Informație clasică

La fel ca în lecția anterioară, vom începe această lecție cu o discuție despre informația clasică. Din nou, descrierile probabilistice și cuantice sunt similare din punct de vedere matematic, iar înțelegerea modului în care funcționează matematica în contextul familiar al informației clasice este utilă pentru a înțelege de ce informația cuantică este descrisă în felul în care este.

Stări clasice prin produsul cartezian

Vom începe de la un nivel foarte de bază, cu stările clasice ale sistemelor multiple. Pentru simplitate, vom discuta mai întâi doar două sisteme, apoi vom generaliza la mai mult de două sisteme.

Mai precis, fie $\mathsf{X}$ un sistem cu mulțimea de stări clasice $\Sigma,$ și fie $\mathsf{Y}$ un al doilea sistem cu mulțimea de stări clasice $\Gamma.$ Observăm că, deoarece am denumit aceste mulțimi mulțimi de stări clasice, presupunerea noastră este că $\Sigma$ și $\Gamma$ sunt ambele finite și nevide. Se poate ca $\Sigma = \Gamma,$ dar nu este neapărat așa — și indiferent, va fi util să folosim nume diferite pentru a ne referi la aceste mulțimi, în interesul clarității.

Acum imaginează-ți că cele două sisteme, $\mathsf{X}$ și $\mathsf{Y},$ sunt plasate unul lângă altul, cu $\mathsf{X}$ la stânga și $\mathsf{Y}$ la dreapta. Dacă dorim, putem privi aceste două sisteme ca și cum ar forma un singur sistem, pe care îl putem nota $(\mathsf{X},\mathsf{Y})$ sau $\mathsf{XY}$ în funcție de preferință. O întrebare naturală despre acest sistem compus $(\mathsf{X},\mathsf{Y})$ este: „Care sunt stările sale clasice?"

Răspunsul este că mulțimea de stări clasice a lui $(\mathsf{X},\mathsf{Y})$ este produsul cartezian al lui $\Sigma$ și $\Gamma,$ adică mulțimea definită ca

$$\Sigma\times\Gamma = \bigl\{(a,b)\,:\,a\in\Sigma\;\text{and}\;b\in\Gamma\bigr\}.$$

Pe scurt, produsul cartezian este tocmai noțiunea matematică ce surprinde ideea de a privi un element dintr-o mulțime și un element dintr-o a doua mulțime împreună, ca și cum ar forma un singur element al unei singure mulțimi. În cazul de față, a spune că $(\mathsf{X},\mathsf{Y})$ se află în starea clasică $(a,b)\in\Sigma\times\Gamma$ înseamnă că $\mathsf{X}$ se află în starea clasică $a\in\Sigma$ și $\mathsf{Y}$ se află în starea clasică $b\in\Gamma;$ iar dacă starea clasică a lui $\mathsf{X}$ este $a\in\Sigma$ și starea clasică a lui $\mathsf{Y}$ este $b\in\Gamma,$ atunci starea clasică a sistemului comun $(\mathsf{X},\mathsf{Y})$ este $(a,b).$

Pentru mai mult de două sisteme, situația se generalizează în mod natural. Dacă presupunem că $\mathsf{X}_1,\ldots,\mathsf{X}_n$ sunt sisteme cu mulțimile de stări clasice $\Sigma_1,\ldots,\Sigma_n,$ respectiv, pentru orice număr întreg pozitiv $n,$ mulțimea de stări clasice a $n$-tuplului $(\mathsf{X}_1,\ldots,\mathsf{X}_n),$ privit ca un singur sistem comun, este produsul cartezian

$$\Sigma_1\times\cdots\times\Sigma_n = \bigl\{(a_1,\ldots,a_n)\,:\, a_1\in\Sigma_1,\:\ldots,\:a_n\in\Sigma_n\bigr\}.$$

Desigur, suntem liberi să folosim orice nume dorim pentru sisteme și să le ordonăm cum alegem. În particular, dacă avem $n$ sisteme ca mai sus, am putea alege să le numim $\mathsf{X}_{0},\ldots,\mathsf{X}_{n-1}$ și să le aranjăm de la dreapta la stânga, astfel încât sistemul comun să devină $(\mathsf{X}_{n-1},\ldots,\mathsf{X}_0).$ Urmând același tipar pentru denumirea stărilor clasice și a mulțimilor de stări clasice asociate, ne-am putea referi atunci la o stare clasică

$$(a_{n-1},\ldots,a_0) \in \Sigma_{n-1}\times \cdots \times \Sigma_0$$

a acestui sistem compus. Acesta este, de altfel, convenția de ordonare folosită de Qiskit la denumirea qubiților multipli. Vom reveni la această convenție și la modul în care se leagă de circuitele cuantice în lecția următoare, dar vom începe să o folosim acum pentru a ne obișnui cu ea.

Este adesea convenabil să scriem o stare clasică de forma $(a_{n-1},\ldots,a_0)$ ca un șir $a_{n-1}\cdots a_0$ pentru concizie, în special în situația foarte frecventă în care mulțimile de stări clasice $\Sigma_0,\ldots,\Sigma_{n-1}$ sunt asociate cu mulțimi de simboluri sau caractere. În acest context, termenul alfabet este folosit în mod curent pentru a desemna mulțimile de simboluri folosite la formarea șirurilor, dar definiția matematică a unui alfabet este exact aceeași cu definiția unei mulțimi de stări clasice: este o mulțime finită și nevidă.

De exemplu, să presupunem că $\mathsf{X}_0,\ldots,\mathsf{X}_9$ sunt biți, astfel încât mulțimile de stări clasice ale acestor sisteme sunt toate identice.

$$\Sigma_0 = \Sigma_1 = \cdots = \Sigma_9 = \{0,1\}$$

Există atunci $2^{10} = 1024$ stări clasice ale sistemului comun $(\mathsf{X}_9,\ldots,\mathsf{X}_0),$ care sunt elementele mulțimii

$$\Sigma_9\times\Sigma_8\times\cdots\times\Sigma_0 = \{0,1\}^{10}.$$

Scrise ca șiruri, aceste stări clasice arată astfel:

$$\begin{array}{c} 0000000000\\ 0000000001\\ 0000000010\\ 0000000011\\ 0000000100\\ \vdots\\[1mm] 1111111111 \end{array}$$

Pentru starea clasică $0000000110,$ de exemplu, observăm că $\mathsf{X}_1$ și $\mathsf{X}_2$ sunt în starea $1,$ în timp ce toate celelalte sisteme sunt în starea $0.$

Stări probabilistice

Reamintim din lecția anterioară că o stare probabilistică asociază o probabilitate fiecărei stări clasice a unui sistem. Astfel, o stare probabilistică a mai multor sisteme — privite colectiv ca un singur sistem — asociază o probabilitate fiecărui element al produsului cartezian al mulțimilor de stări clasice ale sistemelor individuale.

De exemplu, să presupunem că $\mathsf{X}$ și $\mathsf{Y}$ sunt ambii biți, astfel încât mulțimile lor de stări clasice corespunzătoare sunt $\Sigma = \{0,1\}$ și $\Gamma = \{0,1\},$ respectiv. Iată o stare probabilistică a perechii $(\mathsf{X},\mathsf{Y}):$

$$\begin{aligned} \operatorname{Pr}\bigl( (\mathsf{X},\mathsf{Y}) = (0,0)\bigr) & = 1/2 \\[2mm] \operatorname{Pr}\bigl( (\mathsf{X},\mathsf{Y}) = (0,1)\bigr) & = 0\\[2mm] \operatorname{Pr}\bigl( (\mathsf{X},\mathsf{Y}) = (1,0)\bigr) & = 0\\[2mm] \operatorname{Pr}\bigl( (\mathsf{X},\mathsf{Y}) = (1,1)\bigr) & = 1/2 \end{aligned}$$

Această stare probabilistică este una în care atât $\mathsf{X}$ cât și $\mathsf{Y}$ sunt biți aleatori — fiecare este $0$ cu probabilitatea $1/2$ și $1$ cu probabilitatea $1/2$ — dar stările clasice ale celor doi biți coincid întotdeauna. Acesta este un exemplu de corelație între aceste sisteme.

Ordonarea mulțimilor de stări ale produsului cartezian

Stările probabilistice ale sistemelor pot fi reprezentate prin vectori de probabilitate, după cum s-a discutat în lecția anterioară. În particular, intrările vectorului reprezintă probabilitățile ca sistemul să se afle în stările clasice posibile ale acelui sistem, cu condiția că a fost selectată o corespondență între intrări și mulțimea de stări clasice.

Alegerea unei astfel de corespondențe înseamnă efectiv a decide o ordonare a stărilor clasice, care este adesea naturală sau determinată de o convenție standard. De exemplu, alfabetul binar $\{0,1\}$ este ordonat în mod natural cu $0$ primul și $1$ al doilea, deci prima intrare dintr-un vector de probabilitate ce reprezintă o stare probabilistică a unui bit este probabilitatea de a fi în starea $0,$ iar a doua intrare este probabilitatea de a fi în starea $1.$

Nimic din aceasta nu se schimbă în contextul sistemelor multiple, dar există o decizie de luat. Mulțimea de stări clasice a mai multor sisteme împreună, privite colectiv ca un singur sistem, este produsul cartezian al mulțimilor de stări clasice ale sistemelor individuale — deci trebuie să decidem cum să fie ordonate elementele produselor carteziene ale mulțimilor de stări clasice.

Există o convenție simplă pe care o urmăm în acest scop: se pornește de la ordonările deja existente pentru mulțimile de stări clasice individuale, iar elementele produsului cartezian sunt ordonate alfabetic. Un alt mod de a spune aceasta este că intrările din fiecare $n$-tuplu (sau, echivalent, simbolurile din fiecare șir) sunt tratate ca și cum ar avea o semnificație ce scade de la stânga la dreapta. De exemplu, conform acestei convenții, produsul cartezian $\{1,2,3\}\times\{0,1\}$ este ordonat astfel:

$$(1,0),\; (1,1),\; (2,0),\; (2,1),\; (3,0),\; (3,1).$$

Când $n$-tuplurile sunt scrise ca șiruri și ordonate în acest fel, observăm tipare familiare, cum ar fi $\{0,1\}\times\{0,1\}$ ordonat ca $00, 01, 10, 11,$ și mulțimea $\{0,1\}^{10}$ ordonată cum a fost scrisă mai devreme în lecție. Ca alt exemplu, privind mulțimea $\{0, 1, \dots, 9\} \times \{0, 1, \dots, 9\}$ ca o mulțime de șiruri, obținem numerele de două cifre de la $00$ la $99,$ ordonate numeric. Acest lucru nu este, evident, o coincidență; sistemul nostru zecimal folosește exact acest tip de ordonare alfabetică, unde cuvântul alfabetic trebuie înțeles în sensul larg, incluzând cifrele pe lângă litere.

Revenind la exemplul celor doi biți de mai sus, starea probabilistică descrisă anterior este reprezentată prin următorul vector de probabilitate, unde intrările sunt etichetate explicit pentru claritate.

$$\begin{pmatrix} \frac{1}{2}\\[1mm] 0\\[1mm] 0\\[1mm] \frac{1}{2} \end{pmatrix} \begin{array}{l} \leftarrow \text{probability of being in the state 00}\\[1mm] \leftarrow \text{probability of being in the state 01}\\[1mm] \leftarrow \text{probability of being in the state 10}\\[1mm] \leftarrow \text{probability of being in the state 11} \end{array} \tag{1}$$

Independența a două sisteme

Un tip special de stare probabilistică a două sisteme este cel în care sistemele sunt independente. Intuitiv, două sisteme sunt independente dacă aflarea stării clasice a unuia dintre ele nu influențează în niciun fel probabilitățile asociate celuilalt. Adică, aflarea stării clasice a unuia dintre sisteme nu oferă nicio informație despre starea clasică a celuilalt.

Pentru a defini această noțiune cu precizie, să presupunem din nou că $\mathsf{X}$ și $\mathsf{Y}$ sunt sisteme cu mulțimile de stări clasice $\Sigma$ și, respectiv, $\Gamma.$ Față de o stare probabilistică dată a acestor sisteme, se spune că ele sunt independente dacă

$$\operatorname{Pr}((\mathsf{X},\mathsf{Y}) = (a,b)) = \operatorname{Pr}(\mathsf{X} = a) \operatorname{Pr}(\mathsf{Y} = b) \tag{2}$$

pentru orice alegere a lui $a\in\Sigma$ și $b\in\Gamma.$

Pentru a exprima această condiție în termeni de vectori de probabilitate, presupunem că starea probabilistică dată a lui $(\mathsf{X},\mathsf{Y})$ este descrisă de un vector de probabilitate, scris în notația Dirac ca

$$\sum_{(a,b) \in \Sigma\times\Gamma} p_{ab} \vert a b\rangle.$$

Condiția $(2)$ pentru independență este atunci echivalentă cu existența a doi vectori de probabilitate

$$\vert \phi \rangle = \sum_{a\in\Sigma} q_a \vert a \rangle \quad\text{and}\quad \vert \psi \rangle = \sum_{b\in\Gamma} r_b \vert b \rangle, \tag{3}$$

reprezentând probabilitățile asociate stărilor clasice ale lui $\mathsf{X}$ și, respectiv, $\mathsf{Y},$ astfel încât

$$p_{ab} = q_a r_b \tag{4}$$

pentru toți $a\in\Sigma$ și $b\in\Gamma.$

De exemplu, starea probabilistică a unei perechi de biți $(\mathsf{X},\mathsf{Y})$ reprezentată de vectorul

$$\frac{1}{6} \vert 00 \rangle + \frac{1}{12} \vert 01 \rangle + \frac{1}{2} \vert 10 \rangle + \frac{1}{4} \vert 11 \rangle$$

este una în care $\mathsf{X}$ și $\mathsf{Y}$ sunt independente. Mai precis, condiția necesară pentru independență este satisfăcută pentru vectorii de probabilitate

$$\vert \phi \rangle = \frac{1}{4} \vert 0 \rangle + \frac{3}{4} \vert 1 \rangle \quad\text{and}\quad \vert \psi \rangle = \frac{2}{3} \vert 0 \rangle + \frac{1}{3} \vert 1 \rangle.$$

De pildă, pentru ca probabilitățile stării $00$ să coincidă, avem nevoie ca $\frac{1}{6} = \frac{1}{4} \times \frac{2}{3},$ și într-adevăr aceasta este situația. Celelalte intrări pot fi verificate în mod similar.

Pe de altă parte, starea probabilistică $(1),$ pe care o putem scrie ca

$$\frac{1}{2} \vert 00 \rangle + \frac{1}{2} \vert 11 \rangle, \tag{5}$$

nu reprezintă independență între sistemele $\mathsf{X}$ și $\mathsf{Y}.$ Un mod simplu de a argumenta acest lucru urmează.

Să presupunem că ar exista vectori de probabilitate $\vert \phi\rangle$ și $\vert \psi \rangle,$ ca în ecuația $(3)$ de mai sus, pentru care condiția $(4)$ este satisfăcută pentru orice alegere a lui $a$ și $b.$ Ar trebui atunci în mod necesar ca

$$q_0 r_1 = \operatorname{Pr}\bigl((\mathsf{X},\mathsf{Y}) = (0,1)\bigr) = 0.$$

Aceasta implică faptul că fie $q_0 = 0,$ fie $r_1 = 0,$ deoarece dacă ambii ar fi nenuli, produsul $q_0 r_1$ ar fi și el nenul. Aceasta duce la concluzia că fie $q_0 r_0 = 0$ (în cazul $q_0 = 0$), fie $q_1 r_1 = 0$ (în cazul $r_1 = 0$). Observăm însă că niciuna dintre acele egalități nu poate fi adevărată, deoarece trebuie să avem $q_0 r_0 = 1/2$ și $q_1 r_1 = 1/2.$ Prin urmare, nu există vectori $\vert\phi\rangle$ și $\vert\psi\rangle$ care să satisfacă proprietatea necesară pentru independență.

Odată definită independența dintre două sisteme, putem defini acum ce se înțelege prin corelație: aceasta reprezintă o lipsă de independență. De exemplu, deoarece cei doi biți din starea probabilistică reprezentată de vectorul $(5)$ nu sunt independenți, ei sunt, prin definiție, corelați.

Produse tensoriale ale vectorilor

Condiția de independență descrisă anterior poate fi exprimată concis prin noțiunea de produs tensorial. Deși produsele tensoriale sunt o noțiune foarte generală și pot fi definite destul de abstract și aplicate unei varietăți de structuri matematice, putem adopta o definiție simplă și concretă în cazul de față.

Dați doi vectori

$$\vert \phi \rangle = \sum_{a\in\Sigma} \alpha_a \vert a \rangle \quad\text{and}\quad \vert \psi \rangle = \sum_{b\in\Gamma} \beta_b \vert b \rangle,$$

produsul tensorial $\vert \phi \rangle \otimes \vert \psi \rangle$ este vectorul definit astfel:

$$\vert \phi \rangle \otimes \vert \psi \rangle = \sum_{(a,b)\in\Sigma\times\Gamma} \alpha_a \beta_b \vert ab\rangle.$$

Intrările acestui nou vector corespund elementelor produsului cartezian $\Sigma\times\Gamma,$ care sunt scrise ca șiruri de caractere în ecuația anterioară. Echivalent, vectorul $\vert \pi \rangle = \vert \phi \rangle \otimes \vert \psi \rangle$ este definit de ecuația

$$\langle ab \vert \pi \rangle = \langle a \vert \phi \rangle \langle b \vert \psi \rangle$$

care este adevărată pentru orice $a\in\Sigma$ și $b\in\Gamma.$

Putem acum reformula condiția de independență: pentru un sistem compus $(\mathsf{X}, \mathsf{Y})$ aflat într-o stare probabilistică reprezentată de un vector de probabilitate $\vert \pi \rangle,$ sistemele $\mathsf{X}$ și $\mathsf{Y}$ sunt independente dacă $\vert\pi\rangle$ se obține prin produsul tensorial

$$\vert \pi \rangle = \vert \phi \rangle \otimes \vert \psi \rangle$$

al vectorilor de probabilitate $\vert \phi \rangle$ și $\vert \psi \rangle$ pe fiecare dintre subsistemele $\mathsf{X}$ și $\mathsf{Y}.$ În această situație, $\vert \pi \rangle$ se numește stare produs sau vector produs.

Omitem adesea simbolul $\otimes$ atunci când calculăm produsul tensorial al ket-urilor, scriind de exemplu $\vert \phi \rangle \vert \psi \rangle$ în loc de $\vert \phi \rangle \otimes \vert \psi \rangle.$ Această convenție surprinde ideea că produsul tensorial este, în acest context, cel mai natural sau implicit mod de a lua produsul a doi vectori. Deși este mai puțin frecventă, notația $\vert \phi\otimes\psi\rangle$ este uneori folosită și ea.

Atunci când folosim convenția alfabetică pentru ordonarea elementelor produselor carteziene, obținem următoarea specificație pentru produsul tensorial a doi vectori coloană.

$$\begin{pmatrix} \alpha_1\\ \vdots\\ \alpha_m \end{pmatrix} \otimes \begin{pmatrix} \beta_1\\ \vdots\\ \beta_k \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} \alpha_1 \beta_1\\ \vdots\\ \alpha_1 \beta_k\\ \alpha_2 \beta_1\\ \vdots\\ \alpha_2 \beta_k\\ \vdots\\ \alpha_m \beta_1\\ \vdots\\ \alpha_m \beta_k \end{pmatrix}$$

Ca o observație importantă, remarcă următoarea expresie pentru produsele tensoriale ale vectorilor bazei standard:

$$\vert a \rangle \otimes \vert b \rangle = \vert ab \rangle.$$

Am putea scrie alternativ $(a,b)$ ca pereche ordonată, în loc de șir de caractere, caz în care obținem $\vert a \rangle \otimes \vert b \rangle = \vert (a,b) \rangle.$ Este însă mai comun să omitem parantezele în această situație, scriind în schimb $\vert a \rangle \otimes \vert b \rangle = \vert a,b \rangle.$ Aceasta este o practică tipică în matematică în general; parantezele care nu adaugă claritate sau nu elimină ambiguitatea sunt adesea pur și simplu omise.

Produsul tensorial a doi vectori are proprietatea importantă că este biliniar, ceea ce înseamnă că este liniar în fiecare dintre cele două argumente separat, presupunând că celălalt argument este fix. Această proprietate poate fi exprimată prin următoarele ecuații:

1. Liniaritate în primul argument:

$$\begin{aligned} \bigl(\vert\phi_1\rangle + \vert\phi_2\rangle\bigr)\otimes \vert\psi\rangle & = \vert\phi_1\rangle \otimes \vert\psi\rangle + \vert\phi_2\rangle \otimes \vert\psi\rangle \\[1mm] \bigl(\alpha \vert \phi \rangle\bigr) \otimes \vert \psi \rangle & = \alpha \bigl(\vert \phi \rangle \otimes \vert \psi \rangle \bigr) \end{aligned}$$

2. Liniaritate în al doilea argument:

$$\begin{aligned} \vert \phi \rangle \otimes \bigl(\vert \psi_1 \rangle + \vert \psi_2 \rangle \bigr) & = \vert \phi \rangle \otimes \vert \psi_1 \rangle + \vert \phi \rangle \otimes \vert \psi_2 \rangle\\[1mm] \vert \phi \rangle \otimes \bigl(\alpha \vert \psi \rangle \bigr) & = \alpha \bigl(\vert\phi\rangle\otimes\vert\psi\rangle\bigr) \end{aligned}$$

Privind a doua ecuație din fiecare dintre aceste perechi de ecuații, observăm că scalarele „plutesc liber" în cadrul produselor tensoriale:

$$\bigl(\alpha \vert \phi \rangle\bigr) \otimes \vert \psi \rangle = \vert \phi \rangle \otimes \bigl(\alpha \vert \psi \rangle \bigr) = \alpha \bigl(\vert \phi \rangle \otimes \vert \psi \rangle \bigr).$$

Prin urmare, nu există nicio ambiguitate în a scrie pur și simplu $\alpha\vert\phi\rangle\otimes\vert\psi\rangle,$ sau alternativ $\alpha\vert\phi\rangle\vert\psi \rangle$ ori $\alpha\vert\phi\otimes\psi\rangle,$ pentru a face referire la acest vector.

Independența și produsele tensoriale pentru trei sau mai multe sisteme

Noțiunile de independență și produse tensoriale se generalizează în mod direct la trei sau mai multe sisteme. Dacă $\mathsf{X}_0,\ldots,\mathsf{X}_{n-1}$ sunt sisteme cu seturi de stări clasice $\Sigma_0,\ldots,\Sigma_{n-1},$ respectiv, atunci o stare probabilistică a sistemului combinat $(\mathsf{X}_{n-1},\ldots,\mathsf{X}_0)$ este o stare produs dacă vectorul de probabilitate asociat are forma

$$\vert \psi \rangle = \vert \phi_{n-1} \rangle \otimes \cdots \otimes \vert \phi_0 \rangle$$

pentru vectori de probabilitate $\vert \phi_0 \rangle,\ldots,\vert \phi_{n-1}\rangle$ care descriu stările probabilistice ale lui $\mathsf{X}_0,\ldots,\mathsf{X}_{n-1}.$ Aici, definiția produsului tensorial se generalizează în mod natural: vectorul

$$\vert \psi \rangle = \vert \phi_{n-1} \rangle \otimes \cdots \otimes \vert \phi_0 \rangle$$

este definit de ecuația

$$\langle a_{n-1} \cdots a_0 \vert \psi \rangle = \langle a_{n-1} \vert \phi_{n-1} \rangle \cdots \langle a_0 \vert \phi_0 \rangle$$

care este adevărată pentru orice $a_0\in\Sigma_0, \ldots a_{n-1}\in\Sigma_{n-1}.$

Un alt mod, echivalent, de a defini produsul tensorial a trei sau mai mulți vectori este recursiv, în termenii produselor tensoriale a doi vectori:

$$\vert \phi_{n-1} \rangle \otimes \cdots \otimes \vert \phi_0 \rangle = \vert \phi_{n-1} \rangle \otimes \bigl( \vert \phi_{n-2} \rangle \otimes \cdots \otimes \vert \phi_0 \rangle \bigr).$$

Similar cu produsul tensorial a doi vectori, produsul tensorial a trei sau mai mulți vectori este liniar în fiecare dintre argumente individual, presupunând că toate celelalte argumente sunt fixe. În acest caz se spune că produsul tensorial a trei sau mai mulți vectori este multiliniar.

Ca și în cazul a două sisteme, am putea spune că sistemele $\mathsf{X}_0,\ldots,\mathsf{X}_{n-1}$ sunt independente atunci când se află într-o stare produs, dar termenul mutual independente este mai precis. Se întâmplă să existe și alte noțiuni de independență pentru trei sau mai multe sisteme, cum ar fi independența pereche, care sunt atât interesante, cât și importante — dar nu în contextul acestui curs.

Generalizând observația anterioară referitoare la produsele tensoriale ale vectorilor bazei standard, pentru orice număr întreg pozitiv $n$ și orice stări clasice $a_0,\ldots,a_{n-1},$ avem

$$\vert a_{n-1} \rangle \otimes \cdots \otimes \vert a_0 \rangle = \vert a_{n-1} \cdots a_0 \rangle.$$

Măsurătorile stărilor probabilistice

Să trecem acum la măsurătorile stărilor probabilistice ale sistemelor multiple. Alegând să privim mai multe sisteme împreună ca pe un singur sistem, obținem imediat o specificare a modului în care trebuie să funcționeze măsurătorile pentru sisteme multiple — cu condiția că toate sistemele sunt măsurate.

De exemplu, dacă starea probabilistică a două biți $(\mathsf{X},\mathsf{Y})$ este descrisă de vectorul de probabilitate

$$\frac{1}{2} \vert 00 \rangle + \frac{1}{2} \vert 11 \rangle,$$

atunci rezultatul $00$ — adică $0$ pentru măsurarea lui $\mathsf{X}$ și $0$ pentru măsurarea lui $\mathsf{Y}$ — este obținut cu probabilitatea $1/2$, iar rezultatul $11$ este obținut tot cu probabilitatea $1/2.$ În fiecare caz, actualizăm în mod corespunzător descrierea vectorului de probabilitate a cunoștințelor noastre, astfel încât starea probabilistică devine $|00\rangle$ sau $|11\rangle,$ respectiv.

Totuși, am putea alege să nu măsurăm fiecare sistem, ci doar unele dintre sisteme. Aceasta va produce un rezultat al măsurătorii pentru fiecare sistem măsurat și va afecta, de asemenea (în general), cunoașterea noastră despre sistemele rămase pe care nu le-am măsurat.

Pentru a explica cum funcționează acest lucru, ne vom concentra pe cazul a două sisteme, dintre care unul este măsurat. Situația mai generală — în care un subset propriu din trei sau mai multe sisteme este măsurat — se reduce efectiv la cazul a două sisteme atunci când privim sistemele măsurate în mod colectiv ca și cum ar forma un singur sistem, iar sistemele nemăsurate ca și cum ar forma un al doilea sistem.

Mai precis, să presupunem că $\mathsf{X}$ și $\mathsf{Y}$ sunt sisteme ale căror mulțimi de stări clasice sunt $\Sigma$ și, respectiv, $\Gamma,$ și că cele două sisteme împreună se află într-o oarecare stare probabilistică. Vom analiza ce se întâmplă când măsurăm doar $\mathsf{X}$ și nu facem nimic cu $\mathsf{Y}.$ Situația în care doar $\mathsf{Y}$ este măsurat și $\mathsf{X}$ nu este afectat este tratată simetric.

În primul rând, știm că probabilitatea de a observa o anumită stare clasică $a\in\Sigma$ atunci când este măsurat doar $\mathsf{X}$ trebuie să fie consistentă cu probabilitățile pe care le-am obține în ipoteza că $\mathsf{Y}$ ar fi fost și el măsurat. Adică, trebuie să avem

$$\operatorname{Pr}(\mathsf{X} = a) = \sum_{b\in\Gamma} \operatorname{Pr}\bigl( (\mathsf{X},\mathsf{Y}) = (a,b) \bigr).$$

Aceasta este formula pentru așa-numita stare probabilistică redusă (sau marginală) a lui $\mathsf{X}$ luat separat.

Această formulă are sens perfect la nivel intuitiv, în sensul că ar trebui să se întâmple ceva foarte ciudat pentru ca ea să fie greșită. Dacă ar fi greșită, aceasta ar însemna că măsurarea lui $\mathsf{Y}$ ar putea influența cumva probabilitățile asociate diferitelor rezultate ale măsurătorii lui $\mathsf{X},$ indiferent de rezultatul efectiv al măsurătorii lui $\mathsf{Y}.$ Dacă $\mathsf{Y}$ s-ar afla la o locație îndepărtată, cum ar fi undeva într-o altă galaxie, de exemplu, aceasta ar permite transmiterea de semnale mai rapide decât lumina — ceea ce respingem pe baza înțelegerii noastre a fizicii. O altă modalitate de a înțelege acest lucru vine din interpretarea probabilității ca reflectând un grad de credință. Simplul fapt că altcineva ar putea decide să privească $\mathsf{Y}$ nu poate schimba starea clasică a lui $\mathsf{X},$ astfel că fără nicio informație despre ce a făcut sau nu a văzut acea persoană, convingerile cuiva despre starea lui $\mathsf{X}$ nu ar trebui să se schimbe ca urmare.

Acum, presupunând că doar $\mathsf{X}$ este măsurat și $\mathsf{Y}$ nu, pot exista în continuare incertitudini cu privire la starea clasică a lui $\mathsf{Y}.$ Din acest motiv, în loc să actualizăm descrierea stării probabilistice a lui $(\mathsf{X},\mathsf{Y})$ la $\vert ab\rangle$ pentru o anumită alegere $a\in\Sigma$ și $b\in\Gamma,$ trebuie să actualizăm descrierea astfel încât această incertitudine cu privire la $\mathsf{Y}$ să fie reflectată corespunzător.

Următoarea formulă de probabilitate condiționată reflectă această incertitudine.

$$\operatorname{Pr}(\mathsf{Y} = b \,\vert\, \mathsf{X} = a) = \frac{ \operatorname{Pr}\bigl((\mathsf{X},\mathsf{Y}) = (a,b)\bigr) }{ \operatorname{Pr}(\mathsf{X} = a) }$$

Aici, expresia $\operatorname{Pr}(\mathsf{Y} = b \,\vert\, \mathsf{X} = a)$ denotă probabilitatea că $\mathsf{Y} = b$ condiționat de (sau dat că) $\mathsf{X} = a.$ Din punct de vedere tehnic, această expresie are sens doar dacă $\operatorname{Pr}(\mathsf{X}=a)$ este nenulă, deoarece dacă $\operatorname{Pr}(\mathsf{X}=a) = 0,$ atunci împărțim la zero și obținem forma indeterminată $\frac{0}{0}.$ Aceasta nu este o problemă, totuși, deoarece dacă probabilitatea asociată lui $a$ este zero, nu vom obține niciodată $a$ ca rezultat al unei măsurători a lui $\mathsf{X},$ deci nu trebuie să ne preocupăm de această posibilitate.

Pentru a exprima aceste formule în termenii vectorilor de probabilitate, consideră un vector de probabilitate $\vert \pi \rangle$ care descrie o stare probabilistică comună a lui $(\mathsf{X},\mathsf{Y}).$

$$\vert\pi\rangle = \sum_{(a,b)\in\Sigma\times\Gamma} p_{ab} \vert ab\rangle$$

Măsurarea lui $\mathsf{X}$ singur produce fiecare rezultat posibil $a\in\Sigma$ cu probabilitatea

$$\operatorname{Pr}(\mathsf{X} = a) = \sum_{c\in\Gamma} p_{ac}.$$

Vectorul care reprezintă starea probabilistică a lui $\mathsf{X}$ singur este prin urmare dat de

$$\sum_{a\in\Sigma} \biggl(\sum_{c\in\Gamma} p_{ac}\biggr) \vert a\rangle.$$

Obținând un anumit rezultat $a\in\Sigma$ al măsurătorii lui $\mathsf{X},$ starea probabilistică a lui $\mathsf{Y}$ este actualizată conform formulei pentru probabilitățile condiționate, astfel încât este reprezentată de acest vector de probabilitate:

$$\vert \psi_a \rangle = \frac{\sum_{b\in\Gamma}p_{ab}\vert b\rangle}{\sum_{c\in\Gamma} p_{ac}}.$$

În cazul în care măsurarea lui $\mathsf{X}$ a condus la starea clasică $a,$ actualizăm prin urmare descrierea stării probabilistice a sistemului comun $(\mathsf{X},\mathsf{Y})$ la $\vert a\rangle \otimes \vert\psi_a\rangle.$

Un mod de a gândi această definiție a lui $\vert\psi_a\rangle$ este să o privim ca o normalizare a vectorului $\sum_{b\in\Gamma} p_{ab} \vert b\rangle,$ unde împărțim la suma intrărilor din acest vector pentru a obține un vector de probabilitate. Această normalizare ține efectiv cont de condiționarea față de evenimentul că măsurarea lui $\mathsf{X}$ a condus la rezultatul $a.$

Pentru un exemplu concret, să presupunem că mulțimea stărilor clasice a lui $\mathsf{X}$ este $\Sigma = \{0,1\},$ mulțimea stărilor clasice a lui $\mathsf{Y}$ este $\Gamma = \{1,2,3\},$ și starea probabilistică a lui $(\mathsf{X},\mathsf{Y})$ este

$$\vert \pi \rangle = \frac{1}{2} \vert 0,1 \rangle + \frac{1}{12} \vert 0,3 \rangle + \frac{1}{12} \vert 1,1 \rangle + \frac{1}{6} \vert 1,2 \rangle + \frac{1}{6} \vert 1,3 \rangle.$$

Scopul nostru va fi să determinăm probabilitățile celor două rezultate posibile ($0$ și $1$) și să calculăm care este starea probabilistică rezultată a lui $\mathsf{Y}$ pentru cele două rezultate, presupunând că sistemul $\mathsf{X}$ este măsurat.

Folosind biliniaritatea produsului tensorial, și în particular faptul că este liniară în al doilea argument, putem rescrie vectorul $\vert \pi \rangle$ astfel:

$$\vert \pi \rangle = \vert 0\rangle \otimes \biggl( \frac{1}{2} \vert 1 \rangle + \frac{1}{12} \vert 3 \rangle\biggr) + \vert 1\rangle \otimes \biggl( \frac{1}{12} \vert 1 \rangle + \frac{1}{6} \vert 2\rangle + \frac{1}{6} \vert 3 \rangle\biggr).$$

Cu alte cuvinte, ceea ce am făcut este să izolăm vectorii din baza standard distincți pentru primul sistem (adică cel care este măsurat), tensorizând fiecare cu combinația liniară de vectori din baza standard pentru cel de-al doilea sistem pe care o obținem selectând intrările vectorului original care sunt consistente cu starea clasică corespunzătoare a primului sistem. Un moment de reflecție arată că acest lucru este întotdeauna posibil, indiferent de vectorul de la care am pornit.

Exprimând astfel vectorul de probabilitate, efectele măsurării primului sistem devin ușor de analizat. Probabilitățile celor două rezultate pot fi obținute sumând probabilitățile din paranteze.

$$\begin{aligned} \operatorname{Pr}(\mathsf{X} = 0) & = \frac{1}{2} + \frac{1}{12} = \frac{7}{12}\\[3mm] \operatorname{Pr}(\mathsf{X} = 1) & = \frac{1}{12} + \frac{1}{6} + \frac{1}{6} = \frac{5}{12} \end{aligned}$$

Aceste probabilități sumează la unu, conform așteptărilor — dar acesta este un control util al calculelor noastre.

Iar acum, starea probabilistică a lui $\mathsf{Y}$ condiționată de fiecare rezultat posibil poate fi dedusă prin normalizarea vectorilor din paranteze. Adică, împărțim acești vectori la probabilitățile asociate pe care tocmai le-am calculat, astfel încât să devină vectori de probabilitate.

Astfel, condiționat de $\mathsf{X}$ fiind $0,$ starea probabilistică a lui $\mathsf{Y}$ devine

$$\frac{\frac{1}{2} \vert 1 \rangle + \frac{1}{12} \vert 3 \rangle}{\frac{7}{12}} = \frac{6}{7} \vert 1 \rangle + \frac{1}{7} \vert 3 \rangle,$$

și condiționat de măsurarea lui $\mathsf{X}$ fiind $1,$ starea probabilistică a $\mathsf{Y}$ devine

$$\frac{\frac{1}{12} \vert 1 \rangle + \frac{1}{6} \vert 2\rangle + \frac{1}{6} \vert 3 \rangle}{\frac{5}{12}} = \frac{1}{5} \vert 1 \rangle + \frac{2}{5} \vert 2 \rangle + \frac{2}{5} \vert 3 \rangle.$$

Operații pe stări probabilistice

Pentru a încheia această discuție despre informația clasică pentru sisteme multiple, vom lua în considerare operațiile pe sisteme multiple aflate în stări probabilistice. Urmând aceeași idee ca mai înainte, putem privi mai multe sisteme împreună ca un singur sistem compus și apoi ne întoarcem la lecția anterioară pentru a vedea cum funcționează asta.

Revenind la configurația tipică în care avem două sisteme $\mathsf{X}$ și $\mathsf{Y},$ să considerăm operațiile clasice pe sistemul compus $(\mathsf{X},\mathsf{Y}).$ Pe baza lecției anterioare și a discuției de mai sus, concluzionăm că orice astfel de operație este reprezentată de o matrice stocastică ale cărei linii și coloane sunt indexate de produsul cartezian $\Sigma\times\Gamma.$

De exemplu, să presupunem că $\mathsf{X}$ și $\mathsf{Y}$ sunt biți, și să considerăm o operație cu următoarea descriere.

Operație

Dacă $\mathsf{X} = 1,$ atunci aplică o operație NOT asupra lui $\mathsf{Y}.$
Altfel nu face nimic.

Aceasta este o operație deterministă cunoscută sub numele de operație NOT controlat, în care $\mathsf{X}$ este bitul de control care determină dacă operația NOT trebuie sau nu aplicată bitului țintă $\mathsf{Y}.$ Iată reprezentarea matriceală a acestei operații:

$$\begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 & 0\\[2mm] 0 & 1 & 0 & 0\\[2mm] 0 & 0 & 0 & 1\\[2mm] 0 & 0 & 1 & 0 \end{pmatrix}.$$

Acțiunea sa pe vectorii bazei standard este următoarea.

$$\begin{aligned} \vert 00 \rangle & \mapsto \vert 00 \rangle\\ \vert 01 \rangle & \mapsto \vert 01 \rangle\\ \vert 10 \rangle & \mapsto \vert 11 \rangle\\ \vert 11 \rangle & \mapsto \vert 10 \rangle \end{aligned}$$

Dacă am schimba rolurile lui $\mathsf{X}$ și $\mathsf{Y},$ luând $\mathsf{Y}$ drept bit de control și $\mathsf{X}$ drept bit țintă, atunci reprezentarea matriceală a operației ar deveni

$$\begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 & 0\\[2mm] 0 & 0 & 0 & 1\\[2mm] 0 & 0 & 1 & 0\\[2mm] 0 & 1 & 0 & 0 \end{pmatrix}$$

și acțiunea sa pe vectorii bazei standard ar fi astfel:

$$\begin{aligned} \vert 00 \rangle & \mapsto \vert 00 \rangle\\ \vert 01 \rangle & \mapsto \vert 11 \rangle\\ \vert 10 \rangle & \mapsto \vert 10 \rangle\\ \vert 11 \rangle & \mapsto \vert 01 \rangle \end{aligned}$$

Un alt exemplu este operația cu această descriere:

Operație

Efectuează una dintre următoarele două operații, fiecare cu probabilitatea $1/2:$

1. Setează $\mathsf{Y}$ să fie egal cu $\mathsf{X}.$
2. Setează $\mathsf{X}$ să fie egal cu $\mathsf{Y}.$

Reprezentarea matriceală a acestei operații este următoarea:

$$\begin{pmatrix} 1 & \frac{1}{2} & \frac{1}{2} & 0\\[2mm] 0 & 0 & 0 & 0\\[2mm] 0 & 0 & 0 & 0\\[2mm] 0 & \frac{1}{2} & \frac{1}{2} & 1 \end{pmatrix} = \frac{1}{2} \begin{pmatrix} 1 & 1 & 0 & 0\\[2mm] 0 & 0 & 0 & 0\\[2mm] 0 & 0 & 0 & 0\\[2mm] 0 & 0 & 1 & 1 \end{pmatrix} + \frac{1}{2} \begin{pmatrix} 1 & 0 & 1 & 0\\[2mm] 0 & 0 & 0 & 0\\[2mm] 0 & 0 & 0 & 0\\[2mm] 0 & 1 & 0 & 1 \end{pmatrix}.$$

Acțiunea acestei operații pe vectorii bazei standard este următoarea:

$$\begin{aligned} \vert 00 \rangle & \mapsto \vert 00 \rangle\\[1mm] \vert 01 \rangle & \mapsto \frac{1}{2} \vert 00 \rangle + \frac{1}{2}\vert 11\rangle\\[3mm] \vert 10 \rangle & \mapsto \frac{1}{2} \vert 00 \rangle + \frac{1}{2}\vert 11\rangle\\[2mm] \vert 11 \rangle & \mapsto \vert 11 \rangle \end{aligned}$$

În aceste exemple, privim pur și simplu două sisteme împreună ca un singur sistem și procedăm ca în lecția anterioară.

Același lucru se poate face pentru orice număr de sisteme. De exemplu, imaginează-ți că avem trei biți și incrementăm cei trei biți modulo $8$ — adică ne gândim la cei trei biți ca la codificarea unui număr între $0$ și $7$ în notație binară, adunăm $1,$ și apoi luăm restul împărțirii la $8.$ O modalitate de a exprima această operație este astfel:

$$\begin{aligned} & \vert 001 \rangle \langle 000 \vert + \vert 010 \rangle \langle 001 \vert + \vert 011 \rangle \langle 010 \vert + \vert 100 \rangle \langle 011 \vert\\[1mm] & \quad + \vert 101 \rangle \langle 100 \vert + \vert 110 \rangle \langle 101 \vert + \vert 111 \rangle \langle 110 \vert + \vert 000 \rangle \langle 111 \vert. \end{aligned}$$

O altă modalitate de a o exprima este ca

$$\sum_{k = 0}^{7} \vert (k+1) \bmod 8 \rangle \langle k \vert,$$

presupunând că am convenit că numerele de la $0$ la $7$ din interiorul ket-urilor se referă la codificările binare pe trei biți ale acelor numere. O a treia opțiune este să exprimăm această operație ca o matrice.

$$\begin{pmatrix} 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 1\\ 1 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0\\ 0 & 1 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0\\ 0 & 0 & 1 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0\\ 0 & 0 & 0 & 1 & 0 & 0 & 0 & 0\\ 0 & 0 & 0 & 0 & 1 & 0 & 0 & 0\\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 1 & 0 & 0\\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 1 & 0 \end{pmatrix}$$

Operații independente

Să presupunem acum că avem mai multe sisteme și independent efectuăm operații diferite pe fiecare sistem în parte.

De exemplu, luând configurația noastră obișnuită cu două sisteme $\mathsf{X}$ și $\mathsf{Y}$ cu mulțimile de stări clasice $\Sigma$ și respectiv $\Gamma,$ să presupunem că efectuăm o operație pe $\mathsf{X}$ și, complet independent, o altă operație pe $\mathsf{Y}.$ După cum știm din lecția anterioară, aceste operații sunt reprezentate de matrice stocastice — și, pentru a fi preciși, să spunem că operația pe $\mathsf{X}$ este reprezentată de matricea $M$ și operația pe $\mathsf{Y}$ este reprezentată de matricea $N.$ Astfel, liniile și coloanele lui $M$ au indici puși în corespondență cu elementele lui $\Sigma$ și, în mod similar, liniile și coloanele lui $N$ corespund elementelor lui $\Gamma.$

O întrebare firească este aceasta: dacă privim $\mathsf{X}$ și $\mathsf{Y}$ împreună ca un singur sistem compus $(\mathsf{X},\mathsf{Y}),$ care este matricea ce reprezintă acțiunea combinată a celor două operații asupra acestui sistem compus? Pentru a răspunde la această întrebare, trebuie mai întâi să introducem produsele tensoriale ale matricelor, care sunt similare cu produsele tensoriale ale vectorilor și sunt definite în mod analog.

Produse tensoriale ale matricelor

Produsul tensorial $M\otimes N$ al matricelor

$$M = \sum_{a,b\in\Sigma} \alpha_{ab} \vert a\rangle \langle b\vert$$

și

$$N = \sum_{c,d\in\Gamma} \beta_{cd} \vert c\rangle \langle d\vert$$

este matricea

$$M \otimes N = \sum_{a,b\in\Sigma} \sum_{c,d\in\Gamma} \alpha_{ab} \beta_{cd} \vert ac \rangle \langle bd \vert$$

Echivalent, produsul tensorial al lui $M$ și $N$ este definit de ecuația

$$\langle ac \vert M \otimes N \vert bd\rangle = \langle a \vert M \vert b\rangle \langle c \vert N \vert d\rangle$$

care este adevărată pentru orice alegere a lui $a,b\in\Sigma$ și $c,d\in\Gamma.$

O altă modalitate, echivalentă, de a descrie $M\otimes N$ este că aceasta este unica matrice care satisface ecuația

$$(M \otimes N) \bigl( \vert \phi \rangle \otimes \vert \psi \rangle \bigr) = \bigl(M \vert\phi\rangle\bigr) \otimes \bigl(N \vert\psi\rangle\bigr)$$

pentru orice alegere posibilă a vectorilor $\vert\phi\rangle$ și $\vert\psi\rangle,$ presupunând că indicii lui $\vert\phi\rangle$ corespund elementelor din $\Sigma$ și indicii lui $\vert\psi\rangle$ corespund lui $\Gamma.$

Urmând convenția descrisă anterior pentru ordonarea elementelor produselor carteziene, putem scrie și explicit produsul tensorial al două matrice după cum urmează:

$$\begin{gathered} \begin{pmatrix} \alpha_{11} & \cdots & \alpha_{1m} \\ \vdots & \ddots & \vdots \\ \alpha_{m1} & \cdots & \alpha_{mm} \end{pmatrix} \otimes \begin{pmatrix} \beta_{11} & \cdots & \beta_{1k} \\ \vdots & \ddots & \vdots\\ \beta_{k1} & \cdots & \beta_{kk} \end{pmatrix} \hspace{6cm}\\[8mm] \hspace{1cm} = \begin{pmatrix} \alpha_{11}\beta_{11} & \cdots & \alpha_{11}\beta_{1k} & & \alpha_{1m}\beta_{11} & \cdots & \alpha_{1m}\beta_{1k} \\ \vdots & \ddots & \vdots & \hspace{2mm}\cdots\hspace{2mm} & \vdots & \ddots & \vdots \\ \alpha_{11}\beta_{k1} & \cdots & \alpha_{11}\beta_{kk} & & \alpha_{1m}\beta_{k1} & \cdots & \alpha_{1m}\beta_{kk} \\[2mm] & \vdots & & \ddots & & \vdots & \\[2mm] \alpha_{m1}\beta_{11} & \cdots & \alpha_{m1}\beta_{1k} & & \alpha_{mm}\beta_{11} & \cdots & \alpha_{mm}\beta_{1k} \\ \vdots & \ddots & \vdots & \hspace{2mm}\cdots\hspace{2mm} & \vdots & \ddots & \vdots \\ \alpha_{m1}\beta_{k1} & \cdots & \alpha_{m1}\beta_{kk} & & \alpha_{mm}\beta_{k1} & \cdots & \alpha_{mm}\beta_{kk} \end{pmatrix} \end{gathered}$$

Produsele tensoriale ale trei sau mai multe matrice sunt definite în mod analog. Dacă $M_0, \ldots, M_{n-1}$ sunt matrice ale căror indici corespund mulțimilor de stări clasice $\Sigma_0,\ldots,\Sigma_{n-1},$ atunci produsul tensorial $M_{n-1}\otimes\cdots\otimes M_0$ este definit de condiția că

$$\langle a_{n-1}\cdots a_0 \vert M_{n-1}\otimes\cdots\otimes M_0 \vert b_{n-1}\cdots b_0\rangle = \langle a_{n-1} \vert M_{n-1} \vert b_{n-1} \rangle \cdots\langle a_0 \vert M_0 \vert b_0 \rangle$$

pentru orice alegere a stărilor clasice $a_0,b_0\in\Sigma_0,\ldots,a_{n-1},b_{n-1}\in\Sigma_{n-1}.$ Alternativ, produsele tensoriale ale trei sau mai multe matrice pot fi definite recursiv, în termenii produselor tensoriale a două matrice, similar cu ceea ce am observat pentru vectori.

Se spune uneori că produsul tensorial al matricelor este multiplicativ, deoarece ecuația

$$(M_{n-1}\otimes\cdots\otimes M_0)(N_{n-1}\otimes\cdots\otimes N_0) = (M_{n-1} N_{n-1})\otimes\cdots\otimes (M_0 N_0)$$

este întotdeauna adevărată, pentru orice alegere a matricelor $M_0,\ldots,M_{n-1}$ și $N_0\ldots,N_{n-1},$ cu condiția ca produsele $M_0 N_0, \ldots, M_{n-1} N_{n-1}$ să aibă sens.

Operații independente (continuare)

Putem acum răspunde la întrebarea pusă anterior: dacă $M$ este o operație probabilistică pe $\mathsf{X},$ $N$ este o operație probabilistică pe $\mathsf{Y},$ și cele două operații sunt efectuate independent, atunci operația rezultantă asupra sistemului compus $(\mathsf{X},\mathsf{Y})$ este produsul tensorial $M\otimes N.$

Așadar, atât pentru stările probabilistice, cât și pentru operațiile probabilistice, produsele tensoriale reprezintă independența. Dacă avem două sisteme $\mathsf{X}$ și $\mathsf{Y}$ care se află independent în stările probabilistice $\vert\phi\rangle$ și $\vert\psi\rangle,$ atunci sistemul compus $(\mathsf{X},\mathsf{Y})$ se află în starea probabilistică $\vert\phi\rangle\otimes\vert\psi\rangle;$ iar dacă aplicăm operații probabilistice $M$ și $N$ asupra celor două sisteme în mod independent, atunci acțiunea rezultantă asupra sistemului compus $(\mathsf{X},\mathsf{Y})$ este descrisă de operația $M\otimes N.$

Să analizăm un exemplu, care reia o operație probabilistică pe un singur bit din lecția anterioară: dacă starea clasică a bitului este $0,$ acesta este lăsat neschimbat; iar dacă starea clasică a bitului este $1,$ acesta este inversat la 0 cu probabilitatea $1/2.$ Am observat că această operație este reprezentată de matricea

$$\begin{pmatrix} 1 & \frac{1}{2}\\[1mm] 0 & \frac{1}{2} \end{pmatrix}.$$

Dacă această operație este efectuată pe un bit $\mathsf{X},$ iar o operație NOT este efectuată (independent) pe un al doilea bit $\mathsf{Y},$ atunci operația comună asupra sistemului compus $(\mathsf{X},\mathsf{Y})$ are reprezentarea matriceală

$$\begin{pmatrix} 1 & \frac{1}{2}\\[1mm] 0 & \frac{1}{2} \end{pmatrix} \otimes \begin{pmatrix} 0 & 1\\[1mm] 1 & 0 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 0 & 1 & 0 & \frac{1}{2} \\[1mm] 1 & 0 & \frac{1}{2} & 0 \\[1mm] 0 & 0 & 0 & \frac{1}{2} \\[1mm] 0 & 0 & \frac{1}{2} & 0 \end{pmatrix}.$$

Prin inspecție, observăm că aceasta este o matrice stocastică. Aceasta va fi întotdeauna situația: produsul tensorial a două sau mai multe matrice stocastice este întotdeauna stocastic.

O situație frecventă pe care o întâlnim este cea în care o operație este efectuată pe un sistem și nimic nu se face cu altul. În acest caz, se aplică exact aceeași prescripție, ținând cont că a nu face nimic este reprezentat de matricea identitate. De exemplu, resetarea bitului $\mathsf{X}$ la starea $0$ și a nu face nimic cu $\mathsf{Y}$ produce operația probabilistică (și de fapt deterministă) pe $(\mathsf{X},\mathsf{Y})$ reprezentată de matricea

$$\begin{pmatrix} 1 & 1\\[1mm] 0 & 0 \end{pmatrix} \otimes \begin{pmatrix} 1 & 0\\[1mm] 0 & 1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 1 & 0 & 1 & 0 \\[1mm] 0 & 1 & 0 & 1 \\[1mm] 0 & 0 & 0 & 0 \\[1mm] 0 & 0 & 0 & 0 \end{pmatrix}.$$