Informație cuantică

Suntem acum pregătiți să trecem la informația cuantică în contextul sistemelor multiple. La fel ca în lecția anterioară despre sistemele individuale, descrierea matematică a informației cuantice pentru sisteme multiple este destul de similară cu cazul probabilistic și folosește concepte și tehnici asemănătoare.

Stări cuantice

Sistemele multiple pot fi privite colectiv ca sisteme unice, compuse. Am observat deja acest lucru în cadrul probabilistic, iar cadrul cuantic este analogic. Stările cuantice ale sistemelor multiple sunt reprezentate, prin urmare, de vectori coloană cu intrări de numere complexe și normă euclidiană egală cu $1,$ la fel ca stările cuantice ale sistemelor individuale. În cazul sistemelor multiple, intrările acestor vectori sunt puse în corespondență cu produsul cartezian al mulțimilor de stări clasice asociate fiecăruia dintre sistemele individuale, deoarece acesta este setul de stări clasice al sistemului compus.

De exemplu, dacă $\mathsf{X}$ și $\mathsf{Y}$ sunt qubiți, atunci mulțimea stărilor clasice a perechii de qubiți $(\mathsf{X},\mathsf{Y}),$ privită colectiv ca un sistem unic, este produsul cartezian $\{0,1\}\times\{0,1\}.$ Reprezentând perechile de valori binare ca șiruri binare de lungime doi, asociem această mulțime produs cartezian cu mulțimea $\{00,01,10,11\}.$ Următorii vectori sunt, prin urmare, exemple de vectori de stare cuantică ai perechii $(\mathsf{X},\mathsf{Y}):$

$$\frac{1}{\sqrt{2}} \vert 00 \rangle - \frac{1}{\sqrt{6}} \vert 01\rangle + \frac{i}{\sqrt{6}} \vert 10\rangle + \frac{1}{\sqrt{6}} \vert 11\rangle, \quad \frac{3}{5} \vert 00\rangle - \frac{4}{5} \vert 11\rangle, \quad \text{and} \quad \vert 01 \rangle.$$

Există variante în modul în care sunt exprimați vectorii de stare cuantică ai sistemelor multiple, iar noi putem alege orice variantă ni se potrivește. Iată câteva exemple pentru primul vector de stare cuantică de mai sus.

1. Putem folosi faptul că $\vert ab\rangle = \vert a\rangle \vert b\rangle$ (pentru orice stări clasice $a$ și $b$) pentru a scrie în schimb

   $$\frac{1}{\sqrt{2}} \vert 0\rangle\vert 0 \rangle - \frac{1}{\sqrt{6}} \vert 0\rangle\vert 1\rangle + \frac{i}{\sqrt{6}} \vert 1\rangle\vert 0\rangle + \frac{1}{\sqrt{6}} \vert 1\rangle\vert 1\rangle.$$

2. Putem alege să scriem explicit simbolul produsului tensorial astfel:

   $$\frac{1}{\sqrt{2}} \vert 0\rangle\otimes\vert 0 \rangle - \frac{1}{\sqrt{6}} \vert 0\rangle\otimes\vert 1\rangle + \frac{i}{\sqrt{6}} \vert 1\rangle\otimes\vert 0\rangle + \frac{1}{\sqrt{6}} \vert 1\rangle\otimes\vert 1\rangle.$$

3. Putem adăuga indici la kets pentru a indica corespondența lor cu sistemele avute în vedere, astfel:

   $$\frac{1}{\sqrt{2}} \vert 0\rangle_{\mathsf{X}}\vert 0 \rangle_{\mathsf{Y}} - \frac{1}{\sqrt{6}} \vert 0\rangle_{\mathsf{X}}\vert 1\rangle_{\mathsf{Y}} + \frac{i}{\sqrt{6}} \vert 1\rangle_{\mathsf{X}}\vert 0\rangle_{\mathsf{Y}} + \frac{1}{\sqrt{6}} \vert 1\rangle_{\mathsf{X}}\vert 1\rangle_{\mathsf{Y}}.$$

Desigur, putem scrie și vectorii de stare cuantică explicit ca vectori coloană:

$$\begin{pmatrix} \frac{1}{\sqrt{2}}\\[2mm] - \frac{1}{\sqrt{6}}\\[2mm] \frac{i}{\sqrt{6}}\\[2mm] \frac{1}{\sqrt{6}} \end{pmatrix}.$$

În funcție de contextul în care apare, una dintre aceste variante poate fi preferată — dar toate sunt echivalente în sensul că descriu același vector.

Produse tensoriale ale vectorilor de stare cuantică

Similar cu ceea ce avem pentru vectorii de probabilitate, produsele tensoriale ale vectorilor de stare cuantică sunt și ele vectori de stare cuantică — și din nou reprezintă independența dintre sisteme.

Mai în detaliu, și începând cu cazul a două sisteme, să presupunem că $\vert \phi \rangle$ este un vector de stare cuantică al unui sistem $\mathsf{X}$ și $\vert \psi \rangle$ este un vector de stare cuantică al unui sistem $\mathsf{Y}.$ Produsul tensorial $\vert \phi \rangle \otimes \vert \psi \rangle,$ care poate fi scris alternativ ca $\vert \phi \rangle \vert \psi \rangle$ sau ca $\vert \phi \otimes \psi \rangle,$ este atunci un vector de stare cuantică al sistemului comun $(\mathsf{X},\mathsf{Y}).$ Din nou, ne referim la o stare de această formă ca fiind o stare produs.

Intuitiv vorbind, atunci când o pereche de sisteme $(\mathsf{X},\mathsf{Y})$ se află într-o stare produs $\vert \phi \rangle \otimes \vert \psi \rangle,$ putem interpreta aceasta ca însemnând că $\mathsf{X}$ se află în starea cuantică $\vert \phi \rangle,$ $\mathsf{Y}$ se află în starea cuantică $\vert \psi \rangle,$ iar stările celor două sisteme nu au nicio legătură una cu cealaltă.

Faptul că vectorul produs tensorial $\vert \phi \rangle \otimes \vert \psi \rangle$ este într-adevăr un vector de stare cuantică este consistent cu norma euclidiană fiind multiplicativă față de produsele tensoriale:

$$\begin{aligned} \bigl\| \vert \phi \rangle \otimes \vert \psi \rangle \bigr\| & = \sqrt{ \sum_{(a,b)\in\Sigma\times\Gamma} \bigl\vert\langle ab \vert \phi\otimes\psi \rangle \bigr\vert^2 }\\[1mm] & = \sqrt{ \sum_{a\in\Sigma} \sum_{b\in\Gamma} \bigl\vert\langle a \vert \phi \rangle \langle b \vert \psi \rangle \bigr\vert^2 }\\[1mm] & = \sqrt{ \biggl(\sum_{a\in\Sigma} \bigl\vert \langle a \vert \phi \rangle \bigr\vert^2 \biggr) \biggl(\sum_{b\in\Gamma} \bigl\vert \langle b \vert \psi \rangle \bigr\vert^2 \biggr) }\\[1mm] & = \bigl\| \vert \phi \rangle \bigr\| \bigl\| \vert \psi \rangle \bigr\|. \end{aligned}$$

Deoarece $\vert \phi \rangle$ și $\vert \psi \rangle$ sunt vectori de stare cuantică, avem $\|\vert \phi \rangle\| = 1$ și $\|\vert \psi \rangle\| = 1,$ și prin urmare $\|\vert \phi \rangle \otimes \vert \psi \rangle\| = 1,$ deci $\vert \phi \rangle \otimes \vert \psi \rangle$ este și el un vector de stare cuantică.

Aceasta se generalizează la mai mult de două sisteme. Dacă $\vert \psi_0 \rangle,\ldots,\vert \psi_{n-1} \rangle$ sunt vectori de stare cuantică ai sistemelor $\mathsf{X}_0,\ldots,\mathsf{X}_{n-1},$ atunci $\vert \psi_{n-1} \rangle\otimes\cdots\otimes \vert \psi_0 \rangle$ este un vector de stare cuantică ce reprezintă o stare produs a sistemului comun $(\mathsf{X}_{n-1},\ldots,\mathsf{X}_0).$ Din nou, știm că acesta este un vector de stare cuantică deoarece

$$\bigl\| \vert \psi_{n-1} \rangle\otimes\cdots\otimes \vert \psi_0 \rangle \bigr\| = \bigl\|\vert \psi_{n-1} \rangle\bigl\| \cdots \bigl\|\vert \psi_0 \rangle \bigr\| = 1^n = 1.$$

Stări întricate

Nu toate vectorii de stare cuantică ai sistemelor multiple sunt stări produs. De exemplu, vectorul de stare cuantică

$$\frac{1}{\sqrt{2}} \vert 00\rangle + \frac{1}{\sqrt{2}} \vert 11\rangle \tag{1}$$

al doi qubiti nu este o stare produs. Pentru a demonstra acest lucru, putem urma exact același raționament pe care l-am folosit în secțiunea anterioară pentru o stare probabilistică. Adică, dacă $(1)$ ar fi o stare produs, ar exista vectori de stare cuantică $\vert\phi\rangle$ și $\vert\psi\rangle$ pentru care

$$\vert\phi\rangle\otimes\vert\psi\rangle = \frac{1}{\sqrt{2}} \vert 00\rangle + \frac{1}{\sqrt{2}} \vert 11\rangle.$$

Dar atunci ar fi necesar ca

$$\langle 0 \vert \phi\rangle \langle 1 \vert \psi\rangle = \langle 01 \vert \phi\otimes\psi\rangle = 0$$

ceea ce implică că $\langle 0 \vert \phi\rangle = 0$ sau $\langle 1 \vert \psi\rangle = 0$ (sau ambele). Aceasta contrazice faptul că

$$\langle 0 \vert \phi\rangle \langle 0 \vert \psi\rangle = \langle 00 \vert \phi\otimes\psi\rangle = \frac{1}{\sqrt{2}}$$

și

$$\langle 1 \vert \phi\rangle \langle 1 \vert \psi\rangle = \langle 11 \vert \phi\otimes\psi\rangle = \frac{1}{\sqrt{2}}$$

sunt ambele nenule. Astfel, vectorul de stare cuantică $(1)$ reprezintă o corelație între două sisteme și, mai precis, spunem că sistemele sunt întricate.

Observă că valoarea specifică $1/\sqrt{2}$ nu este importantă pentru acest argument — tot ce contează este că această valoare este nenulă. Astfel, de exemplu, starea cuantică

$$\frac{3}{5} \vert 00\rangle + \frac{4}{5} \vert 11\rangle$$

nu este nici ea o stare produs, prin același argument.

Întrețeserea (entanglementul) este o caracteristică esențială a informației cuantice, care va fi discutată mai în detaliu într-o lecție ulterioară. Întrețeserea poate fi complicată, în special pentru tipurile de stări cuantice zgomotoase care pot fi descrise prin matrice de densitate (discutate în cursul Formularea generală a informației cuantice, care este al treilea curs din seria Înțelegerea informației și calculului cuantic). Pentru vectorii de stare cuantică, însă, întrețeserea este echivalentă cu corelația: orice vector de stare cuantică care nu este o stare produs reprezintă o stare întricată.

Prin contrast, vectorul de stare cuantică

$$\frac{1}{2} \vert 00\rangle + \frac{i}{2} \vert 01\rangle - \frac{1}{2} \vert 10\rangle - \frac{i}{2} \vert 11\rangle$$

este un exemplu de stare produs.

$$\frac{1}{2} \vert 00\rangle + \frac{i}{2} \vert 01\rangle - \frac{1}{2} \vert 10\rangle - \frac{i}{2} \vert 11\rangle = \biggl( \frac{1}{\sqrt{2}}\vert 0\rangle - \frac{1}{\sqrt{2}}\vert 1\rangle \biggr) \otimes \biggl( \frac{1}{\sqrt{2}}\vert 0\rangle + \frac{i}{\sqrt{2}}\vert 1\rangle \biggr)$$

Prin urmare, această stare nu este întricată.

Stările Bell

Vom examina acum câteva exemple importante de stări cuantice cu mai mulți qubiti, începând cu stările Bell. Acestea sunt următoarele patru stări cu doi qubiti:

$$\begin{aligned} \vert \phi^+ \rangle & = \frac{1}{\sqrt{2}} \vert 00 \rangle + \frac{1}{\sqrt{2}} \vert 11 \rangle \\[3mm] \vert \phi^- \rangle & = \frac{1}{\sqrt{2}} \vert 00 \rangle - \frac{1}{\sqrt{2}} \vert 11 \rangle \\[3mm] \vert \psi^+ \rangle & = \frac{1}{\sqrt{2}} \vert 01 \rangle + \frac{1}{\sqrt{2}} \vert 10 \rangle \\[3mm] \vert \psi^- \rangle & = \frac{1}{\sqrt{2}} \vert 01 \rangle - \frac{1}{\sqrt{2}} \vert 10 \rangle \end{aligned}$$

Stările Bell poartă acest nume în onoarea lui John Bell. Observă că același argument care demonstrează că $\vert\phi^+\rangle$ nu este o stare produs arată că niciuna dintre celelalte stări Bell nu este o stare produs: toate cele patru stări Bell reprezintă întrețesere între doi qubiti.

Colecția tuturor celor patru stări Bell

$$\bigl\{\vert \phi^+ \rangle, \vert \phi^- \rangle, \vert \psi^+ \rangle, \vert \psi^- \rangle\bigr\}$$

este cunoscută sub numele de baza Bell. Conform numelui său, aceasta este într-adevăr o bază; orice vector de stare cuantică al doi qubiti, sau mai general orice vector complex cu intrări corespunzătoare celor patru stări clasice ale a două biți, poate fi exprimat ca o combinație liniară a celor patru stări Bell. De exemplu,

$$\vert 0 0 \rangle = \frac{1}{\sqrt{2}} \vert \phi^+\rangle + \frac{1}{\sqrt{2}} \vert \phi^-\rangle.$$

Stările GHZ și W

Vom considera în continuare două exemple interesante de stări cu trei qubiti. Primul exemplu este starea GHZ (numită astfel în onoarea lui Daniel Greenberger, Michael Horne și Anton Zeilinger, care au studiat pentru prima oară unele dintre proprietățile ei):

$$\frac{1}{\sqrt{2}} \vert 000\rangle + \frac{1}{\sqrt{2}} \vert 111\rangle.$$

Al doilea exemplu este așa-numita stare W:

$$\frac{1}{\sqrt{3}} \vert 001\rangle + \frac{1}{\sqrt{3}} \vert 010\rangle + \frac{1}{\sqrt{3}} \vert 100\rangle.$$

Niciuna dintre aceste stări nu este o stare produs, ceea ce înseamnă că nu pot fi scrise ca un produs tensorial al trei vectori de stare cuantică de qubit. Vom examina ambele stări mai târziu, când vom discuta măsurătorile parțiale ale stărilor cuantice ale sistemelor multiple.

Exemple suplimentare

Exemplele de stări cuantice ale sistemelor multiple văzute până acum sunt stări cu doi sau trei qubiti, dar putem considera și stări cuantice ale sistemelor multiple cu seturi de stări clasice diferite.

De exemplu, iată o stare cuantică a trei sisteme, $\mathsf{X},$ $\mathsf{Y}$ și $\mathsf{Z},$ unde setul de stări clasice al lui $\mathsf{X}$ este alfabetul binar (deci $\mathsf{X}$ este un qubit) și setul de stări clasice al lui $\mathsf{Y}$ și $\mathsf{Z}$ este $\{\clubsuit,\diamondsuit,\heartsuit,\spadesuit\}:$

$$\frac{1}{2} \vert 0 \rangle \vert \heartsuit\rangle \vert \heartsuit \rangle + \frac{1}{2} \vert 1 \rangle \vert \spadesuit\rangle \vert \heartsuit \rangle - \frac{1}{\sqrt{2}} \vert 0 \rangle \vert \heartsuit\rangle \vert \diamondsuit \rangle.$$

Și iată un exemplu de stare cuantică a trei sisteme, $\mathsf{X},$ $\mathsf{Y}$ și $\mathsf{Z},$ care împart același set de stări clasice $\{0,1,2\}:$

$$\frac{ \vert 012 \rangle - \vert 021 \rangle + \vert 120 \rangle - \vert 102 \rangle + \vert 201 \rangle - \vert 210 \rangle }{\sqrt{6}}.$$

Sistemele cu setul de stări clasice $\{0,1,2\}$ sunt adesea numite triți sau (presupunând că pot fi într-o stare cuantică) quTriți. Termenul qudit se referă la un sistem cu setul de stări clasice $\{0,\ldots,d-1\}$ pentru o alegere arbitrară a lui $d.$

Măsurătorile stărilor cuantice

Măsurătorile în baza standard ale stărilor cuantice ale sistemelor individuale au fost discutate în lecția anterioară: dacă un sistem cu setul de stări clasice $\Sigma$ se află într-o stare cuantică reprezentată de vectorul $\vert \psi \rangle,$ și acel sistem este măsurat (în raport cu o măsurătoare în baza standard), atunci fiecare stare clasică $a\in\Sigma$ apare cu probabilitatea $\vert \langle a \vert \psi \rangle\vert^2.$ Aceasta ne spune ce se întâmplă când avem o stare cuantică a sistemelor multiple și alegem să măsurăm întregul sistem compus, ceea ce este echivalent cu măsurarea tuturor sistemelor.

Pentru a formula acest lucru precis, să presupunem că $\mathsf{X}_0,\ldots,\mathsf{X}_{n-1}$ sunt sisteme cu seturile de stări clasice $\Sigma_0,\ldots,\Sigma_{n-1},$ respectiv. Putem atunci privi $(\mathsf{X}_{n-1},\ldots,\mathsf{X}_0)$ în mod colectiv ca un singur sistem al cărui set de stări clasice este produsul cartezian $\Sigma_{n-1}\times\cdots\times\Sigma_0.$ Dacă o stare cuantică a acestui sistem este reprezentată de vectorul de stare cuantică $\vert\psi\rangle,$ și toate sistemele sunt măsurate, atunci fiecare rezultat posibil $(a_{n-1},\ldots,a_0)\in\Sigma_{n-1}\times\cdots\times\Sigma_0$ apare cu probabilitatea $\vert\langle a_{n-1}\cdots a_0\vert \psi\rangle\vert^2.$

De exemplu, dacă sistemele $\mathsf{X}$ și $\mathsf{Y}$ se află împreună în starea cuantică

$$\frac{3}{5} \vert 0\rangle \vert \heartsuit \rangle - \frac{4i}{5} \vert 1\rangle \vert \spadesuit \rangle,$$

atunci măsurarea ambelor sisteme cu măsurători în baza standard produce rezultatul $(0,\heartsuit)$ cu probabilitatea $9/25$ și rezultatul $(1,\spadesuit)$ cu probabilitatea $16/25.$

Măsurători parțiale

Acum să considerăm situația în care avem mai multe sisteme într-o stare cuantică și măsurăm un subset propriu al acestora. Ca și înainte, vom începe cu două sisteme $\mathsf{X}$ și $\mathsf{Y}$ cu mulțimile de stări clasice $\Sigma$ și, respectiv, $\Gamma.$

În general, un vector de stare cuantică al perechii $(\mathsf{X},\mathsf{Y})$ are forma

$$\vert \psi \rangle = \sum_{(a,b)\in\Sigma\times\Gamma} \alpha_{ab} \vert ab\rangle,$$

unde $\{\alpha_{ab} : (a,b)\in\Sigma\times\Gamma\}$ este o colecție de numere complexe care satisfac

$$\sum_{(a,b)\in\Sigma\times\Gamma} \vert \alpha_{ab} \vert^2 = 1,$$

ceea ce este echivalent cu faptul că $\vert \psi \rangle$ este un vector unitar.

Știm deja, din discuția de mai sus, că dacă ambele sisteme $\mathsf{X}$ și $\mathsf{Y}$ sunt măsurate, atunci fiecare rezultat posibil $(a,b)\in\Sigma\times\Gamma$ apare cu probabilitatea

$$\bigl\vert \langle ab \vert \psi \rangle \bigr\vert^2 = \vert\alpha_{ab}\vert^2.$$

Dacă presupunem în schimb că doar primul sistem $\mathsf{X}$ este măsurat, probabilitatea pentru fiecare rezultat $a\in\Sigma$ trebuie să fie egală cu

$$\sum_{b\in\Gamma} \bigl\vert \langle ab \vert \psi \rangle \bigr\vert^{2} = \sum_{b\in\Gamma} \vert\alpha_{ab}\vert^2.$$

Aceasta este consistentă cu ceea ce am văzut deja în cadrul probabilistic, precum și cu înțelegerea noastră actuală a fizicii: probabilitatea pentru fiecare rezultat de a apărea atunci când $\mathsf{X}$ este măsurat nu poate depinde de faptul că $\mathsf{Y}$ a fost sau nu măsurat, deoarece asta ar permite comunicarea mai rapidă decât viteza luminii.

Obținând un anumit rezultat $a\in\Sigma$ al unei măsurători în baza standard a lui $\mathsf{X},$ ne așteptăm în mod natural ca starea cuantică a lui $\mathsf{X}$ să se modifice astfel încât să fie egală cu $\vert a\rangle,$ exact ca în cazul sistemelor unice. Dar ce se întâmplă cu starea cuantică a lui $\mathsf{Y}$?

Pentru a răspunde la această întrebare, putem exprima mai întâi vectorul $\vert\psi\rangle$ ca

$$\vert\psi\rangle = \sum_{a\in\Sigma} \vert a \rangle \otimes \vert \phi_a \rangle,$$

unde

$$\vert \phi_a \rangle = \sum_{b\in\Gamma} \alpha_{ab} \vert b\rangle$$

pentru fiecare $a\in\Sigma.$ Urmăm aici aceeași metodologie ca în cazul probabilistic, izolând stările bazei standard ale sistemului care este măsurat. Probabilitatea ca măsurătoarea în baza standard a lui $\mathsf{X}$ să dea fiecare rezultat $a$ este următoarea:

$$\sum_{b\in\Gamma} \vert\alpha_{ab}\vert^2 = \bigl\| \vert \phi_a \rangle \bigr\|^2.$$

Și, ca urmare a faptului că măsurătoarea în baza standard a lui $\mathsf{X}$ dă rezultatul $a,$ starea cuantică a perechii $(\mathsf{X},\mathsf{Y})$ împreună devine

$$\vert a \rangle \otimes \frac{\vert \phi_a \rangle}{\|\vert \phi_a \rangle\|}.$$

Adică, starea „colapsează" ca în cazul unui singur sistem, dar numai în măsura necesară pentru ca starea să fie consistentă cu faptul că măsurătoarea lui $\mathsf{X}$ a produs rezultatul $a.$

Informal vorbind, $\vert a \rangle \otimes \vert \phi_a\rangle$ reprezintă componenta lui $\vert \psi\rangle$ care este consistentă cu o măsurătoare a lui $\mathsf{X}$ care duce la rezultatul $a.$ Apoi normalizăm acest vector — împărțindu-l la norma sa euclidiană, care este egală cu $\|\vert\phi_a\rangle\|$ — pentru a obține un vector de stare cuantică valid cu norma euclidiană egală cu $1.$ Acest pas de normalizare este analog cu ceea ce am făcut în cadrul probabilistic, când am împărțit vectorii la suma intrărilor lor pentru a obține un vector de probabilitate.

Ca exemplu, să considerăm starea a două qubit-uri $(\mathsf{X},\mathsf{Y})$ de la începutul secțiunii:

$$\vert \psi \rangle = \frac{1}{\sqrt{2}} \vert 00 \rangle - \frac{1}{\sqrt{6}} \vert 01 \rangle + \frac{i}{\sqrt{6}} \vert 10 \rangle + \frac{1}{\sqrt{6}} \vert 11 \rangle.$$

Pentru a înțelege ce se întâmplă când primul sistem $\mathsf{X}$ este măsurat, începem prin a scrie

$$\vert \psi \rangle = \vert 0 \rangle \otimes \biggl( \frac{1}{\sqrt{2}} \vert 0 \rangle - \frac{1}{\sqrt{6}} \vert 1 \rangle \biggr) + \vert 1 \rangle \otimes \biggl( \frac{i}{\sqrt{6}} \vert 0 \rangle + \frac{1}{\sqrt{6}} \vert 1 \rangle \biggr).$$

Vedem acum, pe baza descrierii de mai sus, că probabilitatea ca măsurătoarea să dea rezultatul $0$ este

$$\biggl\|\frac{1}{\sqrt{2}} \vert 0 \rangle -\frac{1}{\sqrt{6}} \vert 1 \rangle\biggr\|^2 = \frac{1}{2} + \frac{1}{6} = \frac{2}{3},$$

caz în care starea lui $(\mathsf{X},\mathsf{Y})$ devine

$$\vert 0\rangle \otimes \frac{\frac{1}{\sqrt{2}} \vert 0 \rangle -\frac{1}{\sqrt{6}} \vert 1 \rangle}{\sqrt{\frac{2}{3}}} = \vert 0\rangle \otimes \Biggl( \frac{\sqrt{3}}{2} \vert 0 \rangle - \frac{1}{2} \vert 1\rangle\Biggr);$$

iar probabilitatea ca măsurătoarea să dea rezultatul $1$ este

$$\biggl\|\frac{i}{\sqrt{6}} \vert 0 \rangle + \frac{1}{\sqrt{6}} \vert 1 \rangle\biggr\|^2 = \frac{1}{6} + \frac{1}{6} = \frac{1}{3},$$

caz în care starea lui $(\mathsf{X},\mathsf{Y})$ devine

$$\vert 1\rangle \otimes \frac{\frac{i}{\sqrt{6}} \vert 0 \rangle +\frac{1}{\sqrt{6}} \vert 1 \rangle}{\sqrt{\frac{1}{3}}} = \vert 1\rangle \otimes \Biggl( \frac{i}{\sqrt{2}} \vert 0 \rangle +\frac{1}{\sqrt{2}} \vert 1\rangle\Biggr).$$

Aceeași tehnică, folosită în mod simetric, descrie ce se întâmplă dacă al doilea sistem $\mathsf{Y}$ este măsurat în loc de primul. De data aceasta rescriem vectorul $\vert \psi \rangle$ ca

$$\vert \psi \rangle = \biggl( \frac{1}{\sqrt{2}} \vert 0 \rangle + \frac{i}{\sqrt{6}} \vert 1 \rangle \biggr) \otimes \vert 0\rangle + \biggl( -\frac{1}{\sqrt{6}} \vert 0 \rangle +\frac{1}{\sqrt{6}} \vert 1\rangle \biggr) \otimes \vert 1\rangle.$$

Probabilitatea ca măsurătoarea lui $\mathsf{Y}$ să dea rezultatul $0$ este

$$\biggl\| \frac{1}{\sqrt{2}} \vert 0 \rangle + \frac{i}{\sqrt{6}} \vert 1 \rangle \biggr\|^2 = \frac{1}{2} + \frac{1}{6} = \frac{2}{3},$$

caz în care starea lui $(\mathsf{X},\mathsf{Y})$ devine

$$\frac{\frac{1}{\sqrt{2}} \vert 0 \rangle + \frac{i}{\sqrt{6}} \vert 1 \rangle}{\sqrt{\frac{2}{3}}} \otimes \vert 0 \rangle = \biggl(\frac{\sqrt{3}}{2} \vert 0 \rangle + \frac{i}{2} \vert 1 \rangle\biggr) \otimes\vert 0 \rangle;$$

iar probabilitatea ca rezultatul măsurătorii să fie $1$ este

$$\biggl\| -\frac{1}{\sqrt{6}} \vert 0 \rangle +\frac{1}{\sqrt{6}} \vert 1\rangle \biggr\|^2 = \frac{1}{6} + \frac{1}{6} = \frac{1}{3},$$

caz în care starea lui $(\mathsf{X},\mathsf{Y})$ devine

$$\frac{ -\frac{1}{\sqrt{6}} \vert 0 \rangle +\frac{1}{\sqrt{6}} \vert 1\rangle }{\frac{1}{\sqrt{3}}} \otimes \vert 1\rangle = \biggl(-\frac{1}{\sqrt{2}} \vert 0\rangle + \frac{1}{\sqrt{2}} \vert 1\rangle\biggr) \otimes \vert 1\rangle.$$

Observație despre stările cuantice reduse

Exemplul anterior evidențiază o limitare a descrierii simplificate a informației cuantice: aceasta nu ne oferă o modalitate de a descrie starea cuantică redusă (sau marginală) a unui singur sistem dintr-o pereche (sau a unui subset propriu al oricărui număr de sisteme), așa cum se întâmplă în cazul probabilistic.

Mai concret, pentru o stare probabilistică a două sisteme $(\mathsf{X},\mathsf{Y})$ descrisă de un vector de probabilitate

$$\sum_{(a,b)\in\Sigma\times\Gamma} p_{ab} \vert ab\rangle,$$

putem scrie starea probabilistică redusă sau marginală a lui $\mathsf{X}$ singur astfel:

$$\sum_{a\in\Sigma} \biggl( \sum_{b\in\Gamma} p_{ab}\biggr) \vert a\rangle = \sum_{(a,b)\in\Sigma\times\Gamma} p_{ab} \vert a\rangle.$$

Pentru vectorii stărilor cuantice, nu există o modalitate analogă de a face acest lucru. În particular, pentru un vector de stare cuantică

$$\vert \psi \rangle = \sum_{(a,b)\in\Sigma\times\Gamma} \alpha_{ab} \vert ab\rangle,$$

vectorul

$$\sum_{(a,b)\in\Sigma\times\Gamma} \alpha_{ab} \vert a\rangle$$

nu este în general un vector de stare cuantică și nu reprezintă corect conceptul de stare redusă sau marginală.

Ceea ce putem face în schimb este să apelăm la noțiunea de matrice densitate, discutată în cursul Formularea generală a informației cuantice. Matricele densitate ne oferă o modalitate semnificativă de a defini stările cuantice reduse, analogă cadrului probabilistic.

Măsurători parțiale pentru trei sau mai multe sisteme

Măsurătorile parțiale pentru trei sau mai multe sisteme, în care se măsoară un subset propriu al sistemelor, pot fi reduse la cazul cu două sisteme, împărțind sistemele în două colecții: cele care sunt măsurate și cele care nu sunt. Iată un exemplu concret care ilustrează cum se poate face acest lucru. Acesta demonstrează în mod specific cum indicizarea ket-urilor cu numele sistemelor pe care le reprezintă poate fi utilă — în acest caz, deoarece ne oferă o modalitate simplă de a descrie permutările sistemelor.

Pentru acest exemplu, vom considera o stare cuantică a unui 5-tuplu de sisteme $(\mathsf{X}_4,\ldots,\mathsf{X}_0),$ unde toate cele cinci sisteme au același set de stări clasice $\{\clubsuit,\diamondsuit,\heartsuit,\spadesuit\}:$

$$\begin{gathered} \sqrt{\frac{1}{7}} \vert\heartsuit\rangle \vert\clubsuit\rangle \vert\diamondsuit\rangle \vert\spadesuit\rangle \vert\spadesuit\rangle + \sqrt{\frac{2}{7}} \vert\diamondsuit\rangle \vert\clubsuit\rangle \vert\diamondsuit\rangle \vert\spadesuit\rangle \vert\clubsuit\rangle + \sqrt{\frac{1}{7}} \vert\spadesuit\rangle \vert\spadesuit\rangle \vert\clubsuit\rangle \vert\diamondsuit\rangle \vert\clubsuit\rangle \\ -i \sqrt{\frac{2}{7}} \vert\heartsuit\rangle \vert\clubsuit\rangle \vert\diamondsuit\rangle \vert\heartsuit\rangle \vert\heartsuit\rangle - \sqrt{\frac{1}{7}} \vert\spadesuit\rangle \vert\heartsuit\rangle \vert\clubsuit\rangle \vert\spadesuit\rangle \vert\clubsuit\rangle. \end{gathered}$$

Vom considera situația în care primul și al treilea sistem sunt măsurate, iar sistemele rămase sunt lăsate neatinse.

Din punct de vedere conceptual, nu există nicio diferență fundamentală între această situație și cea în care unul din două sisteme este măsurat. Din nefericire, deoarece sistemele măsurate sunt intercalate cu cele nemăsurate, ne confruntăm cu o dificultate în scrierea expresiilor necesare pentru a efectua aceste calcule.

O modalitate de a proceda, după cum s-a sugerat mai sus, este să indicizăm ket-urile pentru a indica la care sisteme se referă. Aceasta ne oferă o modalitate de a urmări sistemele pe măsură ce permutăm ordinea ket-urilor, ceea ce simplifică matematica.

Mai întâi, vectorul de stare cuantică de mai sus poate fi scris alternativ ca

$$\begin{gathered} \sqrt{\frac{1}{7}} \vert\heartsuit\rangle_4 \vert\clubsuit\rangle_3 \vert\diamondsuit\rangle_2 \vert\spadesuit\rangle_1 \vert\spadesuit\rangle_0 + \sqrt{\frac{2}{7}} \vert\diamondsuit\rangle_4 \vert\clubsuit\rangle_3 \vert\diamondsuit\rangle_2 \vert\spadesuit\rangle_1 \vert\clubsuit\rangle_0\\ + \sqrt{\frac{1}{7}} \vert\spadesuit\rangle_4 \vert\spadesuit\rangle_3 \vert\clubsuit\rangle_2 \vert\diamondsuit\rangle_1 \vert\clubsuit\rangle_0 -i \sqrt{\frac{2}{7}} \vert\heartsuit\rangle_4 \vert\clubsuit\rangle_3 \vert\diamondsuit\rangle_2 \vert\heartsuit\rangle_1 \vert\heartsuit\rangle_0\\ - \sqrt{\frac{1}{7}} \vert\spadesuit\rangle_4 \vert\heartsuit\rangle_3 \vert\clubsuit\rangle_2 \vert\spadesuit\rangle_1 \vert\clubsuit\rangle_0. \end{gathered}$$

Nimic nu s-a schimbat, cu excepția faptului că fiecare ket are acum un indice care indică sistemul căruia îi corespunde. Aici am folosit indicii $0,\ldots,4,$ dar numele sistemelor în sine ar putea fi, de asemenea, utilizate (într-o situație în care avem nume de sisteme cum ar fi $\mathsf{X},$ $\mathsf{Y}$ și $\mathsf{Z},$ de exemplu).

Putem acum să reordonăm ket-urile și să grupăm termenii astfel:

$$\begin{aligned} & \sqrt{\frac{1}{7}} \vert\heartsuit\rangle_4 \vert\diamondsuit\rangle_2 \vert\clubsuit\rangle_3 \vert\spadesuit\rangle_1 \vert\spadesuit\rangle_0 + \sqrt{\frac{2}{7}} \vert\diamondsuit\rangle_4 \vert\diamondsuit\rangle_2 \vert\clubsuit\rangle_3 \vert\spadesuit\rangle_1 \vert\clubsuit\rangle_0\\ & \quad + \sqrt{\frac{1}{7}} \vert\spadesuit\rangle_4 \vert\clubsuit\rangle_2 \vert\spadesuit\rangle_3 \vert\diamondsuit\rangle_1 \vert\clubsuit\rangle_0 -i \sqrt{\frac{2}{7}} \vert\heartsuit\rangle_4 \vert\diamondsuit\rangle_2 \vert\clubsuit\rangle_3 \vert\heartsuit\rangle_1 \vert\heartsuit\rangle_0\\ & \quad -\sqrt{\frac{1}{7}} \vert\spadesuit\rangle_4 \vert\clubsuit\rangle_2 \vert\heartsuit\rangle_3 \vert\spadesuit\rangle_1 \vert\clubsuit\rangle_0\\[2mm] & \hspace{1.5cm} = \vert\heartsuit\rangle_4 \vert\diamondsuit\rangle_2 \biggl( \sqrt{\frac{1}{7}} \vert\clubsuit\rangle_3 \vert\spadesuit\rangle_1 \vert\spadesuit\rangle_0 -i \sqrt{\frac{2}{7}} \vert\clubsuit\rangle_3 \vert\heartsuit\rangle_1 \vert\heartsuit\rangle_0 \biggr)\\ & \hspace{1.5cm} \quad + \vert\diamondsuit\rangle_4 \vert\diamondsuit\rangle_2 \biggl( \sqrt{\frac{2}{7}} \vert\clubsuit\rangle_3 \vert\spadesuit\rangle_1 \vert\clubsuit\rangle_0 \biggr)\\ & \hspace{1.5cm} \quad + \vert\spadesuit\rangle_4 \vert\clubsuit\rangle_2 \biggl( \sqrt{\frac{1}{7}} \vert\spadesuit\rangle_3 \vert\diamondsuit\rangle_1 \vert\clubsuit\rangle_0 - \sqrt{\frac{1}{7}} \vert\heartsuit\rangle_3 \vert\spadesuit\rangle_1 \vert\clubsuit\rangle_0\biggr). \end{aligned}$$

Produsele tensori sunt în continuare implicite, chiar și atunci când se folosesc paranteze, ca în acest exemplu.

Pentru a fi clar în privința permutării ket-urilor, produsele tensoriale nu sunt comutative: dacă $\vert \phi\rangle$ și $\vert \pi \rangle$ sunt vectori, atunci, în general, $\vert \phi\rangle\otimes\vert \pi \rangle$ este diferit de $\vert \pi\rangle\otimes\vert \phi \rangle,$ și la fel pentru produsele tensoriale a trei sau mai mulți vectori. De exemplu, $\vert\heartsuit\rangle \vert\clubsuit\rangle \vert\diamondsuit\rangle \vert\spadesuit\rangle \vert\spadesuit\rangle$ este un vector diferit față de $\vert\heartsuit\rangle \vert\diamondsuit\rangle \vert\clubsuit\rangle \vert\spadesuit\rangle \vert\spadesuit\rangle.$ Reordonarea ket-urilor pe care tocmai am făcut-o nu trebuie interpretată ca sugerând altceva.

Mai degrabă, în scopul efectuării calculelor, facem pur și simplu o alegere că este mai convenabil să grupăm sistemele ca $(\mathsf{X}_4,\mathsf{X}_2,\mathsf{X}_3,\mathsf{X}_1,\mathsf{X}_0)$ în loc de $(\mathsf{X}_4,\mathsf{X}_3,\mathsf{X}_2,\mathsf{X}_1,\mathsf{X}_0).$ Indicii de pe ket-uri servesc la menținerea clarității, iar dacă dorim, suntem liberi să revenim la ordinea originală ulterior.

Acum observăm că, dacă sistemele $\mathsf{X}_4$ și $\mathsf{X}_2$ sunt măsurate, probabilitățile (nenule) ale diferitelor rezultate sunt următoarele:

• Rezultatul măsurătorii $(\heartsuit,\diamondsuit)$ apare cu probabilitatea

$$\biggl\| \sqrt{\frac{1}{7}} \vert\clubsuit\rangle_3 \vert\spadesuit\rangle_1 \vert\spadesuit\rangle_0 -i \sqrt{\frac{2}{7}} \vert\clubsuit\rangle_3 \vert\heartsuit\rangle_1 \vert\heartsuit\rangle_0 \biggr\|^2 = \frac{1}{7} + \frac{2}{7} = \frac{3}{7}$$

• Rezultatul măsurătorii $(\diamondsuit,\diamondsuit)$ apare cu probabilitatea

$$\biggl\| \sqrt{\frac{2}{7}} \vert\clubsuit\rangle_3 \vert\spadesuit\rangle_1 \vert\clubsuit\rangle_0 \biggr\|^2 = \frac{2}{7}$$

• Rezultatul măsurătorii $(\spadesuit,\clubsuit)$ apare cu probabilitatea

$$\biggl\| \sqrt{\frac{1}{7}} \vert\spadesuit\rangle_3 \vert\diamondsuit\rangle_1 \vert\clubsuit\rangle_0 - \sqrt{\frac{1}{7}} \vert\heartsuit\rangle_3 \vert\spadesuit\rangle_1 \vert\clubsuit\rangle_0 \biggr\|^2 = \frac{1}{7} + \frac{1}{7} = \frac{2}{7}.$$

Dacă rezultatul măsurătorii este $(\heartsuit,\diamondsuit),$ de exemplu, starea rezultată a celor cinci sisteme devine

$$\begin{aligned} & \vert \heartsuit\rangle_4 \vert \diamondsuit \rangle_2 \otimes \frac{ \sqrt{\frac{1}{7}} \vert\clubsuit\rangle_3 \vert\spadesuit\rangle_1 \vert\spadesuit\rangle_0 - i \sqrt{\frac{2}{7}} \vert\clubsuit\rangle_3 \vert\heartsuit\rangle_1 \vert\heartsuit\rangle_0} {\sqrt{\frac{3}{7}}}\\ & \qquad = \sqrt{\frac{1}{3}} \vert \heartsuit\rangle_4 \vert\clubsuit\rangle_3 \vert \diamondsuit \rangle_2\vert\spadesuit\rangle_1 \vert\spadesuit\rangle_0 -i \sqrt{\frac{2}{3}} \vert \heartsuit\rangle_4 \vert\clubsuit\rangle_3 \vert \diamondsuit \rangle_2\vert\heartsuit\rangle_1 \vert\heartsuit\rangle_0. \end{aligned}$$

Aici, pentru răspunsul final, am revenit la ordinea originală a sistemelor, doar pentru a ilustra că putem face acest lucru. Pentru celelalte rezultate posibile ale măsurătorii, starea poate fi determinată într-un mod similar.

În fine, iată două exemple promise anterior, începând cu starea GHZ

$$\frac{1}{\sqrt{2}} \vert 000\rangle + \frac{1}{\sqrt{2}} \vert 111\rangle.$$

Dacă se măsoară doar primul sistem, obținem rezultatul $0$ cu probabilitatea $1/2,$ caz în care starea celor trei qubiți devine $\vert 000\rangle;$ și obținem, de asemenea, rezultatul $1$ cu probabilitatea $1/2,$ caz în care starea celor trei qubiți devine $\vert 111\rangle.$

Pentru o stare W, pe de altă parte, presupunând din nou că se măsoară doar primul sistem, începem prin a scrie această stare astfel:

$$\begin{aligned} & \frac{1}{\sqrt{3}} \vert 001\rangle + \frac{1}{\sqrt{3}} \vert 010\rangle + \frac{1}{\sqrt{3}} \vert 100\rangle \\ & \qquad = \vert 0 \rangle \biggl( \frac{1}{\sqrt{3}} \vert 01\rangle + \frac{1}{\sqrt{3}} \vert 10\rangle\biggr) + \vert 1 \rangle \biggl(\frac{1}{\sqrt{3}}\vert 00\rangle\biggr). \end{aligned}$$

Probabilitatea ca o măsurătoare a primului qubit să producă rezultatul 0 este deci egală cu

$$\biggl\| \frac{1}{\sqrt{3}} \vert 01\rangle + \frac{1}{\sqrt{3}} \vert 10\rangle \biggr\|^2 = \frac{2}{3},$$

și condiționat de faptul că măsurătoarea produce acest rezultat, starea cuantică a celor trei qubiți devine

$$\vert 0\rangle\otimes \frac{ \frac{1}{\sqrt{3}} \vert 01\rangle + \frac{1}{\sqrt{3}} \vert 10\rangle }{ \sqrt{\frac{2}{3}} } = \vert 0\rangle \biggl(\frac{1}{\sqrt{2}} \vert 01\rangle + \frac{1}{\sqrt{2}} \vert 10\rangle \biggr) = \vert 0\rangle\vert \psi^+\rangle.$$

Probabilitatea ca rezultatul măsurătorii să fie 1 este $1/3,$ caz în care starea celor trei qubiți devine $\vert 100\rangle.$

Starea W este simetrică, în sensul că nu se schimbă dacă permutăm qubiții. Obținem deci o descriere similară pentru măsurarea celui de-al doilea sau celui de-al treilea qubit în loc de primul.

Operații unitare

În principiu, orice matrice unitară ale cărei linii și coloane corespund stărilor clasice ale unui sistem reprezintă o operație cuantică validă asupra acelui sistem. Acest lucru rămâne valabil, firește, și pentru sistemele compuse, ale căror mulțimi de stări clasice sunt produse carteziene ale mulțimilor de stări clasice ale sistemelor individuale.

Concentrându-ne pe două sisteme, dacă $\mathsf{X}$ este un sistem cu mulțimea de stări clasice $\Sigma,$ iar $\mathsf{Y}$ este un sistem cu mulțimea de stări clasice $\Gamma,$ atunci mulțimea de stări clasice a sistemului compus $(\mathsf{X},\mathsf{Y})$ este $\Sigma\times\Gamma.$ Prin urmare, operațiile cuantice asupra acestui sistem compus sunt reprezentate de matrice unitare ale căror linii și coloane sunt puse în corespondență cu mulțimea $\Sigma\times\Gamma.$ Ordonarea liniilor și coloanelor acestor matrice este aceeași cu cea folosită pentru vectorii stărilor cuantice ai sistemului $(\mathsf{X},\mathsf{Y}).$

De exemplu, să presupunem că $\Sigma = \{1,2,3\}$ și $\Gamma = \{0,1\},$ și reamintim că convenția standard de ordonare a elementelor produsului cartezian $\{1,2,3\}\times\{0,1\}$ este următoarea:

$$(1,0),\;(1,1),\;(2,0),\;(2,1),\;(3,0),\; (3,1).$$

Iată un exemplu de matrice unitară care reprezintă o operație pe $(\mathsf{X},\mathsf{Y}):$

$$U = \begin{pmatrix} \frac{1}{2} & \frac{1}{2} & \frac{1}{2} & 0 & 0 & \frac{1}{2} \\[2mm] \frac{1}{2} & \frac{i}{2} & -\frac{1}{2} & 0 & 0 & -\frac{i}{2} \\[2mm] \frac{1}{2} & -\frac{1}{2} & \frac{1}{2} & 0 & 0 & -\frac{1}{2} \\[2mm] 0 & 0 & 0 & \frac{1}{\sqrt{2}} & \frac{1}{\sqrt{2}} & 0\\[2mm] \frac{1}{2} & -\frac{i}{2} & -\frac{1}{2} & 0 & 0 & \frac{i}{2} \\[2mm] 0 & 0 & 0 & -\frac{1}{\sqrt{2}} & \frac{1}{\sqrt{2}} & 0 \end{pmatrix}.$$

Această matrice unitară nu este specială, e doar un exemplu. Pentru a verifica că $U$ este unitară, este suficient să calculăm și să verificăm că $U^{\dagger} U = \mathbb{I},$ de exemplu. Alternativ, putem verifica că liniile (sau coloanele) sunt ortonormate, ceea ce devine mai simplu în acest caz dată fiind forma particulară a matricei $U.$

Acțiunea lui $U$ asupra vectorului bazei standard $\vert 1, 1 \rangle,$ de exemplu, este

$$U \vert 1, 1\rangle = \frac{1}{2} \vert 1, 0 \rangle + \frac{i}{2} \vert 1, 1 \rangle - \frac{1}{2} \vert 2, 0 \rangle - \frac{i}{2} \vert 3, 0\rangle,$$

lucru pe care îl putem vedea examinând a doua coloană a lui $U,$ ținând cont de ordonarea mulțimii $\{1,2,3\}\times\{0,1\}.$

Ca orice matrice, este posibil să exprimăm $U$ folosind notația Dirac, ceea ce ar necesita 20 de termeni pentru cele 20 de intrări nenule ale lui $U.$ Dacă am scrie toți acești termeni, totuși, în loc să scriem o matrice $6\times 6$, rezultatul ar fi dezordonat și tiparele evidente din expresia matriceală probabil nu ar fi la fel de clare. Pur și simplu, notația Dirac nu este întotdeauna cea mai bună alegere.

Operațiile unitare pe trei sau mai multe sisteme funcționează în mod similar, matricele unitare având linii și coloane corespunzătoare produsului cartezian al mulțimilor de stări clasice ale sistemelor. Am văzut deja un exemplu în această lecție: operația pe trei qubiți

$$\sum_{k = 0}^{7} \vert (k+1) \bmod 8 \rangle \langle k \vert,$$

unde numerele din bra și ket reprezintă codificările lor în binar pe $3$ biți. Pe lângă faptul că este o operație deterministă, aceasta este și o operație unitară. Operațiile care sunt atât deterministe cât și unitare se numesc operații reversibile. Transpusa conjugată a acestei matrice poate fi scrisă astfel:

$$\sum_{k = 0}^{7} \vert k \rangle \langle (k+1) \bmod 8 \vert = \sum_{k = 0}^{7} \vert (k-1) \bmod 8 \rangle \langle k \vert.$$

Aceasta reprezintă inversul, sau în termeni matematici inversa, operației originale — ceea ce ne așteptăm de la transpusa conjugată a unei matrice unitare. Vom vedea și alte exemple de operații unitare pe sisteme multiple pe măsură ce lecția continuă.

Operații unitare efectuate independent pe sisteme individuale

Când operațiile unitare sunt efectuate independent pe o colecție de sisteme individuale, acțiunea combinată a acestor operații independente este descrisă de produsul tensorial al matricelor unitare care le reprezintă. Cu alte cuvinte, dacă $\mathsf{X}_{0},\ldots,\mathsf{X}_{n-1}$ sunt sisteme cuantice, $U_0,\ldots, U_{n-1}$ sunt matrice unitare reprezentând operații pe aceste sisteme, iar operațiile sunt efectuate independent pe sisteme, atunci acțiunea combinată pe $(\mathsf{X}_{n-1},\ldots,\mathsf{X}_0)$ este reprezentată de matricea $U_{n-1}\otimes\cdots\otimes U_0.$ Și de această dată, constatăm că situațiile probabilistică și cuantică sunt analoage în această privință.

Ne-am aștepta în mod natural, citind paragraful anterior, că produsul tensorial al oricărei colecții de matrice unitare este unitar. Într-adevăr, acest lucru este adevărat, și îl putem verifica după cum urmează.

Observăm mai întâi că operația de transpunere conjugată satisface

$$(M_{n-1} \otimes \cdots \otimes M_0)^{\dagger} = M_{n-1}^{\dagger} \otimes \cdots \otimes M_0^{\dagger}$$

pentru orice matrice alese $M_0,\ldots,M_{n-1}.$ Acest lucru poate fi verificat revenind la definiția produsului tensorial și a transpusei conjugate, și verificând că fiecare intrare a celor două membre ale ecuației coincide. Aceasta înseamnă că

$$(U_{n-1} \otimes \cdots \otimes U_0)^{\dagger} (U_{n-1}\otimes\cdots\otimes U_0) = (U_{n-1}^{\dagger} \otimes \cdots \otimes U_0^{\dagger}) (U_{n-1}\otimes\cdots\otimes U_0).$$

Deoarece produsul tensorial al matricelor este multiplicativ, obținem că

$$(U_{n-1}^{\dagger} \otimes \cdots \otimes U_0^{\dagger}) (U_{n-1}\otimes\cdots\otimes U_0) = (U_{n-1}^{\dagger} U_{n-1}) \otimes \cdots \otimes (U_0^{\dagger} U_0) = \mathbb{I}_{n-1} \otimes \cdots \otimes \mathbb{I}_0.$$

Aici am scris $\mathbb{I}_0,\ldots,\mathbb{I}_{n-1}$ pentru a ne referi la matricele reprezentând operația identitate pe sistemele $\mathsf{X}_0,\ldots,\mathsf{X}_{n-1},$ adică acestea sunt matrice identitate ale căror dimensiuni corespund numărului de stări clasice ale $\mathsf{X}_0,\ldots,\mathsf{X}_{n-1}.$

În fine, produsul tensorial $\mathbb{I}_{n-1} \otimes \cdots \otimes \mathbb{I}_0$ este egal cu matricea identitate al cărei număr de linii și coloane corespunde produsului numărului de linii și coloane ale matricelor $\mathbb{I}_{n-1},\ldots,\mathbb{I}_0.$ Această matrice identitate mai mare reprezintă operația identitate pe sistemul compus $(\mathsf{X}_{n-1},\ldots,\mathsf{X}_0).$

Pe scurt, avem următorul șir de egalități:

$$\begin{aligned} & (U_{n-1} \otimes \cdots \otimes U_0)^{\dagger} (U_{n-1}\otimes\cdots\otimes U_0) \\ & \quad = (U_{n-1}^{\dagger} \otimes \cdots \otimes U_0^{\dagger}) (U_{n-1}\otimes\cdots\otimes U_0) \\ & \quad = (U_{n-1}^{\dagger} U_{n-1}) \otimes \cdots \otimes (U_0^{\dagger} U_0)\\ & \quad = \mathbb{I}_{n-1} \otimes \cdots \otimes \mathbb{I}_0\\ & \quad = \mathbb{I}. \end{aligned}$$

Concluzionăm, prin urmare, că $U_{n-1} \otimes \cdots \otimes U_0$ este unitar.

O situație importantă care apare frecvent este cea în care o operație unitară este aplicată pe un singur sistem — sau pe un subset propriu de sisteme — dintr-un sistem compus mai mare. De exemplu, să presupunem că $\mathsf{X}$ și $\mathsf{Y}$ sunt sisteme pe care le putem privi împreună ca formând un singur sistem compus $(\mathsf{X},\mathsf{Y}),$ și efectuăm o operație doar pe sistemul $\mathsf{X}.$ Mai precis, să presupunem că $U$ este o matrice unitară reprezentând o operație pe $\mathsf{X},$ astfel încât liniile și coloanele sale sunt puse în corespondență cu stările clasice ale lui $\mathsf{X}.$

A spune că efectuăm operația reprezentată de $U$ doar pe sistemul $\mathsf{X}$ implică faptul că nu facem nimic cu $\mathsf{Y},$ adică efectuăm independent $U$ pe $\mathsf{X}$ și operația identitate pe $\mathsf{Y}.$ Cu alte cuvinte, „a nu face nimic" cu $\mathsf{Y}$ este echivalent cu efectuarea operației identitate pe $\mathsf{Y},$ reprezentată de matricea identitate $\mathbb{I}_\mathsf{Y}.$ (Aici, indicele $\mathsf{Y}$ ne spune că $\mathbb{I}_\mathsf{Y}$ se referă la matricea identitate al cărei număr de linii și coloane corespunde mulțimii de stări clasice ale lui $\mathsf{Y}.$) Operația pe $(\mathsf{X},\mathsf{Y})$ obținută când efectuăm $U$ pe $\mathsf{X}$ și nu facem nimic cu $\mathsf{Y}$ este, prin urmare, reprezentată de matricea unitară

$$U \otimes \mathbb{I}_{\mathsf{Y}}.$$

De exemplu, dacă $\mathsf{X}$ și $\mathsf{Y}$ sunt qubiți, efectuarea unei operații Hadamard pe $\mathsf{X}$ și a nu face nimic cu $\mathsf{Y}$ este echivalentă cu efectuarea operației

$$H \otimes \mathbb{I}_{\mathsf{Y}} = \begin{pmatrix} \frac{1}{\sqrt{2}} & \frac{1}{\sqrt{2}}\\[2mm] \frac{1}{\sqrt{2}} & -\frac{1}{\sqrt{2}} \end{pmatrix} \otimes \begin{pmatrix} 1 & 0\\ 0 & 1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} \frac{1}{\sqrt{2}} & 0 & \frac{1}{\sqrt{2}} & 0\\[2mm] 0 & \frac{1}{\sqrt{2}} & 0 & \frac{1}{\sqrt{2}}\\[2mm] \frac{1}{\sqrt{2}} & 0 & -\frac{1}{\sqrt{2}} & 0\\[2mm] 0 & \frac{1}{\sqrt{2}} & 0 & -\frac{1}{\sqrt{2}} \end{pmatrix}$$

pe sistemul compus $(\mathsf{X},\mathsf{Y}).$

În mod similar, dacă o operație reprezentată de o matrice unitară $U$ este aplicată pe $\mathsf{Y}$ și nu se face nimic cu $\mathsf{X},$ operația rezultantă pe $(\mathsf{X},\mathsf{Y})$ este reprezentată de matricea unitară

$$\mathbb{I}_{\mathsf{X}} \otimes U.$$

De exemplu, dacă ne gândim din nou la situația în care atât $\mathsf{X}$ cât și $\mathsf{Y}$ sunt qubiți și $U$ este o operație Hadamard, operația rezultantă pe $(\mathsf{X},\mathsf{Y})$ este reprezentată de matricea

$$\begin{pmatrix} 1 & 0\\ 0 & 1 \end{pmatrix} \otimes \begin{pmatrix} \frac{1}{\sqrt{2}} & \frac{1}{\sqrt{2}}\\[2mm] \frac{1}{\sqrt{2}} & -\frac{1}{\sqrt{2}} \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} \frac{1}{\sqrt{2}} & \frac{1}{\sqrt{2}} & 0 & 0\\[2mm] \frac{1}{\sqrt{2}} & -\frac{1}{\sqrt{2}} & 0 & 0\\[2mm] 0 & 0 & \frac{1}{\sqrt{2}} & \frac{1}{\sqrt{2}}\\[2mm] 0 & 0 & \frac{1}{\sqrt{2}} & -\frac{1}{\sqrt{2}} \end{pmatrix}.$$

Nu orice operație unitară pe o colecție de sisteme poate fi scrisă ca produs tensorial de operații unitare în acest mod, la fel cum nu orice vector de stare cuantică al acestor sisteme este o stare produs. De exemplu, nici operația de swap, nici operația controlled-NOT pe doi qubiți, descrise mai jos, nu pot fi exprimate ca produs tensorial de operații unitare.

Operațiunea de interschimb

Pentru a încheia lecția, să aruncăm o privire asupra a două clase de exemple de operațiuni unitare pe sisteme multiple, începând cu operațiunea de interschimb.

Presupunem că $\mathsf{X}$ și $\mathsf{Y}$ sunt sisteme care împărtășesc același set de stări clasice $\Sigma.$ Operațiunea de interschimb pe perechea $(\mathsf{X},\mathsf{Y})$ este operațiunea care schimbă conținuturile celor două sisteme, dar altfel le lasă neatinse — astfel încât $\mathsf{X}$ rămâne în stânga și $\mathsf{Y}$ rămâne în dreapta. Vom denota această operațiune ca $\operatorname{SWAP},$ și ea acționează astfel pentru fiecare alegere de stări clasice $a,b\in\Sigma:$

$$\operatorname{SWAP} \vert a \rangle \vert b \rangle = \vert b \rangle \vert a \rangle.$$

O modalitate de a scrie matricea asociată acestei operațiuni folosind notația Dirac este următoarea:

$$\mathrm{SWAP} = \sum_{c,d\in\Sigma} \vert c \rangle \langle d \vert \otimes \vert d \rangle \langle c \vert.$$

Este posibil să nu fie imediat evident că această matrice reprezintă $\operatorname{SWAP},$ dar putem verifica că satisface condiția $\operatorname{SWAP} \vert a \rangle \vert b \rangle = \vert b \rangle \vert a \rangle$ pentru orice alegere de stări clasice $a,b\in\Sigma.$ Ca exemplu simplu, atunci când $\mathsf{X}$ și $\mathsf{Y}$ sunt qubiți, obținem că

$$\operatorname{SWAP} = \begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 & 0\\ 0 & 0 & 1 & 0\\ 0 & 1 & 0 & 0\\ 0 & 0 & 0 & 1 \end{pmatrix}.$$

Operațiuni unitare controlate

Acum să presupunem că $\mathsf{Q}$ este un qubit și $\mathsf{R}$ este un sistem arbitrar, cu orice set de stări clasice dorim. Pentru orice operațiune unitară $U$ care acționează asupra sistemului $\mathsf{R},$ o operațiune controlată-$U$ este o operațiune unitară pe perechea $(\mathsf{Q},\mathsf{R})$ definită astfel:

$$CU = \vert 0\rangle \langle 0\vert \otimes \mathbb{I}_{\mathsf{R}} + \vert 1\rangle \langle 1\vert \otimes U.$$

De exemplu, dacă $\mathsf{R}$ este tot un qubit și considerăm operațiunea Pauli $X$ pe $\mathrm{R},$ atunci o operațiune controlată-$X$ este dată de

$$CX = \vert 0\rangle \langle 0\vert \otimes \mathbb{I}_{\mathsf{R}} + \vert 1\rangle \langle 1\vert \otimes X = \begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 & 0\\ 0 & 1 & 0 & 0\\ 0 & 0 & 0 & 1\\ 0 & 0 & 1 & 0 \end{pmatrix}.$$

Am întâlnit deja această operațiune în contextul informației clasice și al operațiunilor probabilistice mai devreme în lecție. Înlocuind operațiunea Pauli $X$ pe $\mathsf{R}$ cu o operațiune $Z$ obținem această operațiune:

$$CZ = \vert 0\rangle \langle 0\vert \otimes \mathbb{I}_{\mathsf{R}} + \vert 1\rangle \langle 1\vert \otimes Z = \begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 & 0\\ 0 & 1 & 0 & 0\\ 0 & 0 & 1 & 0\\ 0 & 0 & 0 & -1 \end{pmatrix}.$$

Dacă în schimb luăm $\mathsf{R}$ ca fiind doi qubiți și luăm $U$ ca fiind operațiunea de interschimb între acești doi qubiți, obținem această operațiune:

$$\operatorname{CSWAP} = \begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 1 & 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 1 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 1 \end{pmatrix}.$$

Această operațiune mai este cunoscută și sub numele de operațiune Fredkin, sau mai frecvent, Gate Fredkin. Acțiunea sa asupra stărilor bazei standard poate fi descrisă astfel:

$$\begin{aligned} \operatorname{CSWAP} \vert 0 b c \rangle & = \vert 0 b c \rangle \\[1mm] \operatorname{CSWAP} \vert 1 b c \rangle & = \vert 1 c b \rangle \end{aligned}$$

În sfârșit, o operațiune controlată-controlată-NOT, pe care o putem nota ca $CCX,$ se numește operațiune Toffoli sau Gate Toffoli. Reprezentarea sa matriceală arată astfel:

$$CCX = \begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0\\ 0 & 1 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0\\ 0 & 0 & 1 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0\\ 0 & 0 & 0 & 1 & 0 & 0 & 0 & 0\\ 0 & 0 & 0 & 0 & 1 & 0 & 0 & 0\\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 1 & 0 & 0\\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 1\\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 1 & 0 \end{pmatrix}.$$

O putem exprima alternativ folosind notația Dirac astfel:

$$CCX = \bigl( \vert 00 \rangle \langle 00 \vert + \vert 01 \rangle \langle 01 \vert + \vert 10 \rangle \langle 10 \vert \bigr) \otimes \mathbb{I} + \vert 11 \rangle \langle 11 \vert \otimes X.$$