Formalism matematic

Având sarcina de a învăța zgomotul Pauli pentru un set de porți Clifford, o tehnică de analiză frecventă este urmărirea felului în care operatorii Pauli individuali sunt transformați de o secvență de aplicări de porți (presupunând că porțile sunt Clifford și zgomotul este un canal Pauli, un singur operator Pauli va fi întotdeauna transformat în alt operator Pauli, până la un scalar care este o funcție de zgomot). Evident, evoluția oricărei stări sub o astfel de secvență poate fi surprinsă printr-o combinație liniară de asemenea traiectorii, dar în ipoteza că pregătim mereu starea într-o stare proprie Pauli și măsurăm și post-procesăm mereu rezultatele pentru a calcula valoarea de așteptare a unui operator Pauli, relația dintre valoarea de așteptare și parametrii modelului de zgomot va depinde întotdeauna de o singură astfel de traiectorie. Aceasta decurge din faptul simplu că starea inițială este o combinație liniară de operatori Pauli, fiecare poartă și model de zgomot transformă operatori Pauli în operatori Pauli și le păstrează ortogonalitatea, iar valoarea de așteptare finală „selectează” doar unul dintre operatorii Pauli din descompunerea finală dinaintea măsurării.

Acest tip de raționament apare în multe direcții de cercetare paralele din învățarea zgomotului, inclusiv în literatura despre învățarea seturilor de porți Pauli [1, 2], în literatura ACES [3] și în literatura despre cycle benchmarking [4]. Acest raționament a fost generalizat în [5] pentru a include porți Clifford-MCM (o poartă Clifford urmată de o măsurătoare proiectivă la mijlocul circuitului). Acest pachet urmează cel mai îndeaproape [1, 5]. Deși nu este numit explicit, adoptăm formalismul Pattern Transfer Graph (PTG) pentru a descrie cum evoluează operatorii Pauli prin circuitele de învățare, oferind o reprezentare directă a datelor pentru căile prin graf.

Ceea ce urmează este o recapitulare a unor concepte matematice de bază din literatură. Scopul principal este consolidarea notației și servirea drept referință de documentație conceptuală pentru restul pachetului.

1. Fundal

1.1 Notație

Pentru $K \in \mathbb{N}$, fie $[K] = \{0, 1, \dots, K - 1\}$. Pentru o mulțime finită $S \subset \mathbb{N}$ de indici de qubiți, fie $\mathcal{P}^S$ mulțimea operatorilor Pauli fără fază care acționează asupra acelor qubiți. Observă că privim elementele lui $\mathcal{P}^S$ ca funcții care transformă $S \rightarrow \{I, X, Y, Z\}$, astfel încât pentru orice $P \in \mathcal{P}^S$ și $T \subseteq S$, $P|_T$ denotă restricția lui $P$ la submulțimea de qubiți $T$. În aceeași linie, pentru mulțimi disjuncte $S, T$, și $P \in \mathcal{P}^S$ și $Q \in \mathcal{P}^T$, $P \otimes Q$ denotă elementul din $\mathcal{P}^{S \cup T}$ astfel încât $P \otimes Q |_S = P$ și $P \otimes Q |_T = Q$. Această notație ajută la evitarea tratării explicite a ordinii subsistemelor și face ușoară descrierea restricțiilor.

Pentru submulțimi finite $M \subset \mathbb{N}$, notăm cu $\mathbb{Z}_2^M$ mulțimea șirurilor de biți ale căror elemente sunt indexate de $M$. Similar cu cele de mai sus, privim elementele ca funcții care transformă $M \rightarrow \mathbb{Z}_2$, astfel încât să putem descrie ușor subșiruri prin restricții ale mulțimii de indici.

În sfârșit, pentru o matrice $X$, folosim $| X \rangle\!\rangle$ pentru a denota vectorizarea ei. Având în vedere modul limitat în care folosim această notație, nu este de fapt necesar să alegem o convenție de vectorizare anume. Pentru un șir de biți clasic $m$, folosim prescurtarea $| m \rangle\!\rangle = | | m \rangle\langle m | \rangle\!\rangle$.

1.2 Instrumente cuantice

O operație cuantică ce produce biți clasici $m \in \mathbb{Z}_2^M$ (de exemplu, rezultatul unei măsurători) este modelată în general ca o aplicație liniară de forma:

$$\rho \mapsto \sum_{m \in \mathbb{Z}_2^M} \mathcal{E}_m(\rho) \otimes | m \rangle\langle m |,$$

unde mulțimea $\{\mathcal{E}_m: m \in \mathbb{Z}_2^M\}$ este formată din aplicații complet pozitive, iar $\sum_m \mathcal{E}_m$ păstrează urma. O mulțime de aplicații complet pozitive $\{\mathcal{E}_m\}$ care satisfac aceste proprietăți se numește instrument cuantic. O poartă unitară este un caz particular de instrument cu un singur element, care este o operație unitară.

2. Porți Clifford-MCM-reset cu zgomot

Formalismul folosit în acest pachet presupune că fiecare poartă din setul de porți de caracterizat constă în următoarea secvență de operații pe $K$ qubiți:

1. O operație Clifford pe toți qubiții.

2. O măsurătoare proiectivă la mijlocul circuitului de-a lungul lui $Z$ pe o submulțime de qubiți $M \subseteq [K]$.

3. O resetare la mijlocul circuitului în starea fundamentală $Z$ pe o submulțime de qubiți $R \subseteq [K]$.

Aceasta este o clasă generală de operații care include porți Clifford unitare, măsurătoare, pregătirea stărilor și orice combinație a acestora. Observă că presupunem că măsurătoarea și resetarea sunt întotdeauna de-a lungul axei $Z$ pentru fiecare qubit. Deși acest lucru nu este strict necesar, este o caracteristică comună a multor modalități de calcul cuantic și permite reprezentări și analize simplificate.

Așa cum este descris în [5, 6] pentru cazul fără resetare, dacă o strategie specifică de twirling este aplicată unei instanțe cu zgomot a unei astfel de porți, atunci acțiunea operației rezultate poate fi modelată matematic ca un instrument Pauli uniform. Adică, în notația instrumentelor cuantice, $\mathcal{E}_m = \mathcal{U}_mG$, unde $G$ este unitara Clifford, iar:

$$\mathcal{U}_m = \sum_{a,b \in \mathbb{Z}_2^M} \Lambda_{a,b} \otimes | m + a \rangle\!\rangle\langle\!\langle m + b |,$$

unde fiecare $\Lambda_{a,b}$ este un canal Pauli sub-normalizat pe qubiții nemăsurați $N = [K] \setminus M$. Faptul că acesta este un instrument cuantic implică că $\sum_{a,b} \Lambda_{a,b}$ păstrează și el urma. Câteva observații:

• Se modelează că zgomotul inițial fără twirling include atât erori „cuantice”, cât și „clasice”: operații eronate asupra registrelor cuantice, precum și greșeli în raportarea valorii măsurate.

• Aplicația de zgomot $\Lambda_{a,b}$ este independentă de rezultatul măsurătorii $m$.

Pe scurt, un singur termen din suma de mai sus reprezintă observarea unui rezultat de măsurătoare $m$ când starea măsurată era $| m + b \rangle$ (o clasificare greșită dacă $b \neq 0$) și când starea de ieșire din registrul de măsurătoare este $| m + a \rangle$ (starea „greșită” când $a \neq 0$). Aplicația $\Lambda_{a,b}$ codifică simultan acțiunea asupra qubiților nemăsurați (condiționată de comportamentul măsurătorii) și probabilitatea comportamentului specific al măsurătorii (prin normalizare).

Observă că aici nu ne preocupă detaliile strategiei de twirling: este suficient că există o astfel de strategie care aduce canalul în forma de mai sus. Observă că există strategii de twirling „mai fine” care pot restrânge și mai mult forma canalelor Pauli [7]; totuși, considerăm forma de mai sus drept cea mai generală reprezentare matematică luată în calcul.

În Lema 1 din [5], se arată că $\mathcal{E}_m = \mathcal{U}_mG$ poate fi rescris ca:

$$\mathcal{E}_m = \frac{1}{2^{2|M| + |N|}}\sum_{x, y \in \mathbb{Z}_2^M, Q \in \mathcal{P}^N} (-1)^{m \cdot (x + y)} \lambda^Q_{x, y}| Q \otimes Z^y \rangle\!\rangle\langle\!\langle G^\dagger(Q \otimes Z^x) |.$$

pentru niște numere reale $\lambda_{x,y}^Q$, numite fidelitățile instrumentului.

Adăugarea resetării la acest tablou este relativ simplă. O operație de resetare cu zgomot pe qubiții $R \subset [K]$ poate fi modelată conform descompunerii:

$$\frac{1}{2^{|R|}}\sum_{r \in \mathbb{Z}_2^{R}} \lambda_r | Z^r \rangle\!\rangle\langle\!\langle I_R |.$$

Forma de mai sus folosește explicit ipoteza că resetarea este de-a lungul axei $Z$ pentru fiecare qubit. Zgomotul din operație este codificat în fidelitățile de resetare $\lambda_r$, care sunt indexate pur și simplu de submulțimi de qubiți.

Un analog al Ecuației (1) care include o operație de resetare la final se obține simplu compunând-o cu Ecuația (2). Această compunere, după unele simplificări, dă:

$$\begin{split} \frac{1}{2^{2|M|+|N|}} \sum_{\substack{x \in \mathbb{Z}_2^M, y \in \mathbb{Z}_2^{M \cup R} \\ Q \in \mathcal{P}^{N\setminus R}}} (-1)^{m \cdot (x + y|_M)} \lambda^Q_{x,y} | Q \otimes Z^y \rangle\!\rangle\langle\!\langle G^\dagger(Q \otimes I_{N \cap R} \otimes Z^x) |. \end{split}$$

Această descompunere indică faptul că numărul de fidelități $\lambda^Q_{x, y}$ este

$$4^{|N \setminus R|} 2^{|M|}2^{|M \cup R|} = 4^{K}2^{|M|}2^{-|M \cup R|} = 4^K 2^{-|R \setminus M|}.$$

Să considerăm cazuri limită: (1) Fără măsurătoare sau resetare, $M = R = \emptyset$, iar expresia dă $4^K$, numărul de operatori Pauli fără fază pe $K$ qubiți. (2) Pentru $M = \emptyset$ și $R=[K]$, rezultă $2^K$, adică numărul de submulțimi ale lui $[K]$. În sfârșit, (3) pentru $M = [K]$ și $R = \emptyset$, rezultă $4^K$. Observă că aceasta poate părea la început surprinzător: pentru învățarea standard, măsurătoarea și resetarea sunt de obicei considerate a avea același număr de fidelități: $2^K$. Totuși, aici poarta cu măsurătoare pe toți qubiții este înțeleasă în acest context nu ca o măsurătoare terminală, ci ca un MCM, și, ca atare, sunt incluse și fidelitățile corespunzătoare ieșirilor neidentice ale măsurătorii (precum $y \neq 0$ în Ecuația (3)).

În sfârșit, este important de observat că orice strategie de twirling care produce forma din Ecuația (1) în cazul fără resetare se aplică la fel de bine și cazului netrivial cu resetare, cu o modificare simplă. Problema potențială este că o astfel de strategie de twirling poate necesita operații pe qubiții măsurați după măsurătoare. Prin urmare, dacă un qubit este măsurat și resetat, implementarea strategiei pare să necesite inserarea de operații în interiorul porții, între măsurătoare și resetare. Totuși, având în vedere natura resetării, astfel de operații nu au niciun efect și pot fi pur și simplu omise, obținându-se în continuare aceeași structură dorită.

3. Formalismul căilor

Așa cum s-a descris în introducere, toți algoritmii de învățare pentru zgomot de tip Pauli pe porți Clifford se bazează pe urmărirea felului în care operatorii Pauli individuali evoluează printr-un circuit, acumulând pe parcurs factori de fidelitate a zgomotului. Valorile de așteptare ale unui circuit compus din astfel de porți sunt, așadar, legate simplu de produse ale fidelităților de bază ale porților individuale, iar în acest mod parametrii modelului pot fi deduși prin inversarea oricărei aplicații rare parametri-fidelități care este presupusă.

În [1], în contextul seturilor de porți unitare, aceasta este formalizată în Pattern Transfer Graph (PTG): un graf orientat care descrie toate experimentele posibile formate din elemente ale setului de porți și straturi de porți Clifford pe un singur qubit (presupuse operații perfecte sau „gratuite”). Aceasta a fost generalizată în [5] pentru a include seturi de porți cu măsurători la mijlocul circuitului. În ambele cazuri, fiecare experiment este descris prin urmărirea unui singur operator Pauli prin circuit, în ipoteza că la fiecare punct de măsurătoare se calculează o anumită observabilă. Aici nu recapitulăm direct construcțiile grafului sau ale căilor; totuși, prezentăm faptele necesare pentru a le justifica în propria noastră notație și cu resetări incluse.

Deși urmărirea unui singur operator Pauli prin circuit poate fi intuitivă în cazul setului de porți unitare, nu este la fel de evident valabilă în cazul mai general Clifford-MCM-reset, din cauza naturii nedeterministe a măsurătorii. Următoarea propoziție recuperează această imagine chiar și în cazul mai general [5]:

Propoziția 1

Pentru orice $x \in \mathbb{Z}_2^M$, $y \in \mathbb{Z}_2^{M \cup R}$ și $Q\in \mathcal{P}^{N \setminus R}$, are loc:

$$\langle\!\langle Q \otimes Z^y |\otimes \langle\!\langle Z^{x + y|_M} |_M \left(\sum_{m\in \mathbb{Z}_2^M} \mathcal{E}_m \otimes | m \rangle\!\rangle\right) = \lambda_{x,y}^Q\langle\!\langle G^\dagger(Q \otimes I_{N \cap R} \otimes Z^x) |$$

Cu alte cuvinte, dacă calculăm valoarea de așteptare $Z^{x + y|_M}$ pe registrul clasic dat ca ieșire de MCM, atunci evoluția „în imaginea Heisenberg” a unei observabile prin poarta Clifford-MCM-reset transformă $Q \otimes Z^y \rightarrow Q \otimes I_{N \cap R} \otimes Z^x$. Acest fapt singur permite recuperarea unei analize de tip PTG dincolo de cazul setului de porți unitare: printr-o anumită post-procesare a rezultatelor măsurătorilor, chiar și porțile cu măsurători și resetări pot fi văzute ca transformând determinist un operator Pauli în altul.

Înainte de a demonstra aceasta, scriem Ecuația (3) într-un mod mai sugestiv. Observă că pentru $x, y \in \mathbb{Z}_2^M$ are loc $Z^{x+y} = \sum_{m \in \mathbb{Z}_2^M} (-1)^{m \cdot (x + y)}| m \rangle\langle m |$, și ca atare (în notația superoperatorilor) avem:

$$\begin{split} \begin{aligned} \sum_{m \in \mathbb{Z}_2^M} \mathcal{E}_m \otimes | m \rangle\!\rangle_M = \frac{1}{2^{2|M|+|N|}}\sum_{\substack{x \in \mathbb{Z}_2^M, y \in \mathbb{Z}_2^{M \cup R} \\ Q \in \mathcal{P}^{N\setminus R}}} \lambda^Q_{x,y} | Q \otimes Z^y \rangle\!\rangle \langle\!\langle G^\dagger(Q \otimes I_{N \cap R} \otimes Z^x) | \otimes | Z^{x + y|_M} \rangle\!\rangle_M, \end{aligned} \end{split}$$

unde am aplicat Ecuația (3) și am grupat termenii, iar folosim indicele $M$ pentru a indica registrul clasic al rezultatului măsurătorii, pe care îl tratăm mai sus într-o notație similară cu cea a registrelor cuantice.

Demonstrație. Are loc:

$$\begin{split} \begin{aligned} &\langle\!\langle Q \otimes Z^y | \otimes \langle\!\langle Z^{x + y|_M} | \left(\sum_{m\in \mathbb{Z}_2^M} \mathcal{E}_m \otimes | m \rangle\!\rangle\right)\\ &= \langle\!\langle Q \otimes Z^y | \otimes \langle\!\langle Z^{x + y|_M} | \left( \frac{1}{2^{2|M|+|N|}} \sum_{\substack{a \in \mathbb{Z}_2^M, b \in \mathbb{Z}_2^{M \cup R} \\ P \in \mathcal{P}^{N\setminus R}}} \lambda^P_{a,b} | P \otimes Z^b \rangle\!\rangle\langle\!\langle G^\dagger(P \otimes I_{N \cap R} \otimes Z^a) | \otimes | Z^{a + b|_M} \rangle\!\rangle \right) \\ &=\frac{1}{2^{2|M| + |N|}}\sum_{\substack{a \in \mathbb{Z}_2^M, b \in \mathbb{Z}_2^{M \cup R} \\ P \in \mathcal{P}^{N \setminus R}}} \lambda^P_{a, b}\underbrace{\langle Q \otimes Z^y, P \otimes Z^b \rangle}_{2^{|M| + |N|} \delta_{P, Q}\delta_{y,b}} \underbrace{\langle Z^{x + y|_M}, Z^{a + b|_M} \rangle}_{2^{|M|}\delta_{x+y|_M,a+b|_M}}\langle\!\langle G^\dagger(P \otimes I_{N \cap R} \otimes Z^a) | \end{aligned} \end{split}$$

În sfârșit, observă că $\delta_{y,b}\delta_{x+y|_M,a+b|_M} = \delta_{y,b}\delta_{x,a}$, și prin urmare ultimul termen de mai sus se reduce la singurul termen $\lambda^Q_{x,y} \langle\!\langle G^\dagger(Q \otimes I_{N \cap R} \otimes Z^x) |$, obținându-se rezultatul dorit.

Consultă [5] pentru dezvoltarea de aici încolo: definiția PTG, căile prin PTG și demonstrația că orice cale definită corect corespunde unui experiment.

Referințe

[1]

Senrui Chen, Zhihan Zhang, Liang Jiang, and Steven T. Flammia. Efficient Self-Consistent Learning of Gate Set Pauli Noise. PRX Quantum, 7(1):010305, 2026. URL: https://link.aps.org/doi/10.1103/1pnv-t9px, doi:10.1103/1pnv-t9px.

[2]

Edward H. Chen, Senrui Chen, Laurin E. Fischer, Andrew Eddins, Luke C. G. Govia, Brad Mitchell, Andre He, Youngseok Kim, Liang Jiang, and Alireza Seif. Disambiguating pauli noise in quantum computers. PRX Quantum, pages, 2026. doi:10.1103/69wc-gzl6.

[3]

Steven T. Flammia. Averaged Circuit Eigenvalue Sampling. In 17th Conference on the Theory of Quantum Computation, Communication and Cryptography (TQC 2022), volume 232 of Leibniz International Proceedings in Informatics (LIPIcs), 4:1–4:10. Dagstuhl, Germany, 2022. Schloss Dagstuhl – Leibniz-Zentrum für Informatik. doi:10.4230/LIPIcs.TQC.2022.4.

[4]

Alexander Erhard, Joel J. Wallman, Lukas Postler, Michael Meth, Roman Stricker, Esteban A. Martinez, Philipp Schindler, Thomas Monz, Joseph Emerson, and Rainer Blatt. Characterizing large-scale quantum computers via cycle benchmarking. Nature Communications, 10(1):5347, 2019. doi:10.1038/s41467-019-13068-7.

[5]

Zhihan Zhang, Senrui Chen, Yunchao Liu, and Liang Jiang. Generalized Cycle Benchmarking Algorithm for Characterizing Midcircuit Measurements. PRX Quantum, 6(1):010310, 2025. URL: https://link.aps.org/doi/10.1103/PRXQuantum.6.010310, doi:10.1103/PRXQuantum.6.010310.

[6]

Stefanie J. Beale and Joel J. Wallman. Randomized compiling for subsystem measurements. 2023. URL: http://arxiv.org/abs/2304.06599, doi:10.48550/arXiv.2304.06599.

[7]

Ewout van den Berg and Pawel Wocjan. Techniques for learning sparse Pauli-Lindblad noise models. Quantum, 8:1556, 2024. URL: https://quantum-journal.org/papers/q-2024-12-10-1556/, doi:10.22331/q-2024-12-10-1556.