Natura stărilor cuantice: variabile ascunse versus inegalitatea lui Bell

Pentru acest modul Qiskit in Classrooms, studenții trebuie să aibă un mediu Python funcțional cu următoarele pachete instalate:

• qiskit v2.1.0 sau mai nou
• qiskit-ibm-runtime v0.40.1 sau mai nou
• qiskit-aer v0.17.0 sau mai nou
• qiskit.visualization
• numpy
• pylatexenc

Pentru a configura și instala pachetele de mai sus, consultă ghidul Instalare Qiskit. Pentru a rula joburi pe calculatoare cuantice reale, studenții vor trebui să-și creeze un cont IBM Quantum® urmând pașii din ghidul Configurează-ți contul IBM Cloud.

Acest modul a fost testat și a utilizat 12 secunde de timp QPU. Aceasta este doar o estimare. Utilizarea ta reală poate varia.

# Added by doQumentation — required packages for this notebook
!pip install -q numpy qiskit qiskit-ibm-runtime

# Uncomment and modify this line as needed to install dependencies
#!pip install 'qiskit>=2.1.0' 'qiskit-ibm-runtime>=0.40.1' 'qiskit-aer>=0.17.0' 'numpy' 'pylatexenc'

Urmărește prezentarea modulului de Dr. Katie McCormick mai jos, sau apasă aici pentru a o viziona pe YouTube.

---

Context

În multe calcule din mecanica cuantică, pornești de la o stare cunoscută a unui sistem, iar acea stare este de obicei cunoscută printr-o măsurătoare. Astăzi vrem să răspundem la întrebarea: „Ce poți spune despre starea unei particule înainte de orice măsurătoare?" Un corolar evident este: „Cum putem ști, dacă nu avem voie să măsurăm?"

Această întrebare datează din primele zile ale mecanicii cuantice. Pionierii domeniului s-au împărțit în tabere: Einstein și mulți alții susțineau că o particulă se află pur și simplu într-o stare necunoscută înainte de măsurătoare. Alții, în special Max Born, și mai târziu Niels Bohr, au făcut o afirmație mai radicală, spunând că starea unei particule era cu adevărat nedeterminată de natură înainte de măsurătoare, nu doar necunoscută oamenilor. Măsurătoarea colapsează apoi probabilistic particula într-o stare definită. Einstein, nemulțumit de această explicație, a remarcat celebru: „Gott würfelt nicht", care se traduce aproximativ prin „Dumnezeu nu joacă zaruri."

Timp de decenii după ce a apărut acest dezacord, mulți credeau că nu va putea fi niciodată rezolvat, sau că era o chestiune de perspectivă. Apoi, în 1964, John Bell, un fizician din Irlanda de Nord, a scris o lucrare în care a explorat statisticile anumitor experimente care ar putea răspunde definitiv la această întrebare. El a arătat că într-un test particular, se obțin un set de statistici pornind de la stări cuantice definite (dar necunoscute), și un set diferit de statistici pornind de la stări cuantice nedeterminate de natură.

La momentul publicării lucrării lui Bell, testele experimentale ale statisticilor implicate erau inaccesibile pentru toți, cu excepția cercetătorilor aflați în avangarda fizicii. Dar astăzi, IBM Quantum a făcut posibil ca studenții din întreaga lume să folosească dispozitive cuantice reale, de la distanță prin cloud, și gratuit, pentru a explora natura stărilor cuantice. Asta vei face astăzi.

Configurarea experimentului mental: entanglementul de spin

Există procese în care o particulă fără spin se dezintegrează în două particule care au fiecare spin. Deoarece spinul este un fel de moment cinetic, legea conservării momentului cinetic sugerează că cele două particule rezultate trebuie să aibă spinuri exact anti-aliniate. Acest lucru este într-adevăr observat experimental.

Un exemplu: un meson pi neutru se dezintegrează uneori într-un pozitron și un electron: $\pi^0\rightarrow e^+ + e^-$ Nu-ți face griji dacă nu știi ce sunt acele particule, și nu-ți face griji dacă le cunoști atât de bine încât știi că acest tip de dezintegrare este relativ puțin probabil. Știi doar că dacă una dintre particulele rezultate are spinul în sus, cealaltă trebuie să aibă spinul în jos, și invers. Bineînțeles, nu există nimic special în legătură cu „sus" și „jos"; aceeași anti-aliniere se observă dacă măsurătorile sunt efectuate de-a lungul a ceea ce numim adesea $x$ sau $y$. Această dezintegrare este un context convingător pentru a-l lua în considerare, deoarece putem evita întrebările despre ce măsurători au avut loc în trecut; pozitronul și electronul nici măcar nu au existat până în momentul dezintegrării.

Putem lăsa mesonii $\pi^0$ să se dezintegreze și să observăm deflexia particulelor rezultate sub influența unui câmp magnetic neomogen. Un câmp neomogen folosit pentru a deflecta spinuri se numește adesea un dispozitiv Stern-Gerlach, după cercetătorii care l-au folosit primii pentru a (accidental) aduna dovezi ale existenței spinului mecanic cuantic. Rețineți că situația de față este mai complicată decât experimentul original, deoarece electronul și pozitronul sunt și ei încărcați electric (spre deosebire de atomii de argint din experimentul Stern-Gerlach). Dar știm cum se mișcă particulele încărcate într-un câmp magnetic și putem scădea acel efect. În cele ce urmează, vom presupune că deflexiile folosite în calculele noastre se datorează spinului particulelor și nu sarcinii electrice. Prin urmare, pentru scopurile noastre, nu contează care observator primește pozitronul și care primește electronul. Configurația experimentală arată cam așa:

Pe măsură ce mesonul se dezintegrează, un electron este expulzat într-o direcție, iar un pozitron în cealaltă. Fiecare dintre aceste două particule va călători printr-un câmp magnetic neomogen, determinând-o să fie deflectată fie în direcția câmpului magnetic, fie opus câmpului magnetic.

Dacă avem o sursă de mulți mesoni, putem colecta statistici în acest sens. Dacă un observator din stânga și unul din dreapta (să-i numim Lucas și, respectiv, Rihanna) măsoară întotdeauna de-a lungul aceluiași ax, aceste statistici nu vor fi foarte interesante: de fiecare dată când unul măsoară sus, celălalt măsoară jos; de fiecare dată când unul măsoară în pagină, celălalt va măsura în afara paginii, și așa mai departe. Cu toate acestea, dacă participanții sunt liberi să măsoare spinul în orice direcție doresc, putem găsi ceva mai interesant.

Experimentul descris mai sus, în care particulele zboară cu moment cinetic de spin măsurat de doi observatori, a fost propus inițial de Einstein, Podolsky și Rosen (EPR) în această lucrare, și acesta este uneori numit „experiment EPR".

Opțiunile noastre

Să reformulăm cele două puncte de vedere istorice, pentru claritate:

Opțiunea 1 (Einstein): Cei doi spini (electronul și pozitronul) sunt determinați, în sensul că rezultatul oricărei măsurători de-a lungul oricărui ax este predeterminat de natură, chiar dacă nu știm ce este. S-ar putea gândi la asta ca la spinuri care au o orientare reală, bine definită în spațiu, care nu ne este cunoscută, dar care există. Sau s-ar putea gândi la asta ca la un set de informații sau instrucțiuni care determină rezultatele măsurătorilor de-a lungul $x$, $y$, $z$, sau orice altceva între acestea. Măsurarea spinului pozitronului (de exemplu, de-a lungul z) îl forțează să se orienteze și să se alinieze în direcția z sau -z. Aceasta nu are nicio influență cauzală asupra spinului electronului, deși știm că spinul electronului a început opus spinului pozitronului, deci dacă spinul pozitronului este măsurat ca fiind de-a lungul +z, spinul electronului este măsurat de-a lungul -z. În afara condiției inițiale de instrucțiuni care conservă momentul cinetic (spinurile fiind anti-aliniate), nu există nicio legătură între cei doi spini. Această opțiune este uneori numită „variabile ascunse", în sensul că: proiecțiile de-a lungul diferitelor axe sunt determinate, dar ne sunt ascunse.

Opțiunea 2 (Born): Spinurile sunt ambele nedeterminate în stările lor inițiale… nu doar necunoscute, ci fizic nedefinite, fără orientare definită sau instrucțiuni privind rezultatele experimentale, până când sunt măsurate. Măsurarea spinului pozitronului „colapsează" spațiul tuturor posibilităților într-o singură stare determinată, fie de-a lungul axei +z, fie de-a lungul axei -z. Această măsurătoare a pozitronului forțează spinul electronului să colapseze și el într-o proiecție bine definită de-a lungul z, exact opusă celei a pozitronului. Acest efect se produce răspândit în tot spațiul dintre pozitron și electron. Aceasta a fost numită „acțiune înfricoșătoare la distanță", deși s-ar putea numi mai puțin dramatic „fizică non-locală".

Verifică-ți înțelegerea

Citește întrebarea de mai jos, gândește-te la răspuns, apoi apasă pe triunghi pentru a dezvălui soluția.

Ar fi minunat să putem distinge experimental între opțiunile Einstein și Born. Care sunt unele experimente care ar produce aceleași rezultate indiferent de care opțiune este adevărată? Te poți gândi la un experiment care ar produce rezultate diferite pentru cele două opțiuni? Notă Ar fi impresionant dacă ai putea găsi un experiment care să producă rezultate diferite pentru opțiunile lui Einstein și Born; oamenilor le-au trebuit decenii pentru a găsi unul.

Răspuns:

Rămânând la experimentul descris până acum (adică fără spin net, cu pozitronul și electronul anti-aliniate), măsurarea ambilor spini de-a lungul $\pm x$, $\pm y$ sau $\pm z$ ar produce întotdeauna semne opuse datorită conservării momentului cinetic unghiular, indiferent de care opțiune este corectă. Măsurarea spinului unei particule (să zicem, electronul) de-a lungul unei direcții (să zicem, $+z$) înseamnă că spinul celeilalte particule, pozitronul, ar fi măsurat de-a lungul $-z$. Dacă în schimb măsori spinul pozitronului de-a lungul direcției $x$, este la fel de probabil să obții $+x$ sau $-x$. Aceasta ar putea fi pentru că asta spun instrucțiunile ascunse (opțiunea 1 a lui Einstein) sau pentru că distribuția de probabilitate a spinului pozitronului se actualizează după măsurarea spinului electronului, iar noua distribuție de probabilitate este consistentă cu o împărțire 50-50 între $\pm x$ (opțiunea 2 a lui Born). Aceste puncte sunt explicate mai detaliat mai jos.

Răspunsul diferă doar ușor dacă consideri dezintegrarea unei particule cu spin-1, astfel încât cele două particule emergente (precum pozitronul și electronul) trebuie să aibă spinii aliniat, nu anti-aliniați. Dacă unul este măsurat de-a lungul $+y$, o măsurare a celeilalte particule de-a lungul axei $y$ trebuie să producă, de asemenea, $+y$, și tot așa. Ca înainte, aceasta ar putea rezulta din oricare opțiune.

Restul acestei lecții este dedicat unui experiment care poate distinge între opțiunile lui Einstein și Born, astfel că nu vom intra în prea multe detalii aici. Totuși, o parte din trucul constă în măsurarea celor două particule de-a lungul unor direcții diferite (precum $x$ și $z$, sau chiar o direcție între axele carteziene tradiționale). Restul provine din a lua în considerare cu atenție probabilitatea precisă de a obține rezultate diferite, date de predicțiile mecanicii cuantice și cele ale informației clasice, precum în variabilele ascunse.

În oricare dintre opțiuni, dacă cei doi observatori, Lucas și Rihanna, măsoară de-a lungul aceleiași axe, ne-am aștepta să obțină spini anti-aliniați, indiferent de care opțiune este adevărată. Pentru a înțelege de ce, consideră diagramele de mai jos.

Figura de mai sus ilustrează opțiunea lui Einstein. Direcțiile spinilor sunt opuse și determinate. Dacă măsurăm de-a lungul axei $z$, unul va fi de-a lungul $+z$, iar celălalt de-a lungul $-z$. Nu avem niciun motiv să presupunem că pozitronul ar fi de-a lungul $+z$ și electronul de-a lungul $-z$; imaginea arată pur și simplu că spinii vor fi măsurați în direcții opuse. De fapt, un spin dat nu trebuie să aibă neapărat o componentă a spinului său de-a lungul direcției măsurate în cele din urmă, în cazul opțiunii lui Einstein. Cea mai slabă formulare a opțiunii lui Einstein este că există un set de instrucțiuni stocate în spin care determină rezultatele măsurătorilor atunci când se măsoară de-a lungul oricărei axe. Nu trebuie să imaginăm că aceste instrucțiuni sunt sub forma unui simplu vector (a se vedea diagrama de mai jos); vom reveni la aceasta mai târziu.

Figura de mai jos ilustrează opțiunea lui Born, în care direcțiile spinilor pozitronului și electronului sunt dispersate într-o distribuție de probabilitate și nu au o direcție definită. Nu interpreta prea mult forma distribuției. Fiecare spin ar putea avea de fapt o probabilitate nenulă de a indica în orice direcție, atâta timp cât sunt opuși unul față de celălalt; le-am reprezentat pur și simplu ca fracțiuni ale cercului pentru a le putea distinge vizual în discuție. Reține că, în cazul opțiunii lui Born, este totuși adevărat că momentul cinetic unghiular trebuie conservat. Deci, dacă un val de probabilitate este „colaps" astfel încât spinul indică spre $+z$, celălalt va indica spre $-z$ și va fi deviat în direcția opusă. Opțiunile par identice.

Dar ce se întâmplă când observatorii L și R pot măsura de-a lungul oricăreia dintre cele trei axe, fiecare pereche la 120 de grade distanță, după cum se arată în Figurile 4 și 5. Fiecare observator poate decide aleatoriu de-a lungul cărei axe va măsura spinul (a, b sau c). Cei doi nu trebuie să măsoare de-a lungul aceleiași axe. Când fiecare observator măsoară, ar putea găsi o proiecție pozitivă pe axa aleasă sau ar putea găsi o proiecție negativă. De exemplu, Lucas și Rihanna ar putea măsura +a și -b sau +b și +c. Reține că, dacă se întâmplă să aleagă să măsoare de-a lungul aceleiași axe, atunci TREBUIE să obțină semne opuse în proiecțiile lor: +a și -a, +b și -b, sau +c și -c; nu pot găsi amândoi, de exemplu, +a. În secțiunea următoare, vom explica cum să calculăm probabilitatea ca Lucas și Rihanna să obțină același semn pe axele lor măsurate (++ sau --) și semne opuse (+-) sau (-+).

Cele două figuri de mai sus ilustrează posibile interpretări cu variabile ascunse în acest nou scenariu de măsurătoare pe trei axe. Adică, fie spinii sunt deja determinați, ca vectori, fie există un set de instrucțiuni fizice încorporat cumva în sistem, astfel încât rezultatele tuturor măsurătorilor posibile sunt pre-determinate, chiar dacă sunt necunoscute experimentatorilor înainte de măsurătoare. Alternativa este ilustrată mai jos. Există o anumită distribuție de probabilitate a rezultatelor, iar această distribuție ne poate spune unele lucruri despre probabilitatea diferitelor rezultate ale măsurătorilor, dar rezultatele sunt nedeterminate de natură înainte de măsurătoare.

Ne putem întreba: „De câte ori ar trebui cei doi jucători să găsească același semn al proiecției spinului?" Adică, nu înregistrăm nici măcar de-a lungul cărei axe au ales să măsoare; înregistrăm pur și simplu dacă au găsit același semn sau un semn diferit. Nu este evident dacă opțiunile lui Einstein și Born vor produce același rezultat în această schemă de măsurătoare mai complicată. Dar ar trebui să fie clar din Figurile 4 și 5 că este $posibil$ să existe o diferență. Pentru cazul prezentat în opțiunea lui Einstein, o măsurătoare a proiecției spinului $e+$ pe axa $a$ va produce cu siguranță $+a$, iar proiecția spinului $e-$ pe axa $b$ va produce $-b$ (cu greu). Dar în opțiunea lui Born, posibilitățile sunt complet deschise. Este adevărat că momentul cinetic unghiular este încă conservat. Dar, deoarece cele două câmpuri magnetice nu sunt orientate de-a lungul aceleiași axe, forțăm particulele într-o situație în care trebuie să colapseze pe axe diferite (prin interacțiuni cu câmpul). În secțiunea următoare, vom folosi mecanica cuantică pentru a determina care ar trebui să fie probabilitățile, date de opțiunea lui Born, ca Lucas și Rihanna să obțină același semn pe axele lor măsurate (++ sau --), și probabilitățile că vor obține semne opuse (+- sau -+).

Predicții

Ce prezice opțiunea lui Einstein (variabilele ascunse)?

Dacă opțiunea lui Einstein este adevărată, atunci orice pereche dată de $e+$ și $e-$ va avea un set de componente vectoriale ale spinilor lor. De exemplu, electronul ar putea avea componentele $(+\hat{a},-\hat{b}, +\hat{c})$, caz în care pozitronul trebuie să aibă componentele $(-\hat{a},+\hat{b}, -\hat{c})$. Specificăm aici doar semnul proiecției pe fiecare axă, nu magnitudinea. Imaginează-ți că permitem un număr foarte mare $N$ de astfel de dezintegrări să aibă loc și colectăm măsurători pentru a popula tabelul de mai jos.

Populație	Particula 1	Particula 2
$N_1$	$(+\hat{a},+\hat{b},+\hat{c})$	$(-\hat{a},-\hat{b},-\hat{c})$
$N_2$	$(+\hat{a},+\hat{b},-\hat{c})$	$(-\hat{a},-\hat{b},+\hat{c})$
$N_3$	$(+\hat{a},-\hat{b},+\hat{c})$	$(-\hat{a},+\hat{b},-\hat{c})$
$N_4$	$(+\hat{a},-\hat{b},-\hat{c})$	$(-\hat{a},+\hat{b},+\hat{c})$
$N_5$	$(-\hat{a},+\hat{b},+\hat{c})$	$(+\hat{a},-\hat{b},-\hat{c})$
$N_6$	$(-\hat{a},+\hat{b},-\hat{c})$	$(+\hat{a},-\hat{b},+\hat{c})$
$N_7$	$(-\hat{a},-\hat{b},+\hat{c})$	$(+\hat{a},+\hat{b},-\hat{c})$
$N_8$	$(-\hat{a},-\hat{b},-\hat{c})$	$(+\hat{a},+\hat{b},+\hat{c})$

Pentru fiecare caz din tabelul de mai sus, există 9 alegeri posibile pentru axele lui Lucas și Rihanna: $aa$, $ab$, $ac$, $ba$, $bb$, $bc$, $ca$, $cb$ și $cc$. Citind din acest tabel, probabilitatea ca cei doi observatori să măsoare același semn pentru rândurile 1 și 8 este zero. Pentru rândurile 2-7, există 4 moduri de a obține același semn, pe care le vom arăta doar pentru rândul 2:

Semne identice: $ac$, $bc$, $ca$, $cb$ Semne opuse: $aa$, $ab$, $ba$, $bb$, $cc$

Deci, dacă opțiunea lui Einstein este interpretarea corectă a stărilor cuantice, probabilitatea totală sumată pe toate populațiile posibile, ca Lucas și Rihanna să obțină același semn al proiecției spinului pe axele alese aleatoriu ar fi: $P_\text{same}=\frac{1}{\sum_i{N_i}} \frac{4}{9} (N_2+N_3+N_4+N_5+N_6+N_7)\leq \frac{4}{9}$ Unde egalitatea se menține doar dacă $N_1=N_8=0$.

Verifică-ți înțelegerea

Citește întrebările de mai jos, gândește-te la răspunsuri, apoi apasă pe triunghiuri pentru a dezvălui soluțiile.

Pentru rândul 2 din tabelul de mai sus, am listat toate modalitățile posibile prin care Lucas și Rihanna pot obține același semn pentru măsurătorile lor, și toate modalitățile prin care pot obține semne diferite. Repetă acest lucru pentru al treilea rând.

Răspuns:

Semne identice: $ab$, $ba$, $bc$, $cb$

Semne opuse: $aa$, $ac$, $bb$, $ca$, $cc$

Tabelul de mai sus se referă la „populații", ceea ce înseamnă că nu știm câte instrucțiuni de fiecare tip produce natura, dacă tratamentul cu variabile ascunse este corect. Arată că indiferent de distribuția valorilor $N_1$ până la $N_8$, probabilitatea de a obține același semn din măsurători este întotdeauna mai mică sau egală cu 4/9.

Răspuns:

Să începem prin a presupune un număr constant de experimente de măsurare totale, astfel încât $\sum_i{N_i} = N_{tot}$ este constant. Rețineți că în cazul special în care $N_1=N_8=0$, expresia se reduce la

$$P_{same}=\frac{1}{N_2+N_3+N_4+N_5+N_6+N_7} \times \frac{4}{9} \times (N_2+N_3+N_4+N_5+N_6+N_7) = \frac{1}{N_{tot}} \times \frac{4}{9} \times N_{tot}= \frac{4}{9}$$

Acum să presupunem că fie $N_1 \neq 0$, fie $N_8 \neq 0$. Atunci

$$P_{same}=\frac{1}{N'_1+N'_2+N'_3+N'_4+N'_5+N'_6+N'_7+N'_8} \times \frac{4}{9} \times (N'_2+N'_3+N'_4+N'_5+N'_6+N'_7) = \frac{4}{9}$$

Suma tuturor experimentelor, $N_tot$, este în continuare aceeași ca înainte. Dar deoarece $N'_1$ sau $N'_8$ a crescut de la 0, suma valorilor $N'_2$ până la $N'_7$ trebuie să fie mai mică decât înainte. În particular, suma valorilor $N'_2$ până la $N'_7$ este mai mică decât $N_{tot}$. Astfel

$$P_{same}=\frac{1}{N_{tot}} \times \frac{4}{9} \times (N'_2+N'_3+N'_4+N'_5+N'_6+N'_7) < \frac{4}{9}$$

Combinând toate cazurile posibile, avem $P_{same} \leq \frac{4}{9}$.

Generalizare

În tratamentul de mai sus, am considerat măsurători de-a lungul unor axe specifice. Desigur, se pot face măsurători de-a lungul oricărei axe. Să numim cei doi vectori de spin ai celor două particule $\vec{a}$ și $\vec{b}$. Fie $\lambda$ o variabilă ascunsă astfel încât o stare a sistemului cu două particule corespunde unei valori bine definite a lui $lambda$. Fie $\rho(\lambda)$ densitatea de probabilitate în $\lambda$. În final, alegem simbolurile $A(\vec{a},\lambda)$ și $B(\vec{b},\lambda)$ pentru a reprezenta rezultatul predeterminat al unei măsurători efectuate pe oricare dintre particule (A sau B), date vectorii de spin și variabila ascunsă. Este important de notat că $A$ este independent de $\vec{b}$ și că $B$ este independent de $\vec{a}$. Se pot pune acum orice număr de întrebări legate de corelațiile dintre măsurătorile pe A și B. În particular, s-ar putea întreba despre valoarea de așteptare dată de

$$E(\vec{a},\vec{b})\equiv\int{d\lambda \rho(\lambda)A(\vec{a},\lambda)B(\vec{b},\lambda)}$$

Date câteva ipoteze standard privind aceste valori, cum ar fi $A(\vec{a},\lambda)\leq 1$, $B(\vec{b},\lambda)\leq 1$ și normalizarea față de $\rho(\lambda)$, se poate arăta că corelațiile dintre cele două particule respectă relația

$$|E(\vec{a},\vec{b})-E(\vec{a},\vec{d})|+|E(\vec{c},\vec{d})+E(\vec{c},\vec{b})|\leq 2,$$

unde $\vec{a}$ și $\vec{b}$ sunt stările de spin ale sistemului tău, iar $\vec{c}$ și $\vec{d}$ sunt stări de spin de referință (orice alte stări de spin posibile ale sistemului). Aceasta este una dintre o întreagă clasă de inegalități cunoscute acum drept „inegalități Bell". Nu vom folosi această formă generală aici. În schimb, ne vom concentra pe un anumit setup experimental specific, astfel încât să putem mapa acel setup pe un Circuit cuantic.

Ce prezice opțiunea lui Born (mecanica cuantică nedeterministă)?

Lucas va alege o axă și va constata că spinul unei particule se află fie în direcția pozitivă, fie în cea negativă. Indiferent de ceea ce obține, să ne orientăm axele astfel încât axa $z$ să fie acea direcție. Atunci putem scrie starea inițială după dezintegrarea mesonului și înainte de orice măsurătoare ca

$$|\psi \rangle =\frac{1}{\sqrt{2}}(|+\rangle_L|-\rangle_R-|-\rangle_L|+\rangle_R)$$

Rihanna va măsura spinul particulei sale de-a lungul altei direcții, la un unghi $\theta$ față de cea a lui Lucas. Operatorul de spin de-a lungul unei direcții arbitrare $\hat{n}$ este dat de

$$\hat{S}_{\hat{n}}=\frac{\hbar}{2}\begin{bmatrix} \cos(\theta) & \sin(\theta) e^{-i\phi} \\ \sin(\theta) e^{i\phi} & -\cos(\theta) \end{bmatrix}$$

Stările proprii ale acestui operator sunt

$$|+\rangle_{\hat{n}}=\cos(\theta/2)|0\rangle+\sin(\theta/2)e^{i\phi}|1\rangle \\ |-\rangle_{\hat{n}}=\sin(\theta/2)|0\rangle-\cos(\theta/2)e^{i\phi}|1\rangle$$

Verifică-ți înțelegerea

Citește întrebările de mai jos, gândește-te la răspunsuri, apoi apasă pe triunghiuri pentru a dezvălui soluțiile.

Verifică că $|+\rangle_{\hat{n}}$ este un eigenstate al operatorului $\hat{S}_{\hat{n}}$ de mai sus și găsește eigenvaloarea.

Răspuns:

$$\hat{S}_{\hat{n}}|+\rangle_{\hat{n}}=\frac{\hbar}{2}\begin{bmatrix} \cos(\theta) & \sin(\theta) e^{-i\phi} \\ \sin(\theta) e^{i\phi} & -\cos(\theta) \end{bmatrix} \begin{bmatrix} \cos(\theta/2) \\ \sin(\theta/2)e^{i\phi}\end{bmatrix}$$$$=\frac{\hbar}{2}\begin{bmatrix} \cos(\theta)\cos(\theta/2) + \sin(\theta)\sin(\theta/2)e^{i\phi} e^{-i\phi} \\ \cos(\theta/2)\sin(\theta) e^{i\phi} -\cos(\theta)\sin(\theta/2)e^{i\phi} \end{bmatrix}$$

Folosind $\cos(\theta)=\cos^2(\theta/2)-\sin^2(\theta/2)$ și $\sin(\theta)=2\cos(\theta/2)\sin(\theta/2)$, avem

$$=\frac{\hbar}{2}\begin{bmatrix} \left(\cos(\theta) + 2\sin^2(\theta/2)\right) \cos(\theta/2) \\ \left(2\cos^2(\theta/2) -\cos^2(\theta/2)+\sin^2(\theta/2)\right)\sin(\theta/2)e^{i\phi} \end{bmatrix}$$$$=\frac{\hbar}{2}\begin{bmatrix} \left(\cos^2(\theta/2)-\sin^2(\theta/2) + 2\sin^2(\theta/2)\right) \cos(\theta/2) \\ \left(2\cos^2(\theta/2) -\cos^2(\theta/2)+\sin^2(\theta/2)\right)\sin(\theta/2)e^{i\phi} \end{bmatrix}$$$$=\frac{\hbar}{2}\begin{bmatrix} \cos(\theta/2) \\ \sin(\theta/2)e^{i\phi} \end{bmatrix}$$

Aceasta demonstrează că $|+\rangle_{\hat{n}}$ este un eigenstate, iar eigenvaloarea corespunzătoare este $\frac{\hbar}{2}$.

Probabilitatea ca Lucas să măsoare un spin în direcția pozitivă de-a lungul axei pe care a ales-o $|+\rangle$ $și$ că Rihanna măsoară de asemenea un spin pozitiv de-a lungul direcției ei alese $|+\rangle_{\hat{n}}$ este

$$P_{++}=\left|\left(_L\langle+|_{R,\hat{n}}\langle+|\right)|\psi\rangle\right|^2$$ $$P_{++}=\left| \left(_L\langle+|_R\left(\cos(\theta/2)\langle+|+\sin(\theta/2)e^{-i\phi}\langle-|\right)\right) \frac{1}{\sqrt{2}}\left(|+\rangle_L|-\rangle_R-|-\rangle_L|+\rangle_R\right) \right|^2$$ $$P_{++}=\frac{1}{2}\left| \left(_L\langle+|_R\left(\cos(\theta/2)\langle+|+\sin(\theta/2)e^{-i\phi}\langle-|\right)\right) \left(|+\rangle_L|-\rangle_R\right) \right|^2$$ $$P_{++}=\frac{1}{2}\left| \left(\sin(\theta/2)e^{-i\phi}\vphantom{p}_R\langle-|\right) |-\rangle_R \right|^2$$ $$P_{++}=\frac{1}{2}\sin^2(\theta/2)$$

Verifică-ți înțelegerea

Citește întrebările de mai jos, gândește-te la răspunsuri, apoi apasă pe triunghiuri pentru a dezvălui soluțiile.

Fă același lucru pentru $P_{--}$. Verifică că este de asemenea egal cu $\frac{1}{2}\sin^2(\theta).$

Răspuns:

$$P_{--}=\left|\left(_L\langle-|_{R,\hat{-n}}\langle+|\right)|\psi\rangle\right|^2$$$$P_{--}=\left| \left(_L\langle-|_R\left(\sin(\theta/2)\langle+|-\cos(\theta/2)e^{-i\phi}\langle-|\right)\right) \frac{1}{\sqrt{2}}\left(|+\rangle_L|-\rangle_R-|-\rangle_L|+\rangle_R\right) \right|^2$$$$P_{--}=\frac{1}{2}\left| \left(_L\langle-|_R\left(\sin(\theta/2)\langle+|-\cos(\theta/2)e^{-i\phi}\langle-|\right)\right) \left(-|-\rangle_L|+\rangle_R\right) \right|^2$$$$P_{--}=\frac{1}{2}\left| \left(\sin(\theta/2) \vphantom{p}_R\langle+|\right) |+\rangle_R \right|^2$$$$P_{--}=\frac{1}{2}\sin^2(\theta/2)$$

Adunând aceste rezultate, găsim că probabilitatea ca semnele celor două axe măsurate să fie identice este $P_{\text{same}}=\sin^2(\theta/2)$.

Verifică-ți înțelegerea

Citește întrebarea de mai jos, gândește-te la răspuns, apoi apasă pe triunghi pentru a dezvălui soluția.

Ce ai putea face pentru a verifica calculele acestui rezultat? Ca să fim clari, nu îți cerem să verifici dacă se potrivește cu natura, ci doar să te asiguri că nu s-a strecurat nicio greșeală în toată matematica.

Răspuns:

(1) Efectuează același calcul pentru $P_{\text{diff}}=\cos^2(\theta/2)$ pentru a verifica conservarea probabilității.

(2) Verifică un caz cunoscut. Înlocuiește $\theta = 0$. Atunci $P_{\text{same}}$ corespunde situației în care cei doi observatori măsoară fiecare spinul de-a lungul aceleiași axe, ceea ce ar încălca conservarea momentului cinetic unghiular. Deci te-ai aștepta ca acea probabilitate să fie zero, și într-adevăr înlocuind $\theta = 0$ obținem $\sin^2(0/2) = 0$.

(3) Verifică un alt caz cunoscut. Încearcă $\theta = \pi$. Ce ar trebui să obții? Atenție la acel $\frac{1}{2}$.

Am schiță în mod specific cazul în care axele formează unghiuri de $120\deg$ una față de cealaltă. Amintește-ți că, indiferent de direcția ($\pm a$, $\pm b$ sau $\pm c$) pe care Lucas o obține, o numim pe aceea $z$. Apoi Rihanna alege aleatoriu să măsoare de-a lungul uneia dintre $\pm a$, $\pm b$ sau $\pm c$. Dacă alegerea ei este aceeași cu a lui Lucas (cu excepția semnului), atunci amândoi măsoară de-a lungul axei $z$, iar probabilitatea ca Rihanna să măsoare și ea $+z$ este zero. Acest lucru ar trebui să se întâmple 1/3 din timp, deoarece alegerea axei de către Rihanna este independentă de alegerea lui Lucas. Pentru orice altă alegere, Rihanna va măsura de-a lungul unei axe aflate fie la $120\deg = 2\pi/3$ radiani față de $z$ (1/3 din timp), fie la $240\deg = 4\pi/3$ radiani față de $z$ (1/3 din timp). Și, bineînțeles, de-a lungul oricăreia dintre acele axe, spinul poate fi măsurat în direcția pozitivă sau negativă. Aceasta ne dă o probabilitate totală ca Lucas și Rihanna să obțină același semn:

$$P_{\text{same}} = \frac{1}{3}\left( 0 + \sin^2(\pi/3) + \sin^2(2\pi/3) \right) = \frac{1}{3}\left( 0 + \frac{3}{4} + \frac{3}{4} \right) = \frac{1}{2}$$

Uimitor

Tocmai am arătat că

$$(P_\text{same})_\text{max, Einstein}<(P_\text{same})_\text{max, Born}.$$

Să facem un pas înapoi.

Opțiunile lui Einstein și Born părea că vor produce întotdeauna aceleași rezultate, deoarece difereau doar în descrierea a ceea ce se întâmplă înainte de măsurare. Și totuși, presupunând că există instrucțiuni care predetermină semnul măsurătorii spinului de-a lungul anumitor axe, am obținut o constrângere asupra probabilității ca măsurătorile să producă același semn $(P_{\text{same}})_\text{Einstein}\leq\frac{4}{9}$. Apoi am presupus distribuțiile de probabilitate din mecanica cuantică... și am obținut o valoare diferită pentru $(P_{\text{same}})_\text{Born}=\frac{1}{2}$. Predicția din mecanica cuantică este mai mare decât cea permisă de tratamentul cu variabile ascunse. Prin urmare, putem efectua de fapt un experiment și să descoperim dacă stările cuantice sunt determinate de natură înainte de măsurare sau dacă se află cu adevărat într-o superpoziție probabilistică de stări posibile.

Acest experiment a fost efectuat de multe ori folosind sisteme fizice foarte diverse, adesea fotoni. Există multe considerații subtile, cum ar fi prejudecățile în măsurare, sincronizarea (simultaneitatea) măsurătorilor și multe altele. De-a lungul deceniilor, preocupările legate de aceste subtilități au fost treptat eliminate. Testele sunt în continuare implementate, pe măsură ce aflăm mai multe despre realitate, dar există acum un consens larg că răspunsul pe care îl vei obține aici, folosind calculatoarele cuantice IBM®, este corect.

Testează folosind calculatoare cuantice reale!

Conform tratamentului de mai sus, să definim direcția măsurătorii lui Lucas ca fiind $+z$. Aceasta a fost convenabilă chiar și în abordarea algebrică, dar este deosebit de convenabilă pentru computația cuantică, deoarece ceea ce se măsoară de obicei este proiecția qubit-ului de-a lungul axei $z$. Vrem să construim un circuit cuantic care să ne ofere aceleași condiții de probabilitate ca cele de mai sus pentru $P_{++}$. Suntem liberi să orientăm planul astfel încât $\phi=0$, și obținem

$$P_{++}=\left| \left(_L\langle+|_R\left(\cos(\theta/2)\langle+|+\sin(\theta/2)\langle-|\right)\right) \frac{1}{\sqrt{2}}\left(|+\rangle_L|-\rangle_R-|-\rangle_L|+\rangle_R\right) \right|^2$$

Trebuie să știm câteva lucruri despre calculatoarele cuantice IBM, pentru a ne ghida discuția. În primul rând, qubiții sunt inițializați în starea $|0\rangle = |+\rangle_z$. Așa cum s-a menționat anterior, când se fac măsurători, acestea sunt de-a lungul axei $z$. Deci scopul este să determinăm ce operatori putem insera între stările bazei de măsurare $\langle 0|\langle 0|$ și stările inițiale ale qubiților $|0\rangle |0\rangle$ pentru a obține expresia complicată de mai sus. Pentru aceasta, va trebui să recapitulăm câteva porți de bază din computația cuantică.

Poarta $X$: Echivalentă cu o operație NOT. Poartă pe un singur qubit.

$$X|0\rangle = |1\rangle,\\X|1\rangle=|0\rangle$$ $$X=\begin{bmatrix} 0 & 1 \\ 1 & 0 \end{bmatrix}$$

În Qiskit, crearea unui circuit cu o poartă $X$ arată astfel:

from qiskit import QuantumCircuit

qc = QuantumCircuit(1)
qc.x(0)
qc.draw("mpl")

Poarta Hadamard $H$: Creează o stare de superpoziție. Poartă pe un singur qubit.

$$H|0\rangle = \frac{1}{2}\left(|0\rangle+|1\rangle\right),$$ $$H|1\rangle = \frac{1}{2}\left(|0\rangle-|1\rangle\right)$$ $$H=\frac{1}{2}\begin{bmatrix} 1 & 1 \\ 1 & -1 \end{bmatrix}$$

Un circuit cu o poartă Hadamard se construiește astfel:

qc = QuantumCircuit(1)
qc.h(0)
qc.draw("mpl")

Poarta CNOT (Controlled-NOT): Această poartă folosește doi qubiți: un qubit de control și un qubit țintă. Verifică starea qubit-ului de control, care nu este modificată. Dar dacă qubit-ul de control se află în starea $|1\rangle$, poarta schimbă starea qubit-ului țintă; dacă starea qubit-ului de control este $|0\rangle$, nu se face nicio modificare. În notația de mai jos, presupunem că primul qubit este cel de control, iar al doilea este cel țintă.

$$CNOT|00\rangle = |00\rangle, \\ CNOT|01\rangle = |01\rangle \\ CNOT|10\rangle = |11\rangle \\ CNOT|11\rangle = |10\rangle$$

O poartă CNOT arată puțin diferit într-un circuit, deoarece necesită doi qubiți. Iată cum se implementează:

qc = QuantumCircuit(2)
qc.cx(0, 1)
qc.draw("mpl")

Rețineți că primul qubit din qc.cx(0,1) este cel de control, iar al doilea este cel țintă. Din punct de vedere diagramatic, ținta este cea cu semnul „+" sau crucea pe ea.

Poarta de rotație $R_y(\theta)$ pe axa Y: Rotește starea în jurul axei y. Este o poartă pe un singur qubit.

$$R_y(\theta)|0\rangle = \cos(\theta/2)|0\rangle+\sin(\theta/2)|1\rangle,\\R_y(\theta)|0\rangle = -\sin(\theta/2)|0\rangle+\cos(\theta/2)|1\rangle$$ $$R_y(\theta)=\begin{bmatrix} \cos(\theta/2) & -\sin(\theta/2) \\ \sin(\theta/2) & \cos(\theta/2) \end{bmatrix}$$

În cele din urmă, porțile de rotație se implementează specificând tipul porții, cantitatea rotației și qubit-ul pe care se aplică poarta, în această ordine:

import numpy as np

pi = np.pi

qc = QuantumCircuit(2)
qc.ry(pi / 2, 0)
qc.draw("mpl")

Numele porții ry specifică axa în jurul căreia are loc rotația. Primul argument $\pi/2$ se referă la cantitatea rotației, iar al doilea argument specifică qubit-ul pe care urmează să fie aplicată poarta.

Verifică-ți înțelegerea

Citește întrebarea (întrebările) de mai jos, gândește-te la răspuns, apoi apasă pe triunghi pentru a dezvălui soluția.

Folosind sintaxa introdusă sau reîmprospătată mai sus, realizează orice circuit cuantic care implică patru tipuri diferite de porți cuantice.

Răspuns:

Există, bineînțeles, infinit de multe posibilități. Iată un exemplu:

qc=QuantumCircuit(2)
qc.ry(pi/2,0)
qc.cx(1,0)
qc.x(1)
qc.h(0)
qc.cx(0,1)
qc.draw("mpl")

De la experimentul fizic la circuite cuantice

Din operațiile acestor porți, putem vedea, de exemplu, că ket-urile din expresiile pentru $P_{++}$:

$$\frac{1}{\sqrt{2}}\left(|+\rangle_L|-\rangle_R-|-\rangle_L|+\rangle_R\right)$$

implică probabil o poartă Hadamard pentru a obține suprapunerea și o poartă CNOT pentru a crea entanglementul.

Vom folosi acum porțile H, X și CNOT pentru a transforma $|0\rangle_L|0\rangle_R$ în $\frac{1}{\sqrt{2}}\left(|+\rangle_L|-\rangle_R-|-\rangle_L|+\rangle_R\right)$:

$$\frac{1}{\sqrt{2}}\left(|0\rangle_L|1\rangle_R-|1\rangle_L|0\rangle_R\right)$$ $$\frac{1}{\sqrt{2}}CNOT_{LR}\left(|0\rangle_L|1\rangle_R-|1\rangle_L|1\rangle_R\right)$$

Aici $CNOT_{LR}$ înseamnă o poartă CNOT care folosește L ca control și R ca țintă. Putem acum factoriza partea R a stării:

$$\text{CNOT}_{LR}\frac{1}{\sqrt{2}}\left(|0\rangle_L-|1\rangle_L\right)|1\rangle_R$$ $$\text{CNOT}_{LR} H_L|1\rangle_L|1\rangle_R$$ $$\text{CNOT}_{LR} H_L X_L X_R|0\rangle_L|0\rangle_R$$

Acum am scris ket-ul în întregime ca porți cuantice care acționează asupra stării de pornire implicite a qubiților.

Putem acum folosi $R_y(\theta)$ care acționează asupra $\vphantom{p}_L\langle 0|_R\langle 1|$ pentru a obține bra-ul din expresia pentru $P_{++}$.

$$\vphantom{p}_L\langle0|_R\left(\cos(\theta/2)\langle0|+\sin(\theta/2)\langle1|\right)$$ $$\vphantom{p}_L\langle0|_R\left(|0\rangle \cos(\theta/2)+|1\rangle \sin(\theta/2)\right)^{\dagger}$$ $$\vphantom{p}_L\langle0|\left(R_{y,R}(\theta)|0\rangle_R\right)^{\dagger}$$ $$\vphantom{p}_L\langle0|_R\langle0|R_{y,R}(-\theta)$$

Combinând aceste rezultate, putem scrie probabilitatea $P_{++}$ ca

$$p_{++}=\left|\vphantom{p}_L\langle0|_R\langle0|R_{y,R}(-\theta)\text{CNOT}_{LR} H_L X_L X_R|0\rangle_L|0\rangle_R\right|^2$$

Aceasta ne oferă instrucțiuni explicite despre cum să construim circuitul nostru cuantic. Vom aplica porțile X, H, CNOT și $R_y$ qubiților care reprezintă stările cuantice ale particulelor măsurate de Lucas și Rihanna, și vom efectua măsurători pentru a obține probabilitatea.

IBM Quantum recomandă abordarea problemelor de calcul cuantic folosind un cadru pe care îl numim Qiskit patterns. Acesta constă din următorii pași.

• Pasul 1: Mapează problema ta pe un circuit cuantic
• Pasul 2: Optimizează circuitul pentru rularea pe hardware cuantic real
• Pasul 3: Execută job-ul pe computerele cuantice IBM folosind Runtime Primitives
• Pasul 4: Post-procesează rezultatele

Practic toată munca depusă mai sus a fost pasul 1. Hai să construim circuitul rezultat folosind Qiskit!

Pasul 1: Maparea rezultatelor noastre la un circuit cuantic

# We'll begin by importing qiskit and a visualization module so that we can plot a histogram of our results.

from qiskit.visualization import plot_histogram

Ține minte că 1/3 din timp, axa aleasă de Rihanna va fi la $2\pi/3$ radiani față de cea a lui Lucas, 1/3 din timp va fi la $4 \pi/3$ radiani față de a lui Lucas, și 1/3 din timp vor alege aceeași axă. Deci trebuie să construim de fapt 3 circuite cuantice pentru aceste 3 cazuri și să adunăm rezultatele. Vom explica cu atenție primul, iar pe ultimele două le vom prezenta pur și simplu.

# We start by declaring our first quantum circuit, and giving it two qubits (the first "2") and two classical bits for storing outputs (the second "2")
# Define registers
from qiskit import ClassicalRegister, QuantumRegister

qr = QuantumRegister(2, "q")
cr = ClassicalRegister(2, "c")
qc1 = QuantumCircuit(qr, cr)

# We know from our analysis above that we need an X gate acting on each of the qubits (L and R)
qc1.x([0, 1])
# We need a Hadamard gate acting on Lucas's qubit, which we're calling the 0th qubit.
qc1.h(0)
# The controlled-NOT gate uses the 0th qubit (Lucas's) as the control and the 1st qubit (Rihanna's) as the target.
qc1.cx(0, 1)
# The rotation gate acts on the 1st qubit (Rihanna's) and has an argument of -2 pi/3
qc1.ry(-2 * pi / 3, 1)
# Finally, we want to measure all the qubits in the circuit to obtain measurement probabilities, and store the results in the classical bits.
qc1.measure([0, 1], [0, 1])
# Now we can draw the first of the three circuits that will check Bell's inequality for us.
qc1.draw(output="mpl")

Codul de mai jos construiește rapid toate cele trei circuite într-un mod mai eficient. Observă că singura diferență dintre cele trei circuite este cât de mult rotim cei doi qubiți în jurul axei $y$.

qcs = [QuantumCircuit(2, 2), QuantumCircuit(2, 2), QuantumCircuit(2, 2)]
for i in range(0, len(qcs)):
    qcs[i].x([0, 1])
    qcs[i].h(0)
    qcs[i].cx(0, 1)

qcs[0].ry(-2 * pi / 3, 1)
qcs[1].ry(-4 * pi / 3, 1)
qcs[2].ry(-2 * pi / 3, 1)
qcs[2].ry(-4 * pi / 3, 1)

for i in range(0, len(qcs)):
    qcs[i].barrier()
    qcs[i].measure([0, 1], [0, 1])

counts_list = [None] * len(qcs)

qcs[0].draw(output="mpl")

Acum vom folosi o primitivă Qiskit numită StatevectorSampler. Un sampler este o primitivă concepută pentru a eșantiona toate stările posibile ale unui sistem și a returna probabilitățile (sau în unele cazuri, cvasi-probabilitățile) de a obține fiecare stare. Putem specifica un număr de „shots" și ne uităm la „counts" pentru fiecare stare.

from qiskit.primitives import StatevectorSampler

sampler = StatevectorSampler()

# Start a job that will return shots for all 100 parameter value sets.
for i in range(0, len(qcs)):
    pub = qcs[i]
    job = sampler.run([pub], shots=10000)
    # Extract the result for the 0th pub (this example only has one pub).
    result = job.result()
    data_pub = result[0].data
    counts = data_pub.c.get_counts()
    counts_list[i] = counts
#    plot_histogram(counts)

Dacă ne uităm la counts-urile din fiecare circuit, observăm că două dintre ele erau practic identice, iar al treilea era destul de diferit.

plot_histogram(counts_list)

Să facem o listă a rezultatelor posibile și să adunăm toate counts-urile fiecărei stări din fiecare dintre cele trei circuite pentru a obține probabilitățile globale.

outcomes = ("00", "01", "10", "11")

# Here we convert "None"s into 0's so that we can sum.

for i in range(0, len(qcs)):
    for j in range(0, len(outcomes)):
        if counts_list[i].get(outcomes[j]) is None:
            counts_list[i].update({outcomes[j]: 0})

# Here we create a dictionary that holds all the outcomes and sums over their appearances in each of the circuits.

total_counts = {}
for i in range(0, len(outcomes)):
    total_counts[outcomes[i]] = sum(
        counts_list[j].get(outcomes[i]) for j in range(0, len(qcs))
    )

Acum putem afișa counts-urile totale pentru fiecare rezultat și putem trasa histograma.

print(total_counts)
plot_histogram(total_counts)

{'00': 7493, '01': 7432, '10': 7605, '11': 7470}

Verifică-ți înțelegerea

Citește întrebarea (întrebările) de mai jos, gândește-te la răspuns, apoi apasă pe triunghi pentru a dezvălui soluția.

Imaginea de mai sus este compatibilă cu rezultatele prezise de variabilele ascunse și determinism? Sau este compatibilă cu mecanica cuantică probabilistică (și non-locală)?

Răspuns:

Este compatibilă cu mecanica cuantică probabilistică și non-locală. Tratamentul prin variabile ascunse a prezis că probabilitatea de a obține același semn era mai mică sau egală cu 4/9. Mecanica cuantică a prezis o probabilitate de 50%. Histograma de mai sus descrie o probabilitate de 00 sau 11 egală cu 49,97%. Aceasta este foarte aproape de predicția mecanicii cuantice probabilistice, dar, cel mai important, este mai mare decât intervalul permis în tratamentul cu variabile ascunse.

Asta dovedește ceva despre natură?

Răspuns:

Nu! Am folosit un simulator! Acesta este un calculator programat să se comporte conform legilor mecanicii cuantice probabilistice. Dacă propunem o regulă și apoi programăm un calculator să urmeze acea regulă, capacitatea sa de a urma regula nu constituie o dovadă că regula este corectă! Singura modalitate de a dovedi asta este să folosești un calculator cuantic real!

Pasul 2: Optimizează-ți circuitul cuantic pentru rularea pe hardware real

Deși am folosit inițial un simulator pentru a depana codul, vrem cu adevărat să rulăm pe hardware real. La urma urmei, un simulator doar pretinde că este mecanic-cuantic, bazându-se pe ecuațiile de mai sus. Dacă simulatorul ne-ar spune că acele ecuații sunt corecte, asta nu ne-ar convinge prea mult. Vrem ca un calculator cuantic real să ne spună ce se întâmplă! Prin urmare, vom selecta calculatorul cuantic pe care dorim să îl folosim. Uneori poate fi important să alegi un dispozitiv specific care are proprietățile dorite, dar de cele mai multe ori vrem pur și simplu să folosim orice dispozitiv este cel mai puțin ocupat.

Mai jos există cod pentru salvarea acreditivelor la prima utilizare. Asigură-te că ștergi aceste informații din notebook după ce le-ai salvat în mediul tău, astfel încât acreditivele tale să nu fie partajate accidental atunci când distribui notebook-ul. Consultă Configurează-ți contul IBM Cloud și Inițializează serviciul într-un mediu neîncrezut pentru mai multe îndrumări.

from qiskit_ibm_runtime import QiskitRuntimeService

# Syntax for first saving your token. Delete these lines after saving your credentials.
# QiskitRuntimeService.save_account(channel='ibm_quantum_platform', instance = '<YOUR_IBM_INSTANCE_CRN>', token='<YOUR-API_KEY>', overwrite=True, set_as_default=True)
# service = QiskitRuntimeService(channel='ibm_quantum_platform')

# Load saved credentials
service = QiskitRuntimeService()

backend = service.least_busy(
    operational=True, min_num_qubits=qcs[0].num_qubits, simulator=False
)

from qiskit.transpiler.preset_passmanagers import generate_preset_pass_manager

target = backend.target
pm = generate_preset_pass_manager(target=target, optimization_level=3)

qcs_isa = qcs

for i in range(0, len(qcs)):
    qcs_isa[i] = pm.run(qcs[i])
    qcs_isa[i].draw(output="mpl", idle_wires=False, style="iqp")

qcs_isa[2].draw(output="mpl", idle_wires=False, style="iqp")

Pasul 3: Execută jobul pe computerele cuantice IBM folosind primitivele Runtime

Acum că am optimizat circuitele pentru a rula pe hardware cuantic real și am depannat codul folosind simulatoare, suntem gata să colectăm statistici de pe un computer cuantic real și să tranșăm dezacordul dintre Einstein și Born.

from qiskit_ibm_runtime import SamplerV2 as Sampler
# from qiskit_ibm_runtime import Session
# sampler.options.default_shots = 1000

# Start a job that will return shots for all 100 parameter value sets.
# The best practice is to use a session as shown below. This is available to Premium Plan, Flex Plan, and On-Prem (IBM Quantum Platform API) Plan users.
# result_list = [None] * len(qcs)
# real_counts_list = [None] * len(qcs)
# with Session(backend=backend) as session:
#    sampler = Sampler(mode=session)

#    for i in range(0, len(qcs)):
#        # Define the primitive unified bloc (pub)
#        pub = qcs[i]
#        job = sampler.run([pub], shots=10000)
#        # Extract the result for the 0th pub (this example only has one pub).
#        result_list[i] = job.result()
#        data_pub = result_list[i][0].data
#        counts = data_pub.c.get_counts()
#        real_counts_list[i] = counts
#    #   plot_histogram(counts)

# Open users can still carry out this experiment, but without reserving a session of use, meaning repeated queuing is possible.
from qiskit_ibm_runtime import Batch

batch = Batch(backend=backend)
sampler = Sampler(mode=batch)

result_list = [None] * len(qcs)
real_counts_list = [None] * len(qcs)

for i in range(0, len(qcs)):
    # Define the primitive unified bloc (pub)
    pub = qcs[i]
    job = sampler.run([pub], shots=10000)
    # Extract the result for the 0th pub (this example only has one pub).
    result_list[i] = job.result()
    data_pub = result_list[i][0].data
    counts = data_pub.c.get_counts()
    real_counts_list[i] = counts

# Close the batch because no context manager was used.
batch.close()

outcomes = ("00", "01", "10", "11")

# Here we convert "None"s into 0's so that we can sum.

for i in range(0, len(qcs)):
    for j in range(0, len(outcomes)):
        if real_counts_list[i].get(outcomes[j]) is None:
            real_counts_list[i].update({outcomes[j]: 0})

# Here we create a dictionary that holds all the outcomes and sums over their appearances in each of the circuits.

real_total_counts = {}
for i in range(0, len(outcomes)):
    real_total_counts[outcomes[i]] = sum(
        real_counts_list[j].get(outcomes[i]) for j in range(0, len(qcs))
    )

print(real_total_counts)
plot_histogram(real_total_counts)

{'00': 7542, '01': 7503, '10': 7304, '11': 7651}

# This syntax allows you to run the job on a simulator, in case you have exhausted your allotted time on real IBM quantum computers.
# But we strongly advise running this on real quantum computers, since this is meant to be a check of the behavior of real quantum systems.

# This uses a local simulator
# from qiskit_aer import AerSimulator

# This generates a simulator that mimics the real quantum system
# backend_sim = AerSimulator.from_backend(backend)

# Import an estimator, this time from qiskit (we import from Runtime for real hardware)
# from qiskit.primitives import BackendSamplerV2
# sampler = BackendSamplerV2(backend = backend_sim)

# result_list = [None] * len(qcs)
# counts_list = [None] * len(qcs)
# for i in range(0, len(qcs)):
# Define the primitive unified bloc (pub)
#    pub = qcs[i]
#    job = sampler.run([pub], shots=10000)
# Extract the result for the 0th pub (this example only has one pub).
#    result_list[i] = job.result()
#    data_pub = result_list[i][0].data
#    counts = data_pub.c.get_counts()
#    counts_list[i] = counts

# data_pubs = (result_list[0][0].data,result_list[1][0].data,result_list[2][0].data)
# outcomes = ("00", "01", "10", "11")

# Here we convert "None"s into 0's so that we can sum.

# for i in range(0, len(qcs)):
#    for j in range(0, len(outcomes)):
#        if counts_list[i].get(outcomes[j]) is None:
#            counts_list[i].update({outcomes[j]: 0})

# Here we create a dictionary that holds all the outcomes and sums over their appearances in each of the circuits.

# total_counts = {}
# for i in range(0, len(outcomes)):
#    total_counts[outcomes[i]] = sum(
#        counts_list[j].get(outcomes[i]) for j in range(0, len(qcs))
#    )

# print(total_counts)
# plot_histogram(total_counts)

counts_list

[None, None, None]

Pasul 4: Post-procesare și analiză

Să facem un pas înapoi și să recapitulăm: folosind un tratament cu variabile ascunse și cele 3 axe decalate, am obținut o restricție asupra probabilității ca măsurătorile să dea același semn: $P_{same,hv} =4/9$. Apoi am presupus distribuții de probabilitate conform mecanicii cuantice și am obținut o valoare diferită pentru acea probabilitate: $P_{same,gm} = 1/2$. Predicția mecanicii cuantice este mai mare decât cea permisă de tratamentul cu variabile ascunse. Prin urmare, se poate determina experimental dacă stările cuantice sunt determinate de natură înainte de măsurare sau dacă se află cu adevărat într-o superpoziție probabilistică de stări posibile.

Am construit circuitele cuantice astfel încât să existe patru rezultate posibile corespunzătoare situației în care Lucas și Rihanna măsoară un semn sau celălalt al proiecției spinului: 00, 01, 10 și 11. În cazurile 00 și 11, Lucas și Rihanna măsoară același semn, iar în cazurile 01 și 10, măsoară semne opuse. Observăm că, cu o foarte bună aproximare, șansa ca Lucas și Rihanna să obțină același semn este de aproximativ 50%, cu certitudine mai mare decât $4/9$. Aceasta înseamnă că nu există nicio mulțime de variabile ascunse care să poată explica acea distribuție de probabilități, iar tratamentul cu variabile ascunse nu este compatibil cu experimentul.

Există diferite interpretări ale rezultatelor experimentale din mecanica cuantică și există multe subtilități ale configurațiilor experimentale care sunt revizuite din când în când. Dar până acum, principiile mecanicii cuantice și interpretarea probabilistică a stărilor cuantice au descris cu acuratețe rezultatele. Max Born pare să fi avut dreptate.

Să ne mai oprim o clipă să reflectăm asupra semnificației acestui fapt. Două particule provin dintr-un eveniment de dezintegrare și se deplasează în direcții diferite, posibil pentru o perioadă lungă de timp. Spinurile lor nu se află în nicio stare bine definită și nu poartă cu ele nicio instrucțiune cu variabile ascunse care să determine rezultatele viitoarelor măsurători. Dar o măsurătoare a uneia (de-a lungul, să zicem, $+z$) determină în mod necesar rezultatul unui experiment asupra spinului celeilalte particule de-a lungul direcției $z$ (trebuie să fie $-z$). Aceasta înseamnă că ceva din fizica unei particule este determinat de ce i se face celeilalte particule, posibil aflată departe. Aceasta este una dintre situațiile care i-a determinat pe oameni să se refere la realitate ca fiind „non-locală".

Două particule precum cele pe care le-am descris sunt cumva „conectate" în sensul că măsurătorile asupra uneia pot influența cealaltă. Ne referim la astfel de particule ca fiind „întricate". Întrinsecarea este mai mult decât simple corelații. De exemplu, am putea construi o mașină clasică care aruncă un magnet pe o parte cu capătul nord în sus și un magnet pe cealaltă parte cu capătul nord în jos. Astfel de magneți ar putea fi perfect anti-corelați. Dar o măsurătoare a unuia nu ar face nimic celuilalt. În întrinsecarea cuantică, particula A ar putea fi într-o stare nedefinită (sau un amestec de mai multe stări), iar noi o putem fixa într-o stare definită prin măsurători efectuate asupra unei particule complet diferite (să zicem, B). Nimic de genul acesta nu există în lumea clasică.

Acest lucru deschide adesea o întreagă lume nouă de întrebări și posibilități. Unele dintre ideile pe care le evocă sunt reale, cum ar fi folosirea întrinsecării pentru a computa, ca în calculatoarele cuantice! Altele sunt înșelător de atrăgătoare, dar se dovedesc a eșua, cum ar fi încercarea de a folosi întrinsecarea pentru a transmite informații mai repede decât lumina. Te încurajăm să pui toate întrebările care îți vin în minte și să citești despre cum alții au investigat aceste fenomene. Există o întreagă lume a mecanicii cuantice de explorat, dar iată câteva resurse pe care le-ai putea consulta:

Cursuri IBM Quantum:

• Quantum computing in practice
• Basics of quantum information

Articole interesante de mecanică cuantică:

• Paradoxul Einstein Podolsky și Rosen
• Articolul original al lui John Bell din 1964
• Articol din 2019 despre captarea și inversarea unui „salt cuantic" în mijlocul tranziției

Câteva resurse educaționale de mecanică cuantică:

• Materiale pentru cursul Quantum I de la Universitatea din Colorado.

Câteva cercetări educaționale de mecanică cuantică:

• Recenzie a dificultăților studenților în mecanica cuantică de nivel avansat de C. Singh și E. Marshman

Întrebări

Instructorii pot solicita versiuni ale acestor notebook-uri cu chei de răspuns și ghiduri de plasare în curricule comune completând acest scurt sondaj despre cum sunt utilizate notebook-urile.

Concepte critice:

• A existat o dispută istorică despre dacă stările cuantice erau pur și simplu necunoscute sau nedeterminate de natură înainte de măsurare, dacă mecanica cuantică este deterministă sau probabilistică.
• Variabilele ascunse și, prin urmare, realismul local nu sunt compatibile cu observațiile din mecanica cuantică. Adică, corelațiile observate în mecanica cuantică nu pot fi explicate prin variabile bine definite care sunt pur și simplu necunoscute nouă.
• Mecanica cuantică este probabilistică.
• Întrinsecarea este reală și observabilă.
• Întrinsecarea nu este doar corelații.
• Putem transpune scenarii din lumea reală pe calculatoare cuantice.
• Variabilele ascunse se referă la cantități specificate de natură, dar necunoscute oamenilor; ele nu există în acest context.

Întrebări A/F:

1. A/F Albert Einstein a susținut că mecanica cuantică era incompletă, ca teorie, deoarece descria doar probabilitățile rezultatelor, nu mecanismul subiacent care determina acele rezultate.
2. A/F „Variabilele ascunse" se referă la ideea că două particule cuantice mecanice pot fi întricate.
3. A/F Orice două sisteme corelate sunt întricate din punct de vedere cuantic.
4. A/F Întrinsecarea cuantică este importantă pentru a face corect calculele matematice, dar nu o poți vedea într-un experiment.
5. A/F În cele mai multe cazuri, mecanica cuantică nu îți poate spune un rezultat exact al unui experiment, ci doar probabilitățile că anumite rezultate vor fi măsurate.
6. A/F În mecanica cuantică, în anumite condiții, starea particulei A poate fi afectată de starea particulei B, chiar dacă particulele A și B nu sunt în contact și nu schimbă nicio particulă.
7. A/F Putem transpune experimente din lumea reală pe circuite cuantice.

Întrebări grilă:

1. Presupune că o particulă cu spin-0 se dezintegrează în două particule cu spin-1/2 A și B. Se efectuează o măsurătoare asupra particulei A care relevă că spinul său are o proiecție de-a lungul $+z$. Particula B are acum

   • a. cu certitudine o proiecție a spinului de-a lungul $-z$
   • b. cu certitudine o proiecție a spinului de-a lungul $-x$
   • c. cu certitudine o proiecție a spinului de-a lungul $-y$
   • d. cu certitudine o proiecție negativă a spinului de-a lungul oricărei axe măsurate.

2. O particulă cu spin-0 se dezintegrează în două particule cu spin-1/2 A și B. Dacă particula A este măsurată cu o proiecție de-a lungul $+z$, care dintre următoarele proiecții sunt posibile pentru o măsurătoare a particulei B? Încercuiește toate cele care se aplică.

   • a. $+x$
   • b. $-x$
   • c. $+y$
   • d. $-y$
   • e. $+z$
   • f. $-z$

3. Presupune că o particulă cu spin-0 se dezintegrează în două particule cu spin-1/2 A și B. Ce descrie cel mai bine starea particulei A înainte de orice măsurătoare.

   • a. Spinul particulei A este de-a lungul $+z$.
   • b. Spinul particulei A este de-a lungul $-z$.
   • c. Spinul particulei A este de-a lungul $+x$.
   • d. Spinul particulei A este definit de-a lungul unor direcții, dar nu al altora.
   • e. Orientarea spinului particulei A este nedeterminată de natură înainte de orice măsurători.

4. Care dintre următoarele este/sunt adevărat(e) despre Gate-ul Hadamard? Selectează toate cele care se aplică.

   • a. $H|0\rangle = \frac{1}{\sqrt{2}}(|0\rangle+|1\rangle)$
   • b. $H|0\rangle = \frac{1}{\sqrt{2}}(|0\rangle-|1\rangle)$
   • c. $H \frac{1}{\sqrt{2}}(|0\rangle-|1\rangle)=|0\rangle$
   • d. $H \frac{1}{\sqrt{2}}(|0\rangle+|1\rangle)=|0\rangle$

5. Care dintre următoarele este/sunt adevărat(e) despre Gate-ul X? Selectează toate cele care se aplică.

   • a. $X|0\rangle = |1\rangle$
   • b. $X|0\rangle = \frac{1}{\sqrt{2}}(|0\rangle-|1\rangle)$
   • c. $X|0\rangle = -|0\rangle$
   • d. $X|1\rangle = |0\rangle$
   • e. $X\frac{1}{\sqrt{2}}(|0\rangle-|1\rangle)=X\frac{1}{\sqrt{2}}(|1\rangle-|0\rangle)$

6. Care dintre următoarele este un Gate cu doi Qubiți?

   • a. X
   • b. $R_y(\theta)$
   • c. H
   • d. CNOT

7. Presupune că un Qubit se află în starea $|0\rangle$. Care este probabilitatea de a-l măsura în starea $1\rangle$?

   • a. Exact 100% pe un simulator fără zgomot, aproape 100% pe un calculator cuantic real
   • b. Aproape 100% pe un simulator fără zgomot, exact 100% pe un calculator cuantic real
   • c. Exact 0% pe un simulator fără zgomot, aproape 0% pe un calculator cuantic real
   • d. Aproape 0% pe un simulator fără zgomot, exact 0% pe un calculator cuantic real

Întrebări de discuție:

1. Prietenii A, B și C discută rezultatele din acest laborator, legate de Inegalitatea Bell. Concret, se uită la imaginea care arată că probabilitatea cuantică mecanică de a măsura același semn de-a lungul axelor este mai mare decât cea permisă de un tratament cu variabile ascunse: $(P_\text{same})_\text{max,QM}>(P_\text{same})_\text{max,HV}$. Prietenul A spune: „Asta înseamnă că nu am cunoscut stările spinului înainte de o măsurătoare." Prietenul B spune: „Nu, e mai mult de atât. Asta înseamnă că spinurile nu indicau deja o direcție particulară înainte de măsurare. Deși starea spinului ar putea fi cumva determinată sau stocată undeva." Prietenul C spune: „Nu, e și mai mult de atât. Asta înseamnă că viitoarea stare a spinului nu a fost nici măcar decisă de natură înainte de măsurare." Cu cine ești de acord și de ce?

2. Explică cum fenomene cuantice precum întrinsecarea indică faptul că realitatea este non-locală.

3. Ce experimente suplimentare ai dori să faci pentru a te convinge de rezultatele obținute aici?