor interior este zero:

$$\langle \psi \vert \phi \rangle = 0.$$

Din punct de vedere geometric, putem să ne gândim la vectorii ortogonali ca la vectori care formează unghiuri drepte între ei.

O mulțime de vectori $\{ \vert \psi_1\rangle,\ldots,\vert\psi_m\rangle\}$ se numește mulțime ortogonală dacă fiecare vector din mulțime este ortogonal față de toți ceilalți vectori din mulțime. Adică, această mulțime este ortogonală dacă

$$\langle \psi_j \vert \psi_k\rangle = 0$$

pentru orice alegere a lui $j,k\in\{1,\ldots,m\}$ cu $j\neq k$.

O mulțime de vectori $\{ \vert \psi_1\rangle,\ldots,\vert\psi_m\rangle\}$ se numește ortonormată dacă este o mulțime ortogonală și, în plus, fiecare vector din mulțime este un vector unitar. Alternativ, această mulțime este ortonormată dacă avem

$$\langle \psi_j \vert \psi_k\rangle = \begin{cases} 1 & j = k\\[1mm] 0 & j\neq k \end{cases} \tag{3}$$

pentru orice alegere a lui $j,k\in\{1,\ldots,m\}$.

În fine, o mulțime $\{ \vert \psi_1\rangle,\ldots,\vert\psi_m\rangle\}$ este o bază ortonormată dacă, pe lângă faptul că este o mulțime ortonormată, formează și o bază. Acest lucru este echivalent cu faptul că $\{ \vert \psi_1\rangle,\ldots,\vert\psi_m\rangle\}$ este o mulțime ortonormată și $m$ este egal cu dimensiunea spațiului din care sunt luați $\vert \psi_1\rangle,\ldots,\vert\psi_m\rangle.$

De exemplu, pentru orice mulțime de stări clasice $\Sigma$, mulțimea tuturor vectorilor bazei standard

$$\big\{ \vert a \rangle \,:\, a\in\Sigma\bigr\}$$

este o bază ortonormată. Mulțimea $\{\vert+\rangle,\vert-\rangle\}$ este o bază ortonormată pentru spațiul de dimensiune $2$ corespunzător unui singur Qubit, iar baza Bell $\{\vert\phi^+\rangle, \vert\phi^-\rangle, \vert\psi^+\rangle, \vert\psi^-\rangle\}$ este o bază ortonormată pentru spațiul de dimensiune $4$ corespunzător a doi Qubiți.

Extinderea mulțimilor ortonormate la baze ortonormate

Presupune că $\vert\psi_1\rangle,\ldots,\vert\psi_m\rangle$ sunt vectori care aparțin unui spațiu $n$-dimensional și că $\{\vert\psi_1\rangle,\ldots,\vert\psi_m\rangle\}$ este o mulțime ortonormată. Mulțimile ortonormate sunt întotdeauna mulțimi liniar independente, deci acești vectori generează în mod necesar un subspațiu de dimensiune $m$. De aici concluzionăm că $m\leq n$, deoarece dimensiunea subspațiului generat de acești vectori nu poate fi mai mare decât dimensiunea întregului spațiu din care sunt luați.

Dacă $m<n$, atunci este întotdeauna posibil să alegem încă $n-m$ vectori $\vert \psi_{m+1}\rangle,\ldots,\vert\psi_n\rangle$ astfel încât $\{\vert\psi_1\rangle,\ldots,\vert\psi_n\rangle\}$ să formeze o bază ortonormată. O procedură cunoscută sub numele de procesul de ortonormare Gram–Schmidt poate fi utilizată pentru a construi acești vectori.

Mulțimi ortonormate și matrice unitare

Mulțimile ortonormate de vectori sunt strâns legate de matricele unitare. Un mod de a exprima această legătură este să spunem că următoarele trei afirmații sunt logic echivalente (adică fie toate sunt adevărate, fie toate sunt false) pentru orice alegere a unei matrice pătrate $U$:

1. Matricea $U$ este unitară (adică, $U^{\dagger} U = \mathbb{I} = U U^{\dagger}$).

2. Liniile lui $U$ formează o mulțime ortonormată.

3. Coloanele lui $U$ formează o mulțime ortonormată.

Această echivalență este de fapt destul de directă când ne gândim la modul în care funcționează înmulțirea matricelor și transpusa conjugată. Presupune, de exemplu, că avem o matrice $3\times 3$ de forma:

$$U = \begin{pmatrix} \alpha_{1,1} & \alpha_{1,2} & \alpha_{1,3} \\[1mm] \alpha_{2,1} & \alpha_{2,2} & \alpha_{2,3} \\[1mm] \alpha_{3,1} & \alpha_{3,2} & \alpha_{3,3} \end{pmatrix}$$

Transpusa conjugată a lui $U$ arată astfel:

$$U^{\dagger} = \begin{pmatrix} \overline{\alpha_{1,1}} & \overline{\alpha_{2,1}} & \overline{\alpha_{3,1}} \\[1mm] \overline{\alpha_{1,2}} & \overline{\alpha_{2,2}} & \overline{\alpha_{3,2}} \\[1mm] \overline{\alpha_{1,3}} & \overline{\alpha_{2,3}} & \overline{\alpha_{3,3}} \end{pmatrix}$$

Înmulțind cele două matrice, cu transpusa conjugată în stânga, obținem această matrice:

$$\begin{aligned} &\begin{pmatrix} \overline{\alpha_{1,1}} & \overline{\alpha_{2,1}} & \overline{\alpha_{3,1}} \\[1mm] \overline{\alpha_{1,2}} & \overline{\alpha_{2,2}} & \overline{\alpha_{3,2}} \\[1mm] \overline{\alpha_{1,3}} & \overline{\alpha_{2,3}} & \overline{\alpha_{3,3}} \end{pmatrix} \begin{pmatrix} \alpha_{1,1} & \alpha_{1,2} & \alpha_{1,3} \\[1mm] \alpha_{2,1} & \alpha_{2,2} & \alpha_{2,3} \\[1mm] \alpha_{3,1} & \alpha_{3,2} & \alpha_{3,3} \end{pmatrix}\\[4mm] \quad &= \begin{pmatrix} \overline{\alpha_{1,1}}\alpha_{1,1} + \overline{\alpha_{2,1}}\alpha_{2,1} + \overline{\alpha_{3,1}}\alpha_{3,1} & \overline{\alpha_{1,1}}\alpha_{1,2} + \overline{\alpha_{2,1}}\alpha_{2,2} + \overline{\alpha_{3,1}}\alpha_{3,2} & \overline{\alpha_{1,1}}\alpha_{1,3} + \overline{\alpha_{2,1}}\alpha_{2,3} + \overline{\alpha_{3,1}}\alpha_{3,3} \\[2mm] \overline{\alpha_{1,2}}\alpha_{1,1} + \overline{\alpha_{2,2}}\alpha_{2,1} + \overline{\alpha_{3,2}}\alpha_{3,1} & \overline{\alpha_{1,2}}\alpha_{1,2} + \overline{\alpha_{2,2}}\alpha_{2,2} + \overline{\alpha_{3,2}}\alpha_{3,2} & \overline{\alpha_{1,2}}\alpha_{1,3} + \overline{\alpha_{2,2}}\alpha_{2,3} + \overline{\alpha_{3,2}}\alpha_{3,3} \\[2mm] \overline{\alpha_{1,3}}\alpha_{1,1} + \overline{\alpha_{2,3}}\alpha_{2,1} + \overline{\alpha_{3,3}}\alpha_{3,1} & \overline{\alpha_{1,3}}\alpha_{1,2} + \overline{\alpha_{2,3}}\alpha_{2,2} + \overline{\alpha_{3,3}}\alpha_{3,2} & \overline{\alpha_{1,3}}\alpha_{1,3} + \overline{\alpha_{2,3}}\alpha_{2,3} + \overline{\alpha_{3,3}}\alpha_{3,3} \end{pmatrix} \end{aligned}$$

Dacă formăm trei vectori din coloanele lui $U$,

$$\vert \psi_1\rangle = \begin{pmatrix} \alpha_{1,1}\\ \alpha_{2,1}\\ \alpha_{3,1} \end{pmatrix}, \quad \vert \psi_2\rangle = \begin{pmatrix} \alpha_{1,2}\\ \alpha_{2,2}\\ \alpha_{3,2} \end{pmatrix}, \quad \vert \psi_3\rangle = \begin{pmatrix} \alpha_{1,3}\\ \alpha_{2,3}\\ \alpha_{3,3} \end{pmatrix},$$

atunci putem exprima alternativ produsul de mai sus astfel:

$$U^{\dagger} U = \begin{pmatrix} \langle \psi_1\vert \psi_1 \rangle & \langle \psi_1\vert \psi_2 \rangle & \langle \psi_1\vert \psi_3 \rangle \\ \langle \psi_2\vert \psi_1 \rangle & \langle \psi_2\vert \psi_2 \rangle & \langle \psi_2\vert \psi_3 \rangle \\ \langle \psi_3\vert \psi_1 \rangle & \langle \psi_3\vert \psi_2 \rangle & \langle \psi_3\vert \psi_3 \rangle \end{pmatrix}$$

Referindu-ne la ecuația $(3)$, observăm acum că condiția ca această matrice să fie egală cu matricea identitate este echivalentă cu ortonormalitatea mulțimii $\{\vert\psi_1\rangle,\vert\psi_2\rangle,\vert\psi_3\rangle\}$.

Acest argument se generalizează la matrice unitare de orice dimensiune. Faptul că liniile unei matrice formează o bază ortonormată dacă și numai dacă matricea este unitară rezultă din faptul că o matrice este unitară dacă și numai dacă transpusa sa este unitară.

Dat fiind echivalența descrisă mai sus, împreună cu faptul că orice mulțime ortonormată poate fi extinsă pentru a forma o bază ortonormată, concluzionăm următorul fapt util: Dată orice mulțime ortonormată de vectori $\{\vert\psi_1\rangle,\ldots,\vert\psi_m\rangle\}$ luați dintr-un spațiu $n$-dimensional, există o matrice unitară $U$ ale cărei prime $m$ coloane sunt vectorii $\vert\psi_1\rangle,\ldots,\vert\psi_m\rangle$. Ilustrativ, putem găsi întotdeauna o matrice unitară de această formă:

$$U = \left( \begin{array}{ccccccc} \rule{0.4pt}{10pt} & \rule{0.4pt}{10pt} & & \rule{0.4pt}{10pt} & \rule{0.4pt}{10pt} & & \rule{0.4pt}{10pt}\\ \vert\psi_1\rangle & \vert\psi_2\rangle & \cdots & \vert\psi_m\rangle & \vert\psi_{m+1}\rangle & \cdots & \vert\psi_n\rangle\\[2mm] \rule{0.4pt}{10pt} & \rule{0.4pt}{10pt} & & \rule{0.4pt}{10pt} & \rule{0.4pt}{10pt} & & \rule{0.4pt}{10pt} \end{array} \right).$$

Aici, ultimele $n-m$ coloane sunt completate cu orice alegere de vectori $\vert\psi_{m+1}\rangle,\ldots,\vert\psi_n\rangle$ care fac ca $\{\vert\psi_1\rangle,\ldots,\vert\psi_n\rangle\}$ să fie o bază ortonormată.

Proiecții și măsurători proiective

Matrice de proiecție

O matrice pătratică $\Pi$ se numește proiecție dacă satisface două proprietăți:

1. $\Pi = \Pi^{\dagger}$.

2. $\Pi^2 = \Pi$.

Matricele care satisfac prima condiție — că sunt egale cu transpusa lor conjugată — se numesc matrice hermitiene, iar matricele care satisfac a doua condiție — că ridicarea lor la pătrat le lasă nemodificate — se numesc matrice idempotente.

Ca o notă de precauție, cuvântul proiecție este uneori folosit pentru a se referi la orice matrice care satisface doar a doua condiție, dar nu neapărat și pe prima, și când se procedează astfel, termenul proiecție ortogonală este utilizat în mod tipic pentru a se referi la matricele care satisfac ambele proprietăți. În contextul informației și calculului cuantic, totuși, termenii proiecție și matrice de proiecție se referă mai frecvent la matricele care satisfac ambele condiții.

Un exemplu de proiecție este matricea

$$\Pi = \vert \psi \rangle \langle \psi \vert \tag{4}$$

pentru orice vector unitar $\vert \psi\rangle$. Putem vedea că această matrice este hermitiană astfel:

$$\Pi^{\dagger} = \bigl( \vert \psi \rangle \langle \psi \vert \bigr)^{\dagger} = \bigl( \langle \psi \vert \bigr)^{\dagger}\bigl( \vert \psi \rangle \bigr)^{\dagger} = \vert \psi \rangle \langle \psi \vert = \Pi.$$

Aici, pentru a obține a doua egalitate, am folosit formula

$$(A B)^{\dagger} = B^{\dagger} A^{\dagger},$$

care este întotdeauna adevărată, pentru oricare două matrice $A$ și $B$ pentru care produsul $AB$ are sens.

Pentru a vedea că matricea $\Pi$ din $(4)$ este idempotentă, putem folosi ipoteza că $\vert\psi\rangle$ este un vector unitar, astfel încât satisface $\langle \psi \vert \psi\rangle = 1$. Astfel, avem

$$\Pi^2 = \bigl( \vert\psi\rangle\langle \psi\vert \bigr)^2 = \vert\psi\rangle\langle \psi\vert\psi\rangle\langle\psi\vert = \vert\psi\rangle\langle\psi\vert = \Pi.$$

Mai general, dacă $\{\vert \psi_1\rangle,\ldots,\vert \psi_m\rangle\}$ este orice mulțime ortonormată de vectori, atunci matricea

$$\Pi = \sum_{k = 1}^m \vert \psi_k\rangle \langle \psi_k \vert \tag{5}$$

este o proiecție. Mai precis, avem

$$\begin{aligned} \Pi^{\dagger} &= \biggl(\sum_{k = 1}^m \vert \psi_k\rangle \langle \psi_k \vert\biggr)^{\dagger} \\ &= \sum_{k = 1}^m \bigl(\vert\psi_k\rangle\langle\psi_k\vert\bigr)^{\dagger} \\ &= \sum_{k = 1}^m \vert \psi_k\rangle \langle \psi_k \vert\\ &= \Pi, \end{aligned}$$

și

$$\begin{aligned} \Pi^2 & = \biggl( \sum_{j = 1}^m \vert \psi_j\rangle \langle \psi_j \vert\Bigr)\Bigl(\sum_{k = 1}^m \vert \psi_k\rangle \langle \psi_k \vert\biggr) \\ & = \sum_{j = 1}^m\sum_{k = 1}^m \vert \psi_j\rangle \langle \psi_j \vert \psi_k\rangle \langle \psi_k \vert \\ & = \sum_{k = 1}^m \vert \psi_k\rangle \langle \psi_k \vert\\ & = \Pi, \end{aligned}$$

unde ortonormalitatea lui $\{\vert \psi_1\rangle,\ldots,\vert \psi_m\rangle\}$ implică penultima egalitate.

De fapt, aceasta epuizează toate posibilitățile: orice proiecție $\Pi$ poate fi scrisă în forma $(5)$ pentru o anumită alegere a unei mulțimi ortonormate $\{\vert \psi_1\rangle,\ldots,\vert \psi_m\rangle\}$. (Tehnic vorbind, matricea zero $\Pi=0$, care este o proiecție, este un caz special. Pentru a o integra în forma generală $(5)$ trebuie să permitem posibilitatea ca suma să fie vidă, rezultând matricea zero.)

Măsurători proiective

Noțiunea de măsurătoare a unui sistem cuantic este mai generală decât simpla măsurătoare în baza standard. Măsurătorile proiective sunt măsurători descrise de o colecție de proiecții a căror sumă este egală cu matricea identitate. În termeni simbolici, o colecție $\{\Pi_0,\ldots,\Pi_{m-1}\}$ de matrice de proiecție descrie o măsurătoare proiectivă dacă

$$\Pi_0 + \cdots + \Pi_{m-1} = \mathbb{I}.$$

Când o astfel de măsurătoare este efectuată asupra unui sistem $\mathsf{X}$ aflat în starea $\vert\psi\rangle$, se întâmplă două lucruri:

1. Pentru fiecare $k\in\{0,\ldots,m-1\}$, rezultatul măsurătorii este $k$ cu probabilitatea egală cu

   $$\operatorname{Pr}\bigl(\text{rezultatul este $k$}\bigr) = \bigl\| \Pi_k \vert \psi \rangle \bigr\|^2.$$

2. Pentru orice rezultat $k$ produs de măsurătoare, starea lui $\mathsf{X}$ devine

   $$\frac{\Pi_k \vert\psi\rangle}{\bigl\|\Pi_k \vert\psi\rangle\bigr\|}.$$

Putem alege și alte rezultate decât $\{0,\ldots,m-1\}$ pentru măsurătorile proiective, dacă dorim. Mai general, pentru orice mulțime finită și nevidă $\Sigma$, dacă avem o colecție de matrice de proiecție

$$\{\Pi_a:a\in\Sigma\}$$

care satisface condiția

$$\sum_{a\in\Sigma} \Pi_a = \mathbb{I},$$

atunci această colecție descrie o măsurătoare proiectivă ale cărei rezultate posibile coincid cu mulțimea $\Sigma$, unde regulile sunt aceleași ca înainte:

1. Pentru fiecare $a\in\Sigma$, rezultatul măsurătorii este $a$ cu probabilitatea egală cu

   $$\operatorname{Pr}\bigl(\text{rezultatul este $a$}\bigr) = \bigl\| \Pi_a \vert \psi \rangle \bigr\|^2.$$

2. Pentru orice rezultat $a$ produs de măsurătoare, starea lui $\mathsf{X}$ devine

   $$\frac{\Pi_a \vert\psi\rangle}{\bigl\|\Pi_a \vert\psi\rangle\bigr\|}.$$

De exemplu, măsurătorile în baza standard sunt echivalente cu măsurătorile proiective, unde $\Sigma$ este mulțimea stărilor clasice ale sistemului $\mathsf{X}$ despre care vorbim, iar colecția de matrice de proiecție este $\{\vert a\rangle\langle a\vert:a\in\Sigma\}$.

Un alt exemplu de măsurătoare proiectivă, de această dată pe doi Qubiți $(\mathsf{X},\mathsf{Y})$, este dat de mulțimea $\{\Pi_0,\Pi_1\}$, unde

$$\Pi_0 = \vert \phi^+\rangle\langle \phi^+ \vert + \vert \phi^-\rangle\langle \phi^- \vert + \vert \psi^+\rangle\langle \psi^+ \vert \quad\text{and}\quad \Pi_1 = \vert\psi^-\rangle\langle\psi^-\vert.$$

Dacă avem mai multe sisteme care se află împreună într-o stare cuantică și o măsurătoare proiectivă este efectuată doar pe unul dintre sisteme, acțiunea este similară cu cea pe care am văzut-o pentru măsurătorile în baza standard — și de fapt acum putem descrie această acțiune în termeni mult mai simpli decât înainte.

Mai precis, să presupunem că avem două sisteme $(\mathsf{X},\mathsf{Y})$ într-o stare cuantică $\vert\psi\rangle$, iar o măsurătoare proiectivă descrisă de colecția $\{\Pi_a : a\in\Sigma\}$ este efectuată asupra sistemului $\mathsf{X}$, în timp ce asupra lui $\mathsf{Y}$ nu se face nimic. A face acest lucru este echivalent cu efectuarea măsurătorii proiective descrise de colecția

$$\bigl\{ \Pi_a \otimes \mathbb{I} \,:\, a\in\Sigma\bigr\}$$

pe sistemul comun $(\mathsf{X},\mathsf{Y})$. Fiecare rezultat al măsurătorii $a$ apare cu probabilitatea

$$\bigl\| (\Pi_a \otimes \mathbb{I})\vert \psi\rangle \bigr\|^2,$$

iar condiționat de apariția rezultatului $a,$ starea sistemului comun $(\mathsf{X},\mathsf{Y})$ devine

$$\frac{(\Pi_a \otimes \mathbb{I})\vert \psi\rangle}{\bigl\| (\Pi_a \otimes \mathbb{I})\vert \psi\rangle \bigr\|}.$$

Implementarea măsurătorilor proiective

Orice măsurătoare proiectivă poate fi implementată folosind operații unitare, măsurători în baza standard și un sistem de lucru suplimentar, după cum se va explica în cele ce urmează.

Să presupunem că $\mathsf{X}$ este un sistem și că $\{\Pi_0,\ldots,\Pi_{m-1}\}$ este o măsurătoare proiectivă pe $\mathsf{X}$. Putem generaliza cu ușurință această discuție la măsurători proiective cu diferite mulțimi de rezultate, dar în interesul clarității și simplității vom presupune că mulțimea rezultatelor posibile ale măsurătorii noastre este $\{0,\ldots,m-1\}$.

Să observăm explicit că $m$ nu trebuie să fie neapărat egal cu numărul de stări clasice ale lui $\mathsf{X}$ — vom nota cu $n$ numărul de stări clasice ale lui $\mathsf{X}$, ceea ce înseamnă că fiecare matrice $\Pi_k$ este o matrice de proiecție $n\times n$.

Deoarece presupunem că $\{\Pi_0\ldots,\Pi_{m-1}\}$ reprezintă o măsurătoare proiectivă, este în mod necesar adevărat că

$$\sum_{k = 0}^{m-1} \Pi_k = \mathbb{I}_n.$$

Scopul nostru este de a realiza un proces care are același efect ca efectuarea acestei măsurători proiective pe $\mathsf{X}$, dar să facem acest lucru folosind doar operații unitare și măsurători în baza standard.

Vom folosi un sistem de lucru suplimentar $\mathsf{Y}$ pentru a face asta, și în mod specific vom lua mulțimea stărilor clasice ale lui $\mathsf{Y}$ ca fiind $\{0,\ldots,m-1\}$, care coincide cu mulțimea rezultatelor măsurătorii proiective. Ideea este că vom efectua o măsurătoare în baza standard pe $\mathsf{Y}$ și vom interpreta rezultatul acestei măsurători ca echivalent cu rezultatul măsurătorii proiective pe $\mathsf{X}$. Va trebui să presupunem că $\mathsf{Y}$ este inițializat la o stare fixă, pe care o vom alege ca fiind $\vert 0\rangle$. (Orice altă alegere a unui vector de stare cuantică fixă ar putea funcționa, dar alegerea $\vert 0\rangle$ face explicația ce urmează mult mai simplă.)

Desigur, pentru ca o măsurătoare în baza standard a lui $\mathsf{Y}$ să ne spună ceva despre $\mathsf{X}$, va trebui să permitem lui $\mathsf{X}$ și $\mathsf{Y}$ să interacționeze cumva înainte de a măsura $\mathsf{Y}$, efectuând o operație unitară pe sistemul $(\mathsf{Y},\mathsf{X})$. Să considerăm mai întâi această matrice:

$$M = \sum_{k = 0}^{m-1} \vert k \rangle \langle 0 \vert \otimes \Pi_k.$$

Exprimată explicit ca o așa-numită matrice bloc, care este în esență o matrice de matrice pe care o interpretăm ca o singură matrice mai mare, $M$ arată astfel:

$$M = \begin{pmatrix} \Pi_0 & 0 & \cdots & 0\\[1mm] \Pi_1 & 0 & \cdots & 0\\[1mm] \vdots & \vdots & \ddots & \vdots\\[1mm] \Pi_{m-1} & 0 & \cdots & 0 \end{pmatrix}.$$

Aici, fiecare $0$ reprezintă o matrice $n\times n$ umplută în întregime cu zerouri, astfel că întreaga matrice $M$ este o matrice $nm\times nm.$

Acum, $M$ nu este cu siguranță o matrice unitară (cu excepția cazului $m=1,$ în care $\Pi_0 = \mathbb{I},$ dând $M = \mathbb{I}$ în acest caz trivial) deoarece matricele unitare nu pot avea coloane (sau rânduri) cu totul zero; matricele unitare au coloane care formează baze ortonormate, iar vectorul zero nu este un vector unitar.

Totuși, este adevărat că primele $n$ coloane ale matricei $M$ sunt ortonormate, și deducem asta din presupunerea că $\{\Pi_0,\ldots,\Pi_{m-1}\}$ este o măsurătoare. Pentru a verifica această afirmație, observă că pentru fiecare $j\in\{0,\ldots,n-1\}$, vectorul format de coloana $j$ a lui $M$ este:

$$\vert \psi_j\rangle = M \vert 0, j\rangle = \sum_{k = 0}^{m-1} \vert k \rangle \otimes \Pi_k \vert j\rangle.$$

Observă că numerotăm coloanele începând de la coloana $0$. Calculând produsul interior al coloanei $i$ cu coloana $j$ pentru $i,j\in\{0,\ldots,n-1\}$ obținem

$$\begin{aligned} \langle \psi_i \vert \psi_j \rangle & = \biggl(\sum_{k = 0}^{m-1} \vert k \rangle \otimes \Pi_k \vert i\rangle\biggr)^{\dagger} \biggl(\sum_{l = 0}^{m-1} \vert l \rangle \otimes \Pi_l \vert j\rangle\biggr) \\ & = \sum_{k = 0}^{m-1} \sum_{l = 0}^{m-1} \langle k \vert l \rangle \langle i \vert \Pi_k \Pi_l \vert j\rangle\\ & = \sum_{k = 0}^{m-1} \langle i \vert \Pi_k \Pi_k \vert j\rangle\\ & = \sum_{k = 0}^{m-1} \langle i \vert \Pi_k \vert j\rangle\\ & = \langle i \vert \mathbb{I} \vert j \rangle\\ & = \begin{cases} 1 & i = j\\ 0 & i\neq j, \end{cases} \end{aligned}$$

ceea ce era de demonstrat.

Astfel, deoarece primele $n$ coloane ale matricei $M$ sunt ortonormate, putem înlocui toate intrările zero rămase cu alte valori ale numerelor complexe astfel încât întreaga matrice să fie unitară.

$$U = \begin{pmatrix} \Pi_0 & \fbox{?} & \cdots & \fbox{?}\\[1mm] \Pi_1 & \fbox{?} & \cdots & \fbox{?}\\[1mm] \vdots & \vdots & \ddots & \vdots\\[1mm] \Pi_{m-1} & \fbox{?} & \cdots & \fbox{?} \end{pmatrix}$$

Dacă ni se dau matricele $\Pi_0,\ldots,\Pi_{m-1}$, putem calcula matrice potrivite pentru a umple blocurile marcate cu $\fbox{?}$ din ecuație — folosind procesul Gram–Schmidt — dar nu contează specific ce anume sunt aceste matrice în scopul acestei discuții.

În final putem descrie procesul de măsurătoare: mai întâi aplicăm $U$ pe sistemul comun $(\mathsf{Y},\mathsf{X})$ și apoi măsurăm $\mathsf{Y}$ printr-o măsurătoare în baza standard. Pentru o stare arbitrară $\vert \phi \rangle$ a lui $\mathsf{X}$, obținem starea

$$U \bigl( \vert 0\rangle \vert \phi\rangle\bigr) = M \bigl( \vert 0\rangle \vert \phi\rangle\bigr) = \sum_{k = 0}^{m-1} \vert k\rangle \otimes \Pi_k \vert\phi\rangle,$$

unde prima egalitate decurge din faptul că $U$ și $M$ coincid pe primele $n$ coloane ale lor. Când efectuăm o măsurătoare proiectivă pe $\mathsf{Y}$, obținem fiecare rezultat $k$ cu probabilitatea

$$\bigl\| \Pi_k \vert \phi\rangle \bigr\|^2,$$

caz în care starea lui $(\mathsf{Y},\mathsf{X})$ devine

$$\vert k\rangle \otimes \frac{\Pi_k \vert \phi\rangle}{\bigl\| \Pi_k \vert \phi\rangle \bigr\|}.$$

Astfel, $\mathsf{Y}$ stochează o copie a rezultatului măsurătorii, iar $\mathsf{X}$ se modifică exact cum s-ar fi modificat dacă măsurătoarea proiectivă descrisă de $\{\Pi_0,\ldots,\Pi_{m-1}\}$ ar fi fost efectuată direct pe $\mathsf{X}.$