Bazele mecanicii cuantice

Introducere

În următorul videoclip, Olivia Lanes îți prezintă conținutul acestei lecții. Alternativ, poți deschide videoclipul YouTube pentru această lecție într-o fereastră separată.

În lecția anterioară, am învățat cum să producem o stare entanglată a doi qubiți, cunoscută sub numele de „starea Bell." Când am măsurat starea, am observat că măsurătorile celor doi qubiți erau corelate: când unul era măsurat ca 0, celălalt era de asemenea măsurat 0, iar când unul era 1, celălalt era măsurat 1. Am văzut că acesta este un semn distinctiv al entanglement-ului cuantic. Astăzi vom explora mai în profunzime această stare și ce relevă ea despre fizica cuantică fundamentală pentru calculul cuantic.

Starea Bell

Multe dintre fenomenele cuantice care fac ca calculatoarele cuantice să se comporte diferit față de calculatoarele clasice sunt deja prezente în starea Bell aparent simplă pe care am produs-o în lecția anterioară. Să readucem acel circuit al stării Bell:

# Added by doQumentation — required packages for this notebook
!pip install -q qiskit

from qiskit import QuantumCircuit

qc = QuantumCircuit(2)
qc.h(0)
qc.cx(0, 1)
qc.measure_all()
qc.draw("mpl")

Imaginea de mai sus reprezintă circuitul cuantic pentru crearea stării Bell $\vert\Phi^+\rangle$. Cele două linii orizontale negre reprezintă cei doi qubiți ai noștri, iar casetele și alte simboluri de pe acele linii reprezintă porți sau operații efectuate pe qubiții corespunzători. Linia dublă gri este un bus de informații clasice care ne permite să stocăm informațiile clasice obținute prin măsurarea celor doi qubiți. Vom analiza în detaliu acest circuit și starea Bell rezultată pentru a înțelege bazele calculului cuantic.

Matematica calculului cuantic

Reprezentarea stării cuantice

Mai întâi, avem nevoie de un limbaj comun în care să discutăm stările și circuitele cuantice. Există câteva moduri diferite de a reprezenta stările cuantice. Primul este cu notația Dirac. În notația Dirac, starea arată astfel:

$$\vert \Phi^+\rangle =\frac{1}{\sqrt{2}} ( \vert 00 \rangle + \vert 11 \rangle )$$

Aici, starea este scrisă între paranteze unghiulare și bare verticale. Cei doi termeni reprezintă fiecare dintre cele două rezultate posibile ale măsurătorii stării. Deci, când măsurăm această stare, vom constata fie că ambii qubiți sunt în starea 0, fie că ambii sunt în starea 1. $\frac{1}{\sqrt{2}}$ se numește „constantă de normalizare." Aceasta este acolo pentru a se asigura că suma pătratelor fiecăruia dintre coeficienți din stare este egală cu $1$. Vom discuta mai târziu de ce este cazul, în secțiunea despre măsurători.

A doua modalitate de a reprezenta o stare este în limbajul standard al algebrei liniare: ca vector, unde fiecare intrare a vectorului reprezintă un rezultat posibil diferit al măsurătorii. În această notație, starea noastră Bell ar fi scrisă astfel:

$$\vert\phi^+\rangle = \frac{1}{\sqrt{2}} \begin{pmatrix} 1 \\ 0 \\ 0 \\ 1 \end{pmatrix} ~.$$

Prin convenție, intrările vectorului sunt ordonate după cum urmează:

• Prima intrare corespunde stării cu doi qubiți $\vert00\rangle$
• A doua intrare corespunde lui $\vert01\rangle$
• A treia intrare corespunde lui $\vert10\rangle$
• A patra intrare corespunde lui $\vert11\rangle$

Conform așteptărilor, în vectorul stării Bell $\vert\Phi^+\rangle$, prima și a patra intrare sunt nenule, în timp ce a doua și a treia intrare sunt zero. Constanta de normalizare $1/\sqrt{2}$ asigură că lungimea vectorului este $1$.

O notă privind ordinea qubiților

Qiskit folosește ordonarea little endian. Aceasta înseamnă că qubit-ul cel mai din dreapta este considerat primul qubit (sau cel mai puțin semnificativ), iar qubit-ul cel mai din stânga este qubit-ul cel mai semnificativ. Deci, când scriem o stare ca $\vert01\rangle$:

• bitul cel mai din dreapta corespunde qubit-ului $0$ și se află în starea $\vert1\rangle$.
• bitul cel mai din stânga corespunde qubit-ului $1$ și se află în starea $\vert0\rangle$.

Reprezentarea porților

Așa cum stările pot fi reprezentate ca vectori, porțile pot fi reprezentate ca matrice. O poartă acționează asupra unei stări transformând vectorul său într-un nou vector.

Fiecare poartă corespunde unei matrice specifice care dictează cum va fi transformată starea. Aplicăm această transformare înmulțind matricea porții cu vectorul stării inițiale, cu matricea porții în stânga vectorului stării, astfel:

$$U |\psi\rangle$$

unde $U$ reprezintă matricea porții și $|\psi\rangle$ reprezintă vectorul stării.

Să privim poarta Hadamard ca exemplu. Poarta Hadamard este o poartă cu un singur qubit (caseta roșie etichetată „H" în diagrama circuitului de mai sus) care transformă starea $\vert0\rangle$ în $\frac{1}{\sqrt{2}}(\vert0\rangle+\vert1\rangle)$ și starea $\vert1\rangle$ în $\frac{1}{\sqrt{2}}(\vert0\rangle-\vert1\rangle)$. În notație matriceală, Hadamard arată astfel:

$$H = \frac{1}{\sqrt{2}} \begin{pmatrix} 1 & 1 \\ 1 & -1 \end{pmatrix} ~.$$

Verifică-ți înțelegerea

Folosește înmulțirea matriceală pentru a demonstra că matricea Hadamard transformă stările conform așteptărilor. (Dacă este necesar, poți afla cum să efectuezi înmulțirea matriceală.)

Răspuns

$$H |0\rangle = \frac{1}{\sqrt{2}} \begin{pmatrix} 1 & 1 \\ 1 & -1 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 1 \\ 0 \end{pmatrix} = \frac{1}{\sqrt{2}} \begin{pmatrix} 1 \\ 1 \end{pmatrix} ~\checkmark$$$$H |1\rangle = \frac{1}{\sqrt{2}} \begin{pmatrix} 1 & 1 \\ 1 & -1 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 0 \\ 1 \end{pmatrix} = \frac{1}{\sqrt{2}} \begin{pmatrix} 1 \\ -1 \end{pmatrix} ~\checkmark$$

Există câteva lucruri de reținut despre matricele porților:

1. Sunt întotdeauna matrice pătrate $N \times N$, unde $N$ este și dimensiunea vectorului de stare asupra căruia se aplică. De exemplu, când ai un singur qubit, vectorul de stare este bidimensional, reprezentând cele două stări posibile 0 și 1 ale qubit-ului. În acest caz, dimensiunile matricei porții aplicate acestui sistem ar fi $2\times 2$.
2. Porțile cuantice sunt reversibile. Cu alte cuvinte, poți găsi o altă matrice care este inversa porții, care anulează acțiunea porții și transformă qubiții înapoi la starea lor inițială.
3. Porțile cuantice păstrează și lungimea vectorilor pe care îi transformă. Vectorii stărilor cuantice vor avea întotdeauna lungimea $1$ (garantat de constantele de normalizare discutate anterior). Porțile nu îi lungesc sau scurtează, ci pur și simplu îi rotesc.

Acestea sunt toate proprietăți ale matricelor unitare. Dacă ești curios despre mai multe proprietăți matematice ale matricelor unitare, poți citi mai multe despre ele în lecția lui John Watrous despre sisteme multiple din cursul Basics of Quantum Information.

Cum funcționează măsurătorile

Când măsurăm o stare cuantică, rezultatul este întotdeauna unul dintre rezultatele posibile (pentru un singur qubit, fie 0, fie 1). Ce rezultat obținem este aleatoriu, dar starea cuantică ne spune probabilitățile fiecărui rezultat.

Intrările din vectorul de stare determină aceste probabilități. Pentru a obține probabilitatea unui anumit rezultat, luăm pătratul intrării corespunzătoare acelui rezultat. De exemplu, dacă un qubit se află în starea:

$$|\psi\rangle = \frac{1}{\sqrt{2}} \begin{pmatrix} 1 \\ 1 \end{pmatrix} = \frac{1}{\sqrt{2}}(|0\rangle + |1\rangle),$$

prima intrare (corespunzătoare lui 0) este $1/\sqrt{2}$, iar a doua intrare (corespunzătoare lui 1) este de asemenea $1/\sqrt{2}$. Ridicând la pătrat aceste numere obținem

$$\left(\frac{1}{\sqrt{2}}\right)^2 = \frac{1}{2} = 0.5,$$

ceea ce înseamnă că există o probabilitate de 50% de a măsura 0 și o probabilitate de 50% de a măsura 1.

Reamintim că suma tuturor intrărilor ridicate la pătrat este întotdeauna egală cu 1. Acest lucru are sens deoarece când măsurăm, garantăm că obținem un rezultat, deci probabilitățile tuturor rezultatelor posibile trebuie să totalizeze 100%.

După măsurare, qubit-ul colapsează la rezultatul observat, iar orice superpoziție anterioară se pierde. Qubit-ul se comportă acum ca un bit clasic. Măsurătorile sunt fundamental diferite de porțile cuantice. În timp ce porțile schimbă stările cuantice într-un mod determinist și reversibil, măsurarea este în mod inerent aleatorie și ireversibilă.

Măsurarea în baze diferite

În mod implicit, când măsori un qubit într-un circuit cuantic, măsori starea qubit-ului doar de-a lungul unui singur ax. Aceasta se numește baza computațională, sau baza $Z$, care este definită de stările $\vert 0\rangle$ și $\vert 1\rangle$. Poți gândi starea $\vert 0\rangle$ ca un vector care indică direct în sus, iar starea $\vert 1\rangle$ ca un vector care indică direct în jos. Deci, o măsurătoare în baza $Z$ răspunde la întrebarea „Starea qubit-ului indică în sus sau în jos?"

Dar aceasta nu este singura întrebare pe care o putem adresa unui qubit. Vectorul de stare al unui qubit nu indică doar în sus sau în jos. O superpoziție de $\vert 0\rangle$ și $\vert 1\rangle$ va rezulta într-un vector de stare care indică în orice direcție în spațiul tridimensional — direcția exactă depinde de amplitudinile și fazele relative ale celor două componente ale superpoziției. Deci, în timp ce o măsurătoare standard în baza $Z$ întreabă „sus sau jos?", poți întreba și „stânga sau dreapta?" sau „față sau spate?"

Aceste întrebări corespund măsurării în baze diferite. Fiecare bază are propriul set de doi vectori de bază, care definesc cele două rezultate posibile ale măsurătorii în acea bază (cum ar fi $\vert 0\rangle$ sau $\vert 1\rangle$ pentru baza $Z$).

• Rezultatele măsurătorii în baza Z colapsează la $\vert 0\rangle$ sau $\vert 1\rangle$
• Rezultatele măsurătorii în baza X colapsează la $\vert +\rangle$ sau $\vert -\rangle$
• Rezultatele măsurătorii în baza Y colapsează la $\vert i\rangle$ sau $\vert -i\rangle$

unde

$$\begin{aligned} \lvert +\rangle &= \frac{1}{\sqrt{2}}(\lvert 0\rangle + \lvert 1\rangle) \\ \lvert -\rangle &= \frac{1}{\sqrt{2}}(\lvert 0\rangle - \lvert 1\rangle) \\ \lvert i\rangle &= \frac{1}{\sqrt{2}}(\lvert 0\rangle + i\lvert 1\rangle) \\ \lvert -i\rangle &= \frac{1}{\sqrt{2}}(\lvert 0\rangle - i\lvert 1\rangle) \end{aligned}$$

unde $i=\sqrt{−1}$ este unitatea imaginară. Aici vedem pentru prima dată superpoziții cu o diferență de fază între cele două componente. Faza este scrisă în mod tipic ca $e^{i\theta}$, unde $\theta$ este unghiul amplitudinii unei stări cuantice în planul complex — un plan bidimensional în care axa orizontală reprezintă numere reale și axa verticală reprezintă numere imaginare. Poți gândi mai intuitiv la aceasta ca la cât de decalat este un val față de altul: sunt vârfurile lor aliniate sau este un val decalat astfel încât vârful său întâlnește jgheabul celuilalt?

Matricele Pauli și observabilele

Există trei matrice, așa-numitele matrice Pauli, care se raportează la aceste trei alegeri diferite de baze $X$, $Y$ și $Z$:

$$X = \begin{pmatrix} 0 & 1 \\ 1 & 0 \end{pmatrix}, \quad Y = \begin{pmatrix} 0 & -i \\ i & 0 \end{pmatrix}, \quad Z = \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & -1 \end{pmatrix}.$$

Cum se raportează exact acestea la bazele de măsurare? La prima vedere, acestea arată ca matrice de porți obișnuite — și sunt. Fiecare matrice Pauli poate acționa asupra unui qubit și îi poate schimba starea:

• Pauli-X inversează $|0\rangle$ și $|1\rangle$, ca o poartă NOT clasică.
• Pauli-Z lasă $|0\rangle$ neschimbat, dar înmulțește $|1\rangle$ cu $-1$, schimbând faza relativă.
• Pauli-Y inversează qubit-ul și introduce o fază.

Dar matricele Pauli au o a doua interpretare, la fel de importantă. În mecanica cuantică, orice mărime măsurabilă se numește observabilă, iar observabilele sunt reprezentate prin matrice. Matricele Pauli corespund măsurătorilor de-a lungul a trei axe diferite, iar eigenstările lor corespund celor două rezultate posibile ale măsurătorii de-a lungul fiecărei axe. (Dacă nu ești familiarizat cu termenul eigenstate, nu e nicio problemă — sunt doar vectori speciali asociați cu o matrice dată.)

• $Z$ → măsurătoare în baza Z ($|0\rangle$, $|1\rangle$)
• $X$ → măsurătoare în baza X ($|+\rangle$, $|-\rangle$)
• $Y$ → măsurătoare în baza Y ($|i\rangle$, $|-i\rangle$)

Aceasta explică de ce matricele Pauli par să aibă un dublu rol. Ele atât acționează asupra stărilor (ca porți), cât și definesc direcțiile de măsurare (ca observabile). Ambele roluri provin din aceeași matematică fundamentală.

Deci cum, în practică, măsori în baza X sau Y? În mod implicit, calculatoarele noastre cuantice sunt configurate doar pentru a măsura în baza Z. Deci, trebuie să schimbi bazele rotind vectorul de stare al qubit-ului în așa fel încât informația care te interesează, fie X, fie Y, să indice acum în direcția Z. Apoi, efectuezi pur și simplu o măsurătoare Z ca de obicei.

De exemplu, măsurarea în baza X se poate face prin aplicarea unei porți Hadamard și apoi măsurarea în baza Z. Hadamard rotește starea astfel încât „informația-X" devine „informație-Z." După aceea, o măsurătoare normală face treaba.

Vei vedea mai mult din matricele Pauli în lecția următoare, când aplicăm noile noastre abilități de scriere a circuitelor cuantice la o problemă reală de fizică cuantică.

Circuitul stării Bell

Acum că avem un punct de plecare — știm că stările pot fi reprezentate prin vectori, porțile pot fi reprezentate prin matrice, iar măsurătorile fac o stare să „colapseze" — să parcurgem circuitul care creează și măsoară starea Bell de mai sus.

Începem cu starea inițială a doi qubiți în $|00\rangle$:

$$|00\rangle = \begin{pmatrix} 1 \\ 0 \\ 0 \\ 0 \end{pmatrix}$$

Crearea superpoziției

Circuitul începe prin aplicarea unei porți Hadamard pe qubit-ul 0. Așa cum am văzut în secțiunea anterioară, Hadamard ia qubit-ul dintr-o stare definită, fie $|0\rangle$, fie $|1\rangle$, într-o combinație a ambelor stări. Reamintim că poarta Hadamard este:

$$H = \frac{1}{\sqrt{2}} \begin{pmatrix} 1 & 1 \\ 1 & -1 \end{pmatrix}$$

Pentru a o aplica pe primul qubit într-un sistem cu doi qubiți, folosim o matrice 4x4 extinsă care aplică $H$ pe qubit-ul 0 lăsând qubit-ul 1 neschimbat. Gândește-te la asta ca „aplică $H$ pe primul qubit și nu atinge al doilea qubit":

$$H_0 = \frac{1}{\sqrt{2}} \begin{pmatrix} 1 & 1 & 0 & 0 \\ 1 & -1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1 & 1 \\ 0 & 0 & 1 & -1 \end{pmatrix}$$

Apoi înmulțim aceasta cu vectorul stării inițiale:

$$H_0 |00\rangle = \frac{1}{\sqrt{2}} \begin{pmatrix} 1 & 1 & 0 & 0 \\ 1 & -1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1 & 1 \\ 0 & 0 & 1 & -1 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 1 \\ 0 \\ 0 \\ 0 \end{pmatrix} = \frac{1}{\sqrt{2}} \begin{pmatrix} 1 \\ 1 \\ 0 \\ 0 \end{pmatrix} = \frac{1}{\sqrt{2}}(|00\rangle + |01\rangle)$$

Acum qubit-ul 0 se află într-o stare de superpoziție.

Mai multe despre superpoziția cuantică

O superpoziție cuantică de tipul de mai sus este adesea descrisă ca qubit-ul fiind în ambele stări în același timp. Cu toate acestea, când măsurăm această stare de superpoziție, rezultatul este întotdeauna $0$ sau $1$ — nu putem observa direct superpoziția în sine. De fapt, expresia „qubit-ul se află în ambele stări în același timp" poate fi înșelătoare. O modalitate mai precisă de a o descrie este că o superpoziție este o descriere matematică a stării cuantice care ne permite să calculăm probabilitățile diferitelor rezultate ale măsurătorii. Unii oameni cred că superpozițiile sunt fizic reale, dar aceasta este o interpretare filozofică ce nu poate fi testată; mecanica cuantică prezice doar probabilitățile rezultatelor măsurătorilor.

Spre deosebire de o distribuție de probabilitate clasică, o superpoziție cuantică permite, de asemenea, diferitelor componente să interfereze între ele, ca valuri suprapuse care se pot amplifica sau anula reciproc. Această interferență este ceea ce permite algoritmilor cuantici să producă tipare de rezultate ale măsurătorilor care ar fi imposibile cu aleatorismul clasic.

---

Entanglarea qubiților

Apoi, se aplică o poartă controlled-NOT (CNOT) (reprezentată ca punctul albastru, linia verticală și cercul cu semnul plus care conectează cei doi qubiți). Această poartă entanglează cei doi qubiți împreună. După acest pas, starea unui qubit nu poate fi descrisă independent de celălalt.

Poarta CNOT inversează qubit-ul 1 (numit qubit-ul țintă) numai dacă qubit-ul 0 (numit qubit-ul de control) se află în starea $\vert 1\rangle$. Matricea sa este:

$$\text{CNOT} = \begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 1 \\ 0 & 0 & 1 & 0 \\ 0 & 1 & 0 & 0 \end{pmatrix}$$

Aplică-o la starea din Pasul 1:

$$\begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 1 \\ 0 & 0 & 1 & 0 \\ 0 & 1 & 0 & 0 \end{pmatrix} \frac{1}{\sqrt{2}} \begin{pmatrix} 1 \\ 1 \\ 0 \\ 0 \end{pmatrix} = \frac{1}{\sqrt{2}} \begin{pmatrix} 1 \\ 0 \\ 0 \\ 1 \end{pmatrix} = \frac{1}{\sqrt{2}}(|00\rangle + |11\rangle)$$

Acum qubiții sunt entanglați: măsurarea unuia îl determină imediat pe celălalt.

Mai multe despre entanglement-ul cuantic

Entanglement-ul, ca și superpoziția, este un fenomen cuantic care nu are analog clasic. În sistemele clasice, doi biți corelați ar putea avea valorile legate, dar fiecare bit are totuși o valoare definită — chiar dacă nu o cunoaștem. De exemplu, dacă două monede sunt lipite împreună astfel încât să cadă întotdeauna în același mod, că o monedă este cap îți spune imediat că cealaltă este cap. Dar înainte de a privi, fiecare monedă se află deja într-o stare definită.

Cu qubiții entanglați, situația este fundamental diferită. Înainte de măsurare, niciun qubit nu are o valoare definită pe cont propriu. Doar perechea are o stare bine definită. Măsurarea unui qubit afectează instantaneu probabilitățile pentru celălalt, indiferent cât de departe sunt. Acesta este un efect pur cuantic: nu poate fi explicat prin statistici clasice sau informații ascunse despre qubiții individuali.

Măsurarea stărilor

În final, ambii qubiți sunt măsurați. Când măsurăm, starea cuantică colapsează la una dintre stările permise clasic:

• 00 cu probabilitatea $|1/\sqrt{2}|^2 = 0.5$.
• 11 cu probabilitatea $|1/\sqrt{2}|^2 = 0.5$.

Aceasta reproduce rezultatele corelate ale măsurătorilor observate în circuitul din Lecția 1.

Concluzie

În această lecție, am făcut un tur rapid al conceptelor de mecanică cuantică și al instrumentelor matematice necesare pentru a rula cu încredere și în mod independent circuite cuantice pe un calculator cuantic. Am introdus cum sunt reprezentate stările cuantice, cum porțile transformă acele stări, cum funcționează măsurarea și cum superpoziția și entanglement-ul apar în mod natural din circuite simple.

În Lecția 3, vom pune aceste idei în practică parcurgând întregul flux de lucru pentru rezolvarea unei probleme simple pe un calculator cuantic și interpretarea rezultatelor.

Obiectiv de învățare

Reamintește-ți obiectivul de învățare din Lecția 1, unde te-am provocat să schimbi circuitul pentru a crea starea Bell $\Psi^-$. Acum, folosind acel circuit, parcurge algebra matriceală și confirmă că circuitul tău produce starea dorită. (Indiciu: va trebui să determini forma matriceală a unei porți NOT sau X.)