Informație cuantică

Acum suntem gata să trecem la informația cuantică, unde facem o alegere diferită pentru tipul de vector care reprezintă o stare — în acest caz o stare cuantică — a sistemului considerat. La fel ca în discuția anterioară despre informația clasică, ne vom preocupa de sisteme cu mulțimi finite și nevide de stări clasice și vom folosi mare parte din aceeași notație.

Vectori de stare cuantică

O stare cuantică a unui sistem este reprezentată printr-un vector coloană, similar cu o stare probabilistică. Ca și înainte, indicii vectorului etichetează stările clasice ale sistemului. Vectorii care reprezintă stări cuantice sunt caracterizați prin aceste două proprietăți:

1. Elementele unui vector de stare cuantică sunt numere complexe.
2. Suma pătratelor valorilor absolute ale elementelor unui vector de stare cuantică este $1.$

Astfel, spre deosebire de stările probabilistice, vectorii care reprezintă stări cuantice nu trebuie să aibă elemente reale nenegative, iar suma pătratelor valorilor absolute ale elementelor (spre deosebire de suma elementelor) este cea care trebuie să fie egală cu $1.$ Oricât de simple ar fi aceste schimbări, ele dau naștere diferențelor dintre informația cuantică și cea clasică; orice accelerare produsă de un calculator cuantic sau îmbunătățire adusă de un protocol de comunicare cuantică derivă, în ultimă instanță, din aceste simple schimbări matematice.

Norma euclidiană a unui vector coloană

$$v = \begin{pmatrix} \alpha_1\\ \vdots\\ \alpha_n \end{pmatrix}$$

este notată și definită astfel:

$$\| v \| = \sqrt{\sum_{k=1}^n |\alpha_k|^2}.$$

Condiția ca suma pătratelor valorilor absolute ale unui vector de stare cuantică să fie egală cu $1$ este prin urmare echivalentă cu faptul că acel vector are norma euclidiană egală cu $1.$ Adică, vectorii de stare cuantică sunt vectori unitari în raport cu norma euclidiană.

Exemple de stări qubit

Termenul qubit se referă la un sistem cuantic al cărui mulțime de stări clasice este $\{0,1\}.$ Adică, un qubit este de fapt doar un bit — dar folosind acest nume recunoaștem explicit că acest bit poate fi într-o stare cuantică.

Acestea sunt exemple de stări cuantice ale unui qubit:

$$\begin{pmatrix} 1\\[2mm] 0 \end{pmatrix} = \vert 0\rangle \quad\text{and}\quad \begin{pmatrix} 0\\[2mm] 1 \end{pmatrix} = \vert 1\rangle,$$ $$\begin{pmatrix} \frac{1}{\sqrt{2}}\\[2mm] \frac{1}{\sqrt{2}} \end{pmatrix} = \frac{1}{\sqrt{2}}\,\vert 0\rangle + \frac{1}{\sqrt{2}}\,\vert 1\rangle, \tag{1}$$

și

$$\begin{pmatrix} \frac{1+2i}{3}\\[2mm] -\frac{2}{3} \end{pmatrix} = \frac{1+2i}{3}\,\vert 0\rangle - \frac{2}{3}\,\vert 1\rangle.$$

Primele două exemple, $\vert 0\rangle$ și $\vert 1\rangle,$ ilustrează că elementele bazei standard sunt vectori de stare cuantică valizi: elementele lor sunt numere complexe, unde partea imaginară a acestor numere este, întâmplător, $0,$ iar calculând suma pătratelor valorilor absolute ale elementelor obținem

$$\vert 1\vert^2 + \vert 0\vert^2 = 1 \quad\text{and}\quad \vert 0\vert^2 + \vert 1\vert^2 = 1,$$

după cum se impune. Similar cu cazul clasic, asociem vectorii de stare cuantică $\vert 0\rangle$ și $\vert 1\rangle$ cu un qubit aflat în starea clasică $0,$ respectiv $1.$

Pentru celelalte două exemple, avem din nou elemente numere complexe, iar calculând suma pătratelor valorilor absolute ale elementelor obținem

$$\biggl\vert\frac{1}{\sqrt{2}}\biggr\vert^2 + \biggl\vert\frac{1}{\sqrt{2}}\biggr\vert^2 = \frac{1}{2} + \frac{1}{2} = 1$$

și

$$\biggl\vert \frac{1+2i}{3} \biggr\vert^2 + \biggl\vert -\frac{2}{3} \biggr\vert^2 = \frac{5}{9} + \frac{4}{9} = 1.$$

Aceștia sunt, prin urmare, vectori de stare cuantică valizi. Observă că sunt combinații liniare ale stărilor bazei standard $\vert 0 \rangle$ și $\vert 1 \rangle,$ și din acest motiv spunem adesea că sunt superpozițiii ale stărilor $0$ și $1.$ În contextul stărilor cuantice, superpozitie și combinație liniară sunt în esență sinonime.

Exemplul $(1)$ al unui vector de stare qubit de mai sus este întâlnit foarte frecvent — se numește starea plus și este notat astfel:

$$\vert {+} \rangle = \frac{1}{\sqrt{2}} \vert 0\rangle + \frac{1}{\sqrt{2}} \vert 1\rangle.$$

Folosim, de asemenea, notația

$$\vert {-} \rangle = \frac{1}{\sqrt{2}} \vert 0\rangle - \frac{1}{\sqrt{2}} \vert 1\rangle$$

pentru a face referire la un vector de stare cuantică înrudit, unde al doilea element este negativ în loc de pozitiv, și numim această stare starea minus.

Acest tip de notație, în care apare în interiorul unui ket un simbol diferit de cel care se referă la o stare clasică, este frecventă — putem folosi orice nume dorim în interiorul unui ket pentru a denumi un vector. Este destul de obișnuit să se folosească notația $\vert\psi\rangle,$ sau un alt nume în locul lui $\psi,$ pentru a face referire la un vector arbitrar care nu este neapărat un vector al bazei standard.

Observă că, dacă avem un vector $\vert \psi \rangle$ ale cărui indici corespund unei mulțimi de stări clasice $\Sigma,$ și dacă $a\in\Sigma$ este un element al acestei mulțimi de stări clasice, atunci produsul matriceal $\langle a\vert \vert \psi\rangle$ este egal cu elementul vectorului $\vert \psi \rangle$ al cărui indice corespunde lui $a.$ Așa cum am procedat când $\vert \psi \rangle$ era un vector al bazei standard, scriem $\langle a \vert \psi \rangle$ în loc de $\langle a\vert \vert \psi\rangle$ pentru lizibilitate.

De exemplu, dacă $\Sigma = \{0,1\}$ și

$$\vert \psi \rangle = \frac{1+2i}{3} \vert 0\rangle - \frac{2}{3} \vert 1\rangle = \begin{pmatrix} \frac{1+2i}{3}\\[2mm] -\frac{2}{3} \end{pmatrix}, \tag{2}$$

atunci

$$\langle 0 \vert \psi \rangle = \frac{1+2i}{3} \quad\text{and}\quad \langle 1 \vert \psi \rangle = -\frac{2}{3}.$$

În general, atunci când se folosește notația Dirac pentru vectori arbitrari, notația $\langle \psi \vert$ se referă la vectorul linie obținut prin calcularea conjugatei-transposei vectorului coloană $\vert\psi\rangle,$ unde vectorul este transpus dintr-un vector coloană într-un vector linie și fiecare element este înlocuit cu conjugatul său complex. De exemplu, dacă $\vert\psi\rangle$ este vectorul definit în $(2),$ atunci

$$\langle\psi\vert = \frac{1-2i}{3} \langle 0\vert - \frac{2}{3} \langle 1\vert = \begin{pmatrix} \frac{1-2i}{3} & -\frac{2}{3} \end{pmatrix}.$$

Motivul pentru care luăm conjugatul complex, pe lângă transpunere, va deveni mai clar mai târziu când discutăm despre produse interioare.

Stări cuantice ale altor sisteme

Putem considera stări cuantice ale sistemelor cu seturi de stări clasice arbitrare. De exemplu, iată un vector de stare cuantică pentru un comutator de ventilator electric:

$$\begin{pmatrix} \frac{1}{2}\\[1mm] 0 \\[1mm] -\frac{i}{2}\\[1mm] \frac{1}{\sqrt{2}} \end{pmatrix} = \frac{1}{2} \vert\mathrm{high}\rangle - \frac{i}{2} \vert\mathrm{low}\rangle + \frac{1}{\sqrt{2}} \vert\mathrm{off}\rangle.$$

Presupunerea de bază este că stările clasice sunt ordonate astfel: high, medium, low, off. S-ar putea să nu existe niciun motiv particular pentru care ai vrea să consideri o stare cuantică a unui comutator de ventilator electric, dar este posibil în principiu.

Iată un alt exemplu, de data aceasta al unei cifre zecimale cuantice ale cărei stări clasice sunt $0, 1, \ldots, 9:$

$$\frac{1}{\sqrt{385}} \begin{pmatrix} 1\\ 2\\ 3\\ 4\\ 5\\ 6\\ 7\\ 8\\ 9\\ 10 \end{pmatrix} = \frac{1}{\sqrt{385}}\sum_{k = 0}^9 (k+1) \vert k \rangle.$$

Acest exemplu ilustrează comoditatea scrierii vectorilor de stare folosind notația Dirac. Pentru acest exemplu particular, reprezentarea prin vector coloană este pur și simplu incomodă — dar dacă ar exista semnificativ mai multe stări clasice, ar deveni inutilizabilă. Notația Dirac, în schimb, permite descrieri precise ale vectorilor mari și complicați într-o formă compactă.

Notația Dirac permite, de asemenea, exprimarea vectorilor în care diferite aspecte ale vectorilor sunt nedeterminate, adică necunoscute sau încă nestabilite. De exemplu, pentru un set de stări clasice arbitrar $\Sigma,$ putem considera vectorul de stare cuantică

$$\frac{1}{\sqrt{|\Sigma|}} \sum_{a\in\Sigma} \vert a \rangle,$$

unde notația $\sqrt{|\Sigma|}$ se referă la norma euclidiană a lui $\Sigma,$ iar $\vert\Sigma\vert$ în acest caz este pur și simplu numărul de elemente din $\Sigma.$ Cu alte cuvinte, aceasta este o superpozițe uniformă peste stările clasice din $\Sigma.$

Vom întâlni expresii mult mai complicate ale vectorilor de stare cuantică în lecțiile ulterioare, acolo unde utilizarea vectorilor coloană ar fi impractică sau imposibilă. De fapt, vom abandona în mare parte reprezentarea prin vector coloană a vectorilor de stare, cu excepția vectorilor cu un număr mic de intrări (adesea în contextul exemplelor), unde poate fi util să afișăm și să examinăm intrările în mod explicit.

Iată încă un motiv pentru care exprimarea vectorilor de stare folosind notația Dirac este convenabilă: elimină nevoia de a specifica explicit o ordonare a stărilor clasice (sau, echivalent, corespondența dintre stările clasice și indicii vectorilor).

De exemplu, un vector de stare cuantică pentru un sistem cu setul de stări clasice $\{\clubsuit,\diamondsuit,\heartsuit,\spadesuit\},$ cum ar fi

$$\frac{1}{2} \vert\clubsuit\rangle + \frac{i}{2} \vert\diamondsuit\rangle - \frac{1}{2} \vert\heartsuit\rangle - \frac{i}{2} \vert\spadesuit\rangle,$$

este descris fără ambiguitate de această expresie, și nu există cu adevărat nicio nevoie de a alege sau specifica o ordonare a acestui set de stări clasice pentru a înțelege expresia. În acest caz, nu este dificil să specifici o ordonare a culorilor standard de cărți de joc — de exemplu, am putea alege să le ordonăm astfel: $\clubsuit,$ $\diamondsuit,$ $\heartsuit,$ $\spadesuit.$ Dacă alegem această ordonare particulară, vectorul de stare cuantică de mai sus ar fi reprezentat prin vectorul coloană

$$\begin{pmatrix} \frac{1}{2}\\[2mm] \frac{i}{2}\\[2mm] -\frac{1}{2}\\[2mm] -\frac{i}{2} \end{pmatrix}.$$

În general, însă, este convenabil să poți ignora pur și simplu problema ordonării seturilor de stări clasice.

Măsurarea stărilor cuantice

Să analizăm în continuare ce se întâmplă când o stare cuantică este măsurată, concentrându-ne pe un tip simplu de măsurare cunoscut ca măsurare în baza standard. (Există noțiuni mai generale de măsurare pe care le vom discuta mai târziu.)

Similar cu contextul probabilistic, atunci când un sistem aflat într-o stare cuantică este măsurat, observatorul ipotetic care efectuează măsurarea nu va vedea un vector de stare cuantică, ci va vedea o anumită stare clasică. În acest sens, măsurările acționează ca o interfață între informația cuantică și cea clasică, prin care informația clasică este extrasă din stările cuantice.

Regula este simplă: dacă o stare cuantică este măsurată, fiecare stare clasică a sistemului apare cu o probabilitate egală cu valoarea absolută la pătrat a intrării din vectorul de stare cuantică corespunzătoare acelei stări clasice. Aceasta este cunoscută sub numele de regula Born în mecanica cuantică. Observă că această regulă este consistentă cu cerința ca valorile absolute la pătrat ale intrărilor dintr-un vector de stare cuantică să sumeze la $1,$ deoarece implică faptul că probabilitățile diferitelor rezultate ale măsurării stărilor clasice sumează la $1.$

De exemplu, măsurarea stării plus

$$\vert {+} \rangle = \frac{1}{\sqrt{2}} \vert 0 \rangle + \frac{1}{\sqrt{2}} \vert 1 \rangle$$

produce două rezultate posibile, $0$ și $1,$ cu probabilitățile următoare.

$$\operatorname{Pr}(\text{outcome is 0}) = \bigl\vert \langle 0 \vert {+} \rangle \bigr\vert^2 = \biggl\vert \frac{1}{\sqrt{2}} \biggr\vert^2 = \frac{1}{2}$$ $$\operatorname{Pr}(\text{outcome is 1}) = \bigl\vert \langle 1 \vert {+} \rangle \bigr\vert^2 = \biggl\vert \frac{1}{\sqrt{2}} \biggr\vert^2 = \frac{1}{2}$$

Interesant este că măsurarea stării minus

$$\vert {-} \rangle = \frac{1}{\sqrt{2}} \vert 0 \rangle - \frac{1}{\sqrt{2}} \vert 1 \rangle$$

produce exact aceleași probabilități pentru cele două rezultate.

$$\operatorname{Pr}(\text{outcome is 0}) = \bigl\vert \langle 0 \vert {-} \rangle \bigr\vert^2 = \biggl\vert \frac{1}{\sqrt{2}} \biggr\vert^2 = \frac{1}{2}$$ $$\operatorname{Pr}(\text{outcome is 1}) = \bigl\vert \langle 1 \vert {-} \rangle \bigr\vert^2 = \biggl\vert -\frac{1}{\sqrt{2}} \biggr\vert^2 = \frac{1}{2}$$

Aceasta sugerează că, în ceea ce privește măsurările în baza standard, stările plus și minus nu sunt diferite. De ce, atunci, am vrea să facem o distincție între ele? Răspunsul este că aceste două stări se comportă diferit atunci când se efectuează operații asupra lor, așa cum vom discuta în subsecțiunea următoare.

Desigur, măsurarea stării cuantice $\vert 0\rangle$ produce cu certitudine starea clasică $0$, și la fel, măsurarea stării cuantice $\vert 1\rangle$ produce cu certitudine starea clasică $1.$ Aceasta este consistentă cu identificarea acestor stări cuantice cu sistemul care se află în starea clasică corespunzătoare, după cum s-a sugerat anterior.

Ca exemplu final, măsurarea stării

$$\vert \psi \rangle = \frac{1+2i}{3} \vert 0\rangle - \frac{2}{3} \vert 1\rangle$$

face ca cele două rezultate posibile să apară cu probabilitățile următoare:

$$\operatorname{Pr}(\text{outcome is 0}) = \bigl\vert \langle 0 \vert \psi \rangle \bigr\vert^2 = \biggl\vert \frac{1+2i}{3} \biggr\vert^2 = \frac{5}{9},$$

și

$$\operatorname{Pr}(\text{outcome is 1}) = \bigl\vert \langle 1 \vert \psi \rangle \bigr\vert^2 = \biggl\vert -\frac{2}{3} \biggr\vert^2 = \frac{4}{9}.$$

Operații unitare

Până acum, este posibil să nu fie evident de ce informația cuantică este fundamental diferită de informația clasică. Adică, atunci când o stare cuantică este măsurată, probabilitatea de a obține fiecare stare clasică este dată de valoarea absolută la pătrat a intrării corespunzătoare din vector — deci de ce să nu înregistrăm pur și simplu aceste probabilități într-un vector de probabilitate?

Răspunsul, cel puțin în parte, este că mulțimea operațiilor permise care pot fi efectuate asupra unei stări cuantice este diferită față de cea din cazul informației clasice. Similar cu cazul probabilistic, operațiile asupra stărilor cuantice sunt aplicații liniare — însă, în loc să fie reprezentate prin matrice stocastice, ca în cazul clasic, operațiile asupra vectorilor de stare cuantică sunt reprezentate prin matrice unitare.

O matrice pătrată $U$ cu intrări numere complexe este unitară dacă satisface ecuațiile

$$\begin{aligned} U U^{\dagger} &= \mathbb{I} \\ U^{\dagger} U &= \mathbb{I}. \end{aligned} \tag{3}$$

Aici, $\mathbb{I}$ este matricea identitate, iar $U^{\dagger}$ este transpusa conjugată a lui $U,$ adică matricea obținută prin transpunerea lui $U$ și luarea conjugatei complexe a fiecărei intrări.

$$U^{\dagger} = \overline{U^T}$$

Dacă una dintre cele două egalități numerotate $(3)$ de mai sus este adevărată, atunci și cealaltă trebuie să fie adevărată. Ambele egalități sunt echivalente cu faptul că $U^{\dagger}$ este inversul lui $U:$

$$U^{-1} = U^{\dagger}.$$

(Atenție: dacă $M$ nu este o matrice pătrată, atunci este posibil ca $M^{\dagger} M = \mathbb{I}$ și $M M^{\dagger} \neq \mathbb{I},$ de exemplu. Echivalența celor două egalități din prima ecuație de mai sus este valabilă numai pentru matrice pătrate.)

Condiția că $U$ este unitară este echivalentă cu condiția că înmulțirea cu $U$ nu modifică norma euclidiană a niciunui vector. Adică, o matrice $n\times n$ $U$ este unitară dacă și numai dacă $\| U \vert \psi \rangle \| = \|\vert \psi \rangle \|$ pentru orice vector coloană $n$-dimensional $\vert \psi \rangle$ cu intrări numere complexe. Astfel, deoarece mulțimea tuturor vectorilor de stare cuantică coincide cu mulțimea vectorilor cu norma euclidiană egală cu $1,$ înmulțirea unei matrice unitare cu un vector de stare cuantică produce un alt vector de stare cuantică.

Într-adevăr, matricele unitare sunt exact mulțimea aplicațiilor liniare care transformă întotdeauna vectorii de stare cuantică în alți vectori de stare cuantică. Observă aici o asemănare cu cazul probabilistic clasic, unde operațiile sunt asociate cu matrice stocastice, care sunt cele ce transformă întotdeauna vectorii de probabilitate în vectori de probabilitate.

Exemple de operații unitare pe qubiți

Lista de mai jos descrie câteva operații unitare frecvent întâlnite pe qubiți.

1. Operații Pauli. Cele patru matrice Pauli sunt următoarele:

   $$\mathbb{I} = \begin{pmatrix} 1 & 0\\ 0 & 1 \end{pmatrix}, \quad \sigma_x = \begin{pmatrix} 0 & 1\\ 1 & 0 \end{pmatrix}, \quad \sigma_y = \begin{pmatrix} 0 & -i\\ i & 0 \end{pmatrix}, \quad \sigma_z = \begin{pmatrix} 1 & 0\\ 0 & -1 \end{pmatrix}.$$

   O notație alternativă frecventă este $X = \sigma_x,$ $Y = \sigma_y,$ și $Z = \sigma_z$ (dar ține cont că literele $X,$ $Y$ și $Z$ sunt folosite deseori și în alte scopuri). Operația $X$ se mai numește bit flip sau operație NOT, deoarece induce această acțiune asupra biților:

   $$X \vert 0\rangle = \vert 1\rangle \quad \text{and} \quad X \vert 1\rangle = \vert 0\rangle.$$

   Operația $Z$ se mai numește phase flip și are această acțiune:

   $$Z \vert 0\rangle = \vert 0\rangle \quad \text{and} \quad Z \vert 1\rangle = - \vert 1\rangle.$$

2. Operația Hadamard. Operația Hadamard este descrisă de această matrice:

   $$H = \begin{pmatrix} \frac{1}{\sqrt{2}} & \frac{1}{\sqrt{2}} \\[2mm] \frac{1}{\sqrt{2}} & -\frac{1}{\sqrt{2}} \end{pmatrix}.$$

3. Operații de fază. O operație de fază este una descrisă de matricea

   $$P_{\theta} = \begin{pmatrix} 1 & 0\\ 0 & e^{i\theta} \end{pmatrix}$$

   pentru orice alegere a unui număr real $\theta.$ Operațiile

   $$S = P_{\pi/2} = \begin{pmatrix} 1 & 0\\ 0 & i \end{pmatrix} \quad \text{and} \quad T = P_{\pi/4} = \begin{pmatrix} 1 & 0\\ 0 & \frac{1 + i}{\sqrt{2}} \end{pmatrix}$$

   sunt exemple deosebit de importante. Alte exemple includ $\mathbb{I} = P_0$ și $Z = P_{\pi}.$

Toate matricele definite mai sus sunt unitare și, prin urmare, reprezintă operații cuantice pe un singur qubit. De exemplu, iată un calcul care verifică faptul că $H$ este unitară:

$$\begin{pmatrix} \frac{1}{\sqrt{2}} & \frac{1}{\sqrt{2}} \\[2mm] \frac{1}{\sqrt{2}} & -\frac{1}{\sqrt{2}} \end{pmatrix}^{\dagger} \begin{pmatrix} \frac{1}{\sqrt{2}} & \frac{1}{\sqrt{2}} \\[2mm] \frac{1}{\sqrt{2}} & -\frac{1}{\sqrt{2}} \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} \frac{1}{\sqrt{2}} & \frac{1}{\sqrt{2}} \\[2mm] \frac{1}{\sqrt{2}} & -\frac{1}{\sqrt{2}} \end{pmatrix} \begin{pmatrix} \frac{1}{\sqrt{2}} & \frac{1}{\sqrt{2}} \\[2mm] \frac{1}{\sqrt{2}} & -\frac{1}{\sqrt{2}} \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} \frac{1}{2} + \frac{1}{2} & \frac{1}{2} - \frac{1}{2}\\[2mm] \frac{1}{2} - \frac{1}{2} & \frac{1}{2} + \frac{1}{2} \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 1 & 0\\ 0 & 1 \end{pmatrix}.$$

Și iată acțiunea operației Hadamard asupra câtorva vectori de stare qubit întâlniți frecvent.

$$\begin{aligned} H \vert 0 \rangle & = \begin{pmatrix} \frac{1}{\sqrt{2}} & \frac{1}{\sqrt{2}} \\[2mm] \frac{1}{\sqrt{2}} & -\frac{1}{\sqrt{2}} \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 1\\[2mm] 0 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} \frac{1}{\sqrt{2}}\\[2mm] \frac{1}{\sqrt{2}} \end{pmatrix} = \vert + \rangle\\[6mm] H \vert 1 \rangle & = \begin{pmatrix} \frac{1}{\sqrt{2}} & \frac{1}{\sqrt{2}} \\[2mm] \frac{1}{\sqrt{2}} & -\frac{1}{\sqrt{2}} \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 0\\[2mm] 1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} \frac{1}{\sqrt{2}}\\[2mm] -\frac{1}{\sqrt{2}} \end{pmatrix} = \vert - \rangle\\[6mm] H \vert + \rangle & = \begin{pmatrix} \frac{1}{\sqrt{2}} & \frac{1}{\sqrt{2}} \\[2mm] \frac{1}{\sqrt{2}} & -\frac{1}{\sqrt{2}} \end{pmatrix} \begin{pmatrix} \frac{1}{\sqrt{2}}\\[2mm] \frac{1}{\sqrt{2}} \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 1\\[2mm] 0 \end{pmatrix} = \vert 0 \rangle\\[6mm] H \vert - \rangle & = \begin{pmatrix} \frac{1}{\sqrt{2}} & \frac{1}{\sqrt{2}} \\[2mm] \frac{1}{\sqrt{2}} & -\frac{1}{\sqrt{2}} \end{pmatrix} \begin{pmatrix} \frac{1}{\sqrt{2}}\\[2mm] -\frac{1}{\sqrt{2}} \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 0\\[2mm] 1 \end{pmatrix} = \vert 1 \rangle \end{aligned}$$

Mai concis, obținem aceste patru ecuații.

$$\begin{aligned} H \vert 0 \rangle = \vert {+} \rangle & \qquad H \vert {+} \rangle = \vert 0 \rangle \\[1mm] H \vert 1 \rangle = \vert {-} \rangle & \qquad H \vert {-} \rangle = \vert 1 \rangle \end{aligned}$$

Merită să ne oprim și să reflectăm la faptul că $H\vert {+} \rangle = \vert 0\rangle$ și $H\vert {-} \rangle = \vert 1\rangle,$ în lumina întrebării sugerate în secțiunea anterioară privind distincția dintre stările $\vert {+} \rangle$ și $\vert {-} \rangle.$

Imaginează-ți o situație în care un qubit este pregătit într-una dintre cele două stări cuantice $\vert {+} \rangle$ și $\vert {-} \rangle,$ dar nu știm care anume. Măsurarea oricăreia dintre stări produce aceeași distribuție de ieșire ca cealaltă, după cum am observat deja: $0$ și $1$ apar ambele cu probabilitate egală $1/2,$ ceea ce nu oferă nicio informație despre care dintre cele două stări a fost pregătită.

Totuși, dacă aplicăm mai întâi o operație Hadamard și apoi măsurăm, obținem rezultatul $0$ cu certitudine dacă starea inițială era $\vert {+} \rangle,$ și obținem rezultatul $1,$ tot cu certitudine, dacă starea inițială era $\vert {-} \rangle.$ Stările cuantice $\vert {+} \rangle$ și $\vert {-} \rangle$ pot fi astfel discriminate perfect. Aceasta relevă că schimbările de semn, sau mai general schimbările fazelor (numite în mod tradițional și argumente) ale intrărilor cu numere complexe dintr-un vector de stare cuantică, pot modifica semnificativ acea stare.

Iată un alt exemplu, care arată cum acționează o operație Hadamard asupra vectorului de stare cuantică menționat anterior.

$$H \biggl(\frac{1+2i}{3} \vert 0\rangle - \frac{2}{3} \vert 1\rangle\biggr) = \begin{pmatrix} \frac{1}{\sqrt{2}} & \frac{1}{\sqrt{2}} \\[2mm] \frac{1}{\sqrt{2}} & -\frac{1}{\sqrt{2}} \end{pmatrix} \begin{pmatrix} \frac{1+2i}{3}\\[2mm] -\frac{2}{3} \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} \frac{-1+2i}{3\sqrt{2}}\\[2mm] \frac{3+2i}{3\sqrt{2}} \end{pmatrix} = \frac{-1+2i}{3\sqrt{2}} | 0 \rangle + \frac{3+2i}{3\sqrt{2}} | 1 \rangle$$

În continuare, să analizăm acțiunea unei operații $T$ asupra stării plus.

$$T \vert {+} \rangle = T \biggl(\frac{1}{\sqrt{2}} \vert 0\rangle + \frac{1}{\sqrt{2}} \vert 1\rangle\biggr) = \frac{1}{\sqrt{2}} T\vert 0\rangle + \frac{1}{\sqrt{2}} T\vert 1\rangle = \frac{1}{\sqrt{2}} \vert 0\rangle + \frac{1+i}{2} \vert 1\rangle$$

Observă că nu am mai recurs la formele echivalente matriciale/vectoriale, ci am folosit liniaritatea înmulțirii matriciale împreună cu formulele

$$T \vert 0\rangle = \vert 0\rangle \quad\text{and}\quad T \vert 1\rangle = \frac{1 + i}{\sqrt{2}} \vert 1\rangle.$$

Pe același principiu, putem calcula rezultatul aplicării unei operații Hadamard asupra vectorului de stare cuantică tocmai obținut:

$$\begin{aligned} H\, \biggl(\frac{1}{\sqrt{2}} \vert 0\rangle + \frac{1+i}{2} \vert 1\rangle\biggr) & = \frac{1}{\sqrt{2}} H \vert 0\rangle + \frac{1+i}{2} H \vert 1\rangle\\ & = \frac{1}{\sqrt{2}} \vert +\rangle + \frac{1+i}{2} \vert -\rangle \\ & = \biggl(\frac{1}{2} \vert 0\rangle + \frac{1}{2} \vert 1\rangle\biggr) + \biggl(\frac{1+i}{2\sqrt{2}} \vert 0\rangle - \frac{1+i}{2\sqrt{2}} \vert 1\rangle\biggr)\\ & = \biggl(\frac{1}{2} + \frac{1+i}{2\sqrt{2}}\biggr) \vert 0\rangle + \biggl(\frac{1}{2} - \frac{1+i}{2\sqrt{2}}\biggr) \vert 1\rangle. \end{aligned}$$

Cele două abordări — una în care convertim explicit la reprezentări matriciale și cealaltă în care folosim liniaritatea și înlocuim acțiunile unei operații asupra vectorilor bazei standard — sunt echivalente. Putem folosi oricare dintre ele este mai convenabilă în situația de față.

Compoziții de operații unitare pe qubiți

Compozițiile de operații unitare sunt reprezentate prin înmulțirea matricelor, la fel cum am procedat în contextul probabilistic.

De exemplu, să presupunem că aplicăm mai întâi o operație Hadamard, urmată de o operație $S$, urmată de o altă operație Hadamard. Operația rezultantă, pe care o vom numi $R$ în scopul acestui exemplu, este după cum urmează:

$$R = H S H = \begin{pmatrix} \frac{1}{\sqrt{2}} & \frac{1}{\sqrt{2}} \\[2mm] \frac{1}{\sqrt{2}} & -\frac{1}{\sqrt{2}} \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 1 & 0\\ 0 & i \end{pmatrix} \begin{pmatrix} \frac{1}{\sqrt{2}} & \frac{1}{\sqrt{2}} \\[2mm] \frac{1}{\sqrt{2}} & -\frac{1}{\sqrt{2}} \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} \frac{1+i}{2} & \frac{1-i}{2} \\[2mm] \frac{1-i}{2} & \frac{1+i}{2} \end{pmatrix}.$$

Această operație unitară $R$ este un exemplu interesant. Aplicând această operație de două ori, ceea ce este echivalent cu ridicarea la pătrat a reprezentării sale matriceale, obținem o operație NOT:

$$R^2 = \begin{pmatrix} \frac{1+i}{2} & \frac{1-i}{2} \\[2mm] \frac{1-i}{2} & \frac{1+i}{2} \end{pmatrix}^2 = \begin{pmatrix} 0 & 1 \\[2mm] 1 & 0 \end{pmatrix}.$$

Cu alte cuvinte, $R$ este o operație de tip rădăcină pătrată a lui NOT. Un astfel de comportament, în care aceeași operație este aplicată de două ori pentru a produce o operație NOT, nu este posibil pentru o operație clasică pe un singur bit.

Operații unitare pe sisteme mai mari

În lecțiile următoare, vom vedea multe exemple de operații unitare pe sisteme cu mai mult de două stări clasice. Un exemplu de operație unitară pe un sistem cu trei stări clasice este dat de matricea următoare.

$$A = \begin{pmatrix} {0} & {0} & {1} \\ {1} & {0} & {0} \\ {0} & {1} & {0} \end{pmatrix}$$

Presupunând că stările clasice ale sistemului sunt $0,$ $1,$ și $2,$ putem descrie această operație ca adunare modulo $3.$

$$A \vert 0\rangle = \vert 1\rangle, \quad A \vert 1\rangle = \vert 2\rangle, \quad\text{and}\quad A \vert 2\rangle = \vert 0\rangle$$

Matricea $A$ este un exemplu de matrice de permutare, adică o matrice în care fiecare linie și coloană conține exact un singur $1.$ Astfel de matrice nu fac decât să rearanjeze, sau să permute, intrările vectorilor asupra cărora acționează. Matricea identitate este poate cel mai simplu exemplu de matrice de permutare, iar un alt exemplu este operația NOT aplicată unui bit sau qubit. Orice matrice de permutare, indiferent de dimensiunea pozitivă întreagă, este unitară. Acestea sunt singurele exemple de matrice care reprezintă atât operații clasice, cât și operații cuantice: o matrice este atât stocastică, cât și unitară dacă și numai dacă este o matrice de permutare.

Un alt exemplu de matrice unitară, de această dată o matrice $4\times 4$, este aceasta:

$$U = \frac{1}{2} \begin{pmatrix} 1 & 1 & 1 & 1 \\[1mm] 1 & i & -1 & -i \\[1mm] 1 & -1 & 1 & -1 \\[1mm] 1 & -i & -1 & i \end{pmatrix}.$$

Această matrice descrie o operație cunoscută sub numele de transformată Fourier cuantică, în particular în cazul $4\times 4$. Transformata Fourier cuantică poate fi definită mai general, pentru orice dimensiune întreagă pozitivă $n$, și joacă un rol esențial în algoritmii cuantici.