Codare supradensă

Codarea supradensă este un protocol care, într-un anumit sens, urmărește un scop complementar teleportării. În loc să permită transmiterea unui qubit folosind două biți clasici de comunicare (cu costul unui e-bit de entanglement), permite transmiterea a doi biți clasici folosind un qubit de comunicare cuantică (tot cu costul unui e-bit de entanglement).

Mai în detaliu, avem un emițător (Alice) și un receptor (Bob) care împart un e-bit de entanglement. Conform convențiilor stabilite pentru această lecție, Alice deține un qubit $\mathsf{A},$ Bob deține un qubit $\mathsf{B},$ iar perechea $(\mathsf{A},\mathsf{B})$ se află în starea $\vert\phi^+\rangle.$ Alice dorește să transmită doi biți clasici lui Bob, pe care îi vom nota cu $c$ și $d,$ și va realiza acest lucru trimițându-i un qubit.

Este rezonabil să considerăm această realizare ca fiind mai puțin impresionantă decât cea a teleportării. Trimiterea qubiților va fi probabil mult mai dificilă decât trimiterea biților clasici în viitorul previzibil, astfel că schimbul unui qubit de comunicare cuantică pentru doi biți de comunicare clasică, cu costul unui e-bit, pare cu greu să merite. Cu toate acestea, aceasta nu implică faptul că codarea supradensă nu este interesantă, căci cu siguranță este.

Urmând tema lecției, un motiv pentru care codarea supradensă este interesantă este că demonstrează o utilizare concretă și (în contextul teoriei informației) destul de surprinzătoare a entanglement-ului. Un teoremă celebră în teoria cuantică a informației, cunoscută sub numele de teorema lui Holevo, implică faptul că fără utilizarea unei stări entangled partajate, este imposibil să comunici mai mult de un bit de informație clasică trimițând un singur qubit. (Teorema lui Holevo este mai generală decât atât. Enunțul ei precis este tehnic și necesită explicații, dar aceasta este una dintre consecințele sale.) Astfel, prin codarea supradensă, entanglement-ul partajat permite efectiv dublarea capacității de transport a informației clasice prin trimiterea de qubiți.

Protocol

Următoarea diagramă a circuitului cuantic descrie protocolul de codare supradensă:

Iată ce face Alice, în cuvinte:

1. Dacă $d=1,$ Alice aplică o poartă $Z$ pe qubitul ei $\mathsf{A}$ (iar dacă $d=0,$ nu face nimic).

2. Dacă $c=1,$ Alice aplică o poartă $X$ pe qubitul ei $\mathsf{A}$ (iar dacă $c=0,$ nu face nimic).

Alice trimite apoi qubitul $\mathsf{A}$ lui Bob.

Când Bob primește qubitul $\mathsf{A},$ aplică mai întâi o poartă controlled-NOT, cu $\mathsf{A}$ ca control și $\mathsf{B}$ ca țintă, după care aplică o poartă Hadamard pe $\mathsf{A}.$ Apoi măsoară $\mathsf{B}$ pentru a obține $c$ și $\mathsf{A}$ pentru a obține $d,$ folosind în ambele cazuri măsurători în baza standard.

Analiză

Ideea din spatele acestui protocol este destul de simplă: Alice alege efectiv ce stare Bell dorește să partajeze cu Bob, îi trimite qubitul, iar Bob măsoară pentru a determina ce stare Bell a ales Alice.

Adică, ei partajează inițial $\vert\phi^+\rangle,$ iar în funcție de biții $c$ și $d,$ Alice fie lasă această stare neschimbată, fie o transformă în una dintre celelalte stări Bell aplicând $\mathbb{I},$ $X,$ $Z,$ sau $XZ$ pe qubitul ei $\mathsf{A}.$

$$\begin{aligned} (\mathbb{I} \otimes \mathbb{I}) \vert \phi^+ \rangle & = \vert \phi^+\rangle \\ (\mathbb{I} \otimes Z) \vert \phi^+ \rangle & = \vert \phi^-\rangle \\ (\mathbb{I} \otimes X) \vert \phi^+ \rangle & = \vert \psi^+\rangle \\ (\mathbb{I} \otimes XZ) \vert \phi^+ \rangle & = \vert \psi^-\rangle \end{aligned}$$

Acțiunile lui Bob au următoarele efecte asupra celor patru stări Bell:

$$\begin{aligned} \vert \phi^+\rangle & \mapsto \vert 00\rangle\\ \vert \phi^-\rangle & \mapsto \vert 01\rangle\\ \vert \psi^+\rangle & \mapsto \vert 10\rangle\\ \vert \psi^-\rangle & \mapsto -\vert 11\rangle\\ \end{aligned}$$

Acest lucru poate fi verificat direct, calculând rezultatele operațiilor lui Bob asupra acestor stări, una câte una.

Astfel, când Bob efectuează măsurătorile, poate determina ce stare Bell a ales Alice. Verificarea faptului că protocolul funcționează corect constă în examinarea fiecărui caz:

• Dacă $cd = 00,$ atunci starea $(\mathsf{B},\mathsf{A})$ când Bob primește $\mathsf{A}$ este $\vert \phi^+\rangle.$ El transformă această stare în $\vert 00\rangle$ și obține $cd = 00.$

• Dacă $cd = 01,$ atunci starea $(\mathsf{B},\mathsf{A})$ când Bob primește $\mathsf{A}$ este $\vert \phi^-\rangle.$ El transformă această stare în $\vert 01\rangle$ și obține $cd = 01.$

• Dacă $cd = 10,$ atunci starea $(\mathsf{B},\mathsf{A})$ când Bob primește $\mathsf{A}$ este $\vert \psi^+\rangle.$ El transformă această stare în $\vert 10\rangle$ și obține $cd = 10.$

• Dacă $cd = 11,$ atunci starea $(\mathsf{B},\mathsf{A})$ când Bob primește $\mathsf{A}$ este $\vert \psi^-\rangle.$ El transformă această stare în $-\vert 11\rangle$ și obține $cd = 11.$ (Factorul de fază negativ nu are niciun efect aici.)